Основные свойства комплексной частотной характеристики цифрового фильтра

Отметим важные свойства частотных характеристик цифровых фильтров.

1. Подставляя в формулу (3) вместо величину, гдеl - целое число, и учитывая, что, еслиk - целое, получаем

.

Следовательно, частотная характеристика цифрового фильтра есть периодическая функция частоты с периодом . Если используется ненормированная частота, где, а, гдеТ - интервал дискретизации сигнала, то период частотной характеристики составляет .

2. Если коэффициенты фильтра - действительные числа (чаще всего это предположение реализуется на практике), имеет место соотношение

или (6)

.

Приравнивая модули левых и правых частей равенств (6), а также их аргументы, получим

или

;

,

или

Иными словами, АЧХ фильтра симметрична, а ФЧХ - антисимметрична относительно точки (при использовании нормированной частоты) или точки(при использовании частотыв рад/с).

Приведенные свойства частотных характеристик присущи и БИХ-фильтрам.

Применение нрцф в качестве согласованных фильтров

Нерекурсивные фильтры удобно использовать в качестве согласованных фильтров. Если дискретный сигнал представлен последовательностью N отсчетов при, то импульсная характеристика фильтра, согласованного с сигналом, также содержитN отсчетов, причем

.

Если, например, сигнал имеет вид

(при N = 4),

то .

Основные свойства согласованного фильтра:

• если фильтр согласован с входным сигналом, то максимум выходного сигнала пропорционален энергии сигнала на входе;

• максимум (основной пик) выходного сигнала имеет место в момент времени ;

• длительность основного пика сигнала на выходе согласованного фильтра обратно пропорциональна ширине спектра входного сигнала.

Инструкция по работе с эвм

Программное обеспечение лабораторной работы предназначено для работы в среде MATHLAB и включает программные модули, обеспечивающие выполнение лабораторной работы в полном объеме.

Для выполнения исследований частотных характеристик НРЦФ из библиотеки Matlab используется программа вычисления частотной характеристики НРЦФ по коэффициентам фильтра - freqz(b,a,'whole'). Вариант реализации программы, вычисляющей ИХ и комплексную ЧХ фильтра, приведен ниже. Вычисления выполняются без взвешивания ИХ (с простой ИХ), и с окнами взвешивания Тьюки и Хэмминга.

clear;

a=[1] %вектор коэфф. рекурсивной части

b=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]; %вектор коэфф. нерекурсивной части

Impz(b,a); %построение простой (невзвешенной) их

figure

freqz(b,a,'whole'); %построение комплексной ЧХ («невзвешенной»)

win1=tukeywin(numel(b)) %взвешивание по Тьюки

b=win1 %взвешивание по Тьюки

figure;

Impz(b,a); %построение их

figure

freqz(b,a,'whole'); %построение частотной характеристики

win2=hamming(numel(b)) %взвешивание по Хэммингу

b=win2 %взвешивание по Хэммингу

figure;

Impz(b,a); %построение их

figure

freqz(b,a,'whole'); %построение частотной характеристики

Примечание - Заметим, что для НРЦФ вектор коэффициентов рекурсивной части вырожден и состоит из одного коэффициента .

Для исследования частотных характеристик НРЦФ необходимо вызвать программу 1.m .

Для выполнения проектирования НРЦФ методом частотной выборки из библиотеки Matlab используется программа b=fir2(N,f,k), которая по порядку фильтра и набору частотных отсчетов, где- значение нормированной частоты и- значение коэффициента передачи фильтра на этой частоте, возвращает вектор коэффициентов нерекурсивной части.

Синтаксис вызова функции fir2, с помощью которой можно задать произвольную кусочно-линейную АЧХ, следующий

.

Здесь параметры ивектора обязательно одинаковой длины, которые совместно определяют желаемую АЧХ синтезируемого фильтра. Векторсодержит значения частот, нормированных к половине частоты дискретизации, которые должны образовывать неубывающую последовательность, причем0 и1. Частотная характеристика задается в диапазоне частотот 0 до 1 (половины частоты дискретизации). Частоты могут дублироваться, что дает возможность задавать скачкообразное изменение АЧХ. Остальные параметры являются необязательными. Параметрзадает количество точек, используемое при интерполяции заданной АЧХ, по умолчанию512. Параметрзадает ширину переходных зон вокруг скачка, по умолчанию 25 точек линейной интерполяции.

Примечание - Подчеркнем, что в силу симметрии ЧХ, достаточно задать требуемую частотную характеристику в диапазоне нормированных частот от 0 до 1 (половины частоты дискретизации).

Параметр задает используемое при синтезе окно. Это должен быть вектор-столбец, содержащийэлемент. По умолчанию используется окно Хэмминга, рассчитываемое с помощью функции. Для проектирования НРЦФ методом частотной выборки необходимо вызвать программу2.m.

%РАСЧЕТ НРЦФ методом частотных выборок

a=[1]; %вектор коэфф рекурсивной части

N=7; %порядок фильтра

f=[0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1];%вектор частот частотной х-ки

k=[1.2 1 0.1 0.1 0.1 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01];%вектор значений частотной х-ки (частотных отсчетов)

b=fir2(N,f,k) %вектор коэфф нерекурсивной части, определяется для фильтра %порядка N по значениям векторов частот и значений АЧХ