Лабораторная работа № 19 основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси
Цель работы:
Изучение динамики вращательного движения твердого тела. Исследование зависимости угла поворота твердого тела от времени, экспериментальная проверка основного уравнения динамики вращательного движения, определение момента инерции твердого тела как коэффициента пропорциональности в основном уравнении.
Оборудование:
Установка, включающая исследуемый диск с закрепленными на нем шкивами, грузы известной массы, датчик угла поворота (световой барьер), электронный блок управления Cobra 3, турбокомпрессор, компьютер.
Продолжительность работы – 4 часа.
Теоретическая часть
1. Рассмотрим диск, который может
вращаться вокруг неподвижной оси Z.
Положение диска определяется углом
,
который составляет радиальная прямая,
связанная с диском (например, нарисованная
на диске), с осью X,
неподвижной относительно лабораторной
системы отсчета (рис. 1).
|
|
|
Рис. 1. Положение диска характеризуется
угловой координатой
|
Вращение диска характеризуется скоростью
,
и угловым ускорением
.
Аналогичным образом можно ввести
угловую координату, угловую скорость
и угловое ускорение для произвольного
твердого тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси.
2. Угловое ускорение диска зависит не
только от величины и направления
действующей на него силы, но и от положения
точки, к которой эта сила приложена.
«Вращательное действие» силы
характеризуется моментом силы
относительно
оси, который равен произведению модуля
силы
на
плечо силы
- так называется кратчайшее расстояние
от линии действия силы до оси вращения:
(рис. 2, заметим, что
,
где
- вектор момента силы относительно точки
О, лежащей на оси вращения, а вектор
проведен от О к точке приложения
силы).
|
|
|
Рис. 2. Момент силы относительно оси |
3. Из законов Ньютона следует, что угловое
ускорение пропорционально моменту
силы:
.
Эту пропорциональность можно выразить
уравнением
,
(1)
где
- момент инерции твердого тела (диска)
относительно оси вращения.
4. Момент инерции
определяет инерционные свойства твердого
тела при вращении и зависит от распределения
массы в объеме этого тела. По определению
момент инерции тела относительно оси
равен
,
(2)
где
- элементарная («точечная») масса, на
которые мысленно разбивается тело,
- расстояние от этой массы до оси вращения
(рис.3).
|
|
|
|
|
Рис.3. К определению момента инерции |
Рис. 4. Момент инерции кольца
|
Рис. 5. Момент инерции цилиндра
|
Если твердое тело представляет собой тонкое кольцо радиуса R и массы m, то момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр равен (рис. 4).
.
При вычислении момента инерции
однородного цилиндра (или диска)
относительно оси, совпадающей с его
осью симметрии, следует учесть, что
величины
в выражении
не равны радиусу диска R,
а изменяются для разных элементарных
масс
от 0 до R. После вычисления
этой суммы (интегрирования) получим для
момента инерции цилиндра
,
где
- масса цилиндра.
5. В данной лабораторной работе момент
инерции твердого тела определяется
экспериментально. Полученное значение
I сравнивается с
рассчитанным по формуле
.
Твердое тело представляет собой
алюминиевый диск, на котором закреплены
три шкива, предназначенные для наматывания
нити. Диск соединен через блок легкой
нитью с грузом массы m,
который, опускаясь под действием силы
тяжести, приводит диск во вращение.
Схема установки изображена на рис. 6.
Диск вращается под действием момента
силы натяжения нити
,
равного
,
где
– радиус шкива.
|
|
|
Рис. 6. Схема экспериментальной установки |
Если пренебречь массой нити, массой
блока и трением в его оси, то
,
где F и T
- силы натяжения нити, действующие
соответственно на шкив и груз. Пренебрегая
также трением в оси диска, запишем
уравнение (1) в виде:
,
(3)
где I – момент диска с закрепленными на нем шкивами.
Воспользуемся также вторым законом Ньютона для поступательного движения груза:
.
(4)
Если нить нерастяжима, то ускорение
поступательного движения груза a
и угловое ускорение диска
связаны соотношением:
.
(5)
Исключая величины T и a из системы уравнений (3) - (5), получим:
.
(6)
При
из формулы (6) следует:
(7)
Из этой формулы следует, что угловое ускорение пропорционально массе груза. Формула (7) и проверяется в данной лабораторной работе экспериментально:
-
при разных массах m измеряется угловое ускорение,
-
строится график зависимости
от
,
-
проверяется линейность этого графика,
-
по угловому коэффициенту определяется момент инерции диска I,
-
полученное значение I сравнивается с рассчитанным по формуле
.
6. Чтобы определить угловое ускорение
для каждого значения m
измеряется зависимость угла поворота
диска
от времени. При вращении диска с постоянным
угловым ускорением из уравнения
следует
,
где
- угловая скорость при
.
А из уравнения
следует
.
Считая, что при
диск не вращался и угол
,
получим
.
Согласно этому уравнению график
зависимости
от
должен быть линейным с угловым
коэффициентом
.
По угловому коэффициенту определяется
угловое ускорение
диска при каждом значении
.