- •Сборник заданий
- •Часть 1
- •Учебное пособие
- •Оглавление
- •Часть 1. Дифференциальные уравнения (ду) 1-го порядка.
- •Часть 1. Дифференциальные уравнения (ду) 1-го порядка.
- •1. Дифференциальным уравнением (ду) называют равенство, содержащее независимые переменные, искомую функцию и её производные (или дифференциалы).
- •2. Решить ду – значит найти все его решения!
- •3. Решение ду – любая функция, которая, будучи подставлена в исходную запись уравнения, обращает его в тождество!
Часть 1. Дифференциальные уравнения (ду) 1-го порядка.
ЗАНЯТИЕ 3. Постановка задачи Коши (для ДУ 1-го порядка). Составление ДУ для заданного уравнения семейства кривых линий. Изоклины. Решение уравнений с разделяющимися переменными.
Ауд. |
Л-4. Гл. 10 |
№ 9, 18, 22-34 (чётные), 40, 44. |
11 |
☺ ☻ ☺
Основные понятия:
1. Дифференциальным уравнением (ду) называют равенство, содержащее независимые переменные, искомую функцию и её производные (или дифференциалы).
2. Решить ду – значит найти все его решения!
3. Решение ду – любая функция, которая, будучи подставлена в исходную запись уравнения, обращает его в тождество!
••• ≡ •••
Пример 2–18: Методом изоклин построить приближенно семейство интегральных кривых для дифференциального уравнения: = –.
Решение:
1). Уравнение изоклин получается приравниванием =k. В нашем случае изоклина – прямая линия: . На рисунке изоклины выделены «синим» цветом. На каждой изоклине черточка («красная») отражает конкретное значение k, определяющее изоклину, то есть: на каждой изоклине наклон черточки один и тот же.
2). Черточки играют роль «железных опилок» в опытах по физике: они показывают направление «поля». Возникает «зрительный образ», который определяет «присутствие некоторой кривой», касательные к которой мы и видим. Это и есть приближенно выделяемые «интегральные кривые» (на рисунке интегральные кривые выделены «зеленым» цветом), то есть «решение» заданного ДУ.
Ответ: интегральная кривая представлена на рисунке.
Пример 3–22: Решить дифференциальное уравнение: .
Решение:
1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение очевидных решений не имеет. Запишем уравнение в виде: , видим – уравнение с разделяющимися переменными.
2). Интегрируем уравнение: =, или – общее решение дифференциального уравнения.
Ответ: – общее решение ДУ (семейство гипербол).
Пример 4–24: Решить дифференциальное уравнение: . (1)
Решение:
1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) не предлагает простейших решений вида: и .
2). Умножим исходное уравнение (1) на дифференциал . Уравнение (1) перепишем в дифференциальной форме: . (2)
3). Нетрудно заметить, что уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируем уравнение (2): +=, или . (3)
Ответ: – общее решение ДУ (семейство концентрических окружностей).
Пример 5–26: Решить дифференциальное уравнение: . (1)
Решение:
1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) не может иметь решения в виде , в частности в виде функции . Это значит, что дифференциал не может быть равным 0. В то же время, функция =0 есть решение уравнения (1).
2). Умножим исходное уравнение (1) на дифференциал . Уравнение (1) перепишем в дифференциальной форме: . (2)
3). Нетрудно заметить, что уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными. Так как решение уже учтено, теперь примем, что и перепишем уравнение (2) в виде: +=0. (3)
4). Используя простейшие приёмы вычисления неопределённых интегралов, проинтегрируем уравнение (3). При получении общего решения уравнения (3) применим два принципиально разных способа использования произвольной постоянной величины:
→ или . (4)
→ или . (5)
Замечания: 1. При получении выражений (4) и (5) принципиальным было применение условия y≠0. При получении записи (5) также необходимо потребовать выполнения условия C≠0!..
2. Использование записи (5) удобнее в случае решения задачи Коши: вычисление постоянной C совсем просто, при использовании (4) пришлось бы применять логарифмы!.. Если общее решение уравнения воспринимать как совокупность кривых, то записи эквиваленты!..
Ответ: общее решение ДУ ; хотя при получении общего решения произвольная постоянная величина не должна принимать значение 0, формально из него можно получить решение исходного уравнения при значении .
Пример 6–28: Решить дифференциальное уравнение: . (1)
Решение:
1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) не предлагает простейших решений вида: и .
2). Умножим исходное уравнение (1) на дифференциал . Уравнение (1) перепишем в дифференциальной форме: . (2)
3). Теперь воспользуемся тем, что переменные в уравнении разделяются. Уравнение (2) можно записать в виде: . (3)
4). Интегрируем уравнение (3): =+, или – общее решение дифференциального уравнения.
Ответ: – общее решение ДУ.
Пример 7–30: Решить дифференциальное уравнение: .
Решение:
1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение очевидных решений не имеет. Запишем уравнение в виде: +2=0 (умножение на число 2 удобно!), видим – уравнение с разделяющимися переменными → можно приступить к интегрированию ДУ.
2). Интегрируем: – общее решение ДУ.
Ответ: – общее решение ДУ.
Пример 8–32: Решить дифференциальное уравнение: . (1)
Решение:
1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) имеет решения в виде функции: , то есть ось .
2). Теперь воспользуемся тем, что переменные в уравнении (1) разделяются. Перепишем это уравнение в виде: =. (2)
3). Интегрируем: =, или – общее решение дифференциального уравнения, или (лучше!) в виде .
Ответ: – общее решение ДУ, также: y = 0 (выделяется из общего при =0).
Пример 9–34: Решить дифференциальное уравнение: . (1)
Решение:
1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) имеет решения в виде функции: , прямая, параллельная оси .
2). Преобразуем уравнение (1), учитывая, что теперь , а также =:
. (2)
3). Интегрируем: – общее решение ДУ.
Ответ: – общее решение ДУ, также: .
Пример 10–40: Решить дифференциальное уравнение: .
Решение:
1). Примем: . Учитывая, что , перепишем уравнение (1): . Из равенства имеем решения: =, где .
2). Интегрируем уравнение: , применяя подстановку: и учитывая выражения и . Интегрирование левой части: , правой: .
3). Учитывая, что и , запишем общее решение: .
Ответ: – общее решение ДУ, также: =, где .
Пример 11–44: Найти частное решение уравнения: , .
Решение:
1). Запишем заданное уравнение в виде: – уравнение с разделяющимися переменными.
2). Интегрируем: – общее решение ДУ.
3). Используя начальные условия, запишем: – частное решение ДУ.
Ответ: – частное решение ДУ.
Вопросы для самопроверки:
-
Какое уравнение называют дифференциальным?
-
Как определить порядок ДУ?
-
Что такое решение ДУ, частное решение ДУ?
-
Что такое общее решение ДУ?
-
Что значит решить Задачу Коши?
-
Что такое семейство кривых?
-
Как построить уравнение, решением которого является заданное семейство кривых?
-
Каковы стандартные формы ДУ с разделяющимися переменными?
-
Какова стандартная схема решения ДУ с разделяющимися переменными?
☺☺
ЗАНЯТИЕ 4. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и уравнения Бернулли.
Ауд. |
Л-4. Гл. 10 |
№ 68-74 (чётные), 84, 86, 88, 94. |
8 |
☺ ☻ ☺
Дифференциальное уравнение 1-порядка называют линейным, если входящие в него искомая функция и ее производная входят в уравнение в 1-й степени. Запись линейного уравнения считаем стандартной, если она имеет вид: , (1)
где и – непрерывные функции переменной или постоянные.
Для формы записи (1) используем стандартный алгоритм решения уравнения:
1. Решение уравнения ищем в виде функции: , где и .
2. Вычисляем интеграл: и записываем выражение: =.
3. Вычисляем: =, где произвольная постоянная величина , в зависимости от конкретных выражений для функций и , может быть записана и в виде выражений , и др.
4. Запишем общее решение уравнения: =∙.
Замечание: Для того, чтобы формально (как предписанную технологию) применять стандартный алгоритм решения линейного уравнения, первым действием при решении линейного уравнения 1-го порядка всегда должно быть приведение конкретного уравнения к форме записи (1)!..
••• ≡ •••
Пример 1–68: Решить дифференциальное уравнение: .
Решение:
1). Приводим уравнение к стандартной форме: .
2). Вычисляем интеграл: ==. Тогда: ==, или =.
Замечание: в последней записи выражения для функции знак модуля опущен, так как от функции требуется только обеспечить выполнение равенства: (это показано в Пособии при получении алгоритма решения линейного уравнения).
3). Вычисляем: ==+ =+.
4). Запишем общее решение уравнения: =∙=.
Ответ: = – общее решение.
Пример 1–70: Решить дифференциальное уравнение: .
Решение:
1). Запишем уравнение в форме: , где = и =.
2). Вычисляем интеграл: =–=. Тогда: ==.
3). Вычисляем: ==+ =+.
4). Запишем общее решение уравнения: =∙.
Ответ: = ∙– общее решение.
Пример 2–72: Решить дифференциальное уравнение: .
Решение:
1). Уравнение соответствует стандартной форме: , отметим сразу, что переменная . Запишем также: и .
2). Вычисляем интеграл: == и записываем выражение: ==.
3). Вычисляем: ==+=++=++, или, после очевидных преобразований: =
Замечание: интеграл в таблице интегралов: =+. Его нетрудно получить методом интегрирования по частям.
4). Запишем общее решение уравнения: =∙=.
Ответ: =– общее решение.
Пример 4–74: Решить дифференциальное уравнение: =.
Решение:
1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение имеет очевидное решение .
2). Теперь принимаем и приводим уравнение к стандартной форме: .
Замечание: Переход от записи решения в виде функции к записи подсказан исходным выражением вполне выразительно!..
3). Решение уравнения ищем в виде функции: , где и .
4). Вычисляем интеграл: ==. Тогда: ==, или =.
5). Вычисляем: ==+ =+.
6). Запишем общее решение уравнения: =∙=.
Ответ: = – общее решение. Из исходного уравнения также: – решение.
Пример 5–84: Найти частное решение ДУ: , удовлетворяющее условию: =.
Решение:
1). Запишем уравнение в стандартной форме: , где: и =.
2). Вычисляем интеграл: == и записываем выражение: ==.
3). Вычисляем: ==+=+, или, после очевидных преобразований: =+.
Замечание: интеграл в таблице интегралов: =+. Его нетрудно получить методом интегрирования по частям.
4). Запишем общее решение уравнения: =. Из условия = получаем значение =1. Запишем частное решение: =
Ответ: = – частное решение.
☺☺
Дифференциальные уравнения 1-порядка Бернулли: , (1)
где и – непрерывные функции переменной или постоянные, – произвольное число. Уравнение Бернулли интересно тем, что использованием стандартного приёма приводится к линейному уравнению, которое мы уже умеем решать!.. Вот этот приём:
1. Применим подстановку: и перепишем (1): .
2. Обозначив: = и =, запишем: – линейное уравнение в стандартной форме.
Замечание: Для того, чтобы формально (как предписанную технологию) применять стандартный алгоритм решения уравнения Бернулли, первым действием всегда должно быть приведение конкретного уравнения к форме записи (1)!..
••• ≡ •••
Пример 6–86: Решить дифференциальное уравнение: . (1)
Решение:
1). Уравнение (1) есть уравнение Бернулли в стандартной форме для значения, при этом имеем: и .
2). Применим подстановку: = и перепишем (1) как: , то есть: , или , где =, =.
3). Далее применяем стандартный алгоритм решения линейного уравнения: , записанного в стандартной форме, приняв .
4). Вычисляем интеграл: == и записываем выражение: ==.
5). Вычисляем: =+=+ ==+.
6). Запишем общее решение уравнения: =∙, или =∙.
Ответ: =∙– общее решение.
Пример 7–88: Решить дифференциальное уравнение: . (1)
Решение:
1). Из уравнения (1) следует: – решение. Запишем уравнение Бернулли в стандартной форме: . (2)
2). Отметим в уравнении (2) параметры: , = и =.
3). Применим подстановку: = и перепишем (2) как: , то есть: , или , где =, =.
4). Далее решаем линейное уравнение: , записанное в стандартной форме, приняв .
5). Вычисляем интеграл: == и записываем: ==.
6). Вычисляем: =+=+ =.
7). Запишем общее решение уравнения: =∙. Если учесть , то получим: =∙, или ∙∙=1.
Ответ: ∙∙=1 – общее решение уравнения, также .
Пример 8–94: Решить дифференциальное уравнение: , y=1. (1)
Решение:
1). Из уравнения (1) следует: и – решение. Разделив равенство (1) на , получим уравнение Бернулли в стандартной форме: . (2)
2). Отметим в уравнении (2) параметры: , и .
3). Применим подстановку: = и перепишем (2) как: , то есть: , или , где , =.
4). Далее применяем стандартный алгоритм решения линейного уравнения: , записанного в стандартной форме, приняв .
5). Вычисляем интеграл: == и записываем: ==.
6). Вычисляем: =+=+ =+ =.
7). Запишем общее решение уравнения: =∙=. Если учесть , то получим: .
8). Через точку проходит интегральная кривая: , так как =4.
Ответ: – общее решение уравнения, также ; частное: .
Вопросы для самопроверки:
-
Как определяют линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка?
-
Что значит: «стандартная форма» линейного уравнения, зачем её вводят?
-
Какова основная «идея» способа «подстановки» решения линейного уравнения?
-
Всегда ли можно «проинтегрировать» линейное ДУ?
-
Какие уравнения относят к уравнениям Бернулли?
-
В чем особенность интегрирования уравнения Бернулли?
-
Бывают ли уравнения Бернулли, которые невозможно «проинтегрировать»?
☺☺
(продолжение следует)
•• ☻☻ ••