- •Тепловое равновесное излучение.
- •Температуры
- •Лекция 1. Тепловое равновесное излучение.
- •1. Электромагнитное излучение нагретых тел. Равновесное излучение.
- •2. Свойства и спектральные характеристики теплового излучения
- •3. Абсолютно черная поверхность.
- •5. Закон Кирхгофа.
- •6. Модели абсолютно черного тела (ачт).
- •7. Классическая теория.
- •8. Квантовая теория.
8. Квантовая теория.
Исторически квантовая физика возникла как раз при попытке объяснения закономерностей равновесного излучения. В течение 6 лет берлинский профессор Макс Планк занимался поиском путей, которые дали бы возможность уменьшить долю энергии, излучаемой в области высоких частот. Проблема была разрешена с помощью следующей гипотезы, предложенной М.Планком в 1900г.
Гипотеза М.Планка.
* Вещество состоит из атомных осцилляторов, взаимодействующих с тепловым излучением.
*Гипотеза о квантах: Возможные значения энергии осцилляторов, совершающих колебания с частотой ,дискретны:
, (15)
где - энергия невозбужденного (основного) состояния осциллятора. Планк полагал, что
. В дальнейшем выяснилось, что . Квантовый осциллятор, в отличие от классического осциллятора, нельзя остановить, в состоянии с минимальной энергиейон совершает так называемые нулевые колебания.
Здесь - новая фундаментальная физическая константа, введенная Планком и определенная из эксперимента с большой точностью.
Атомные осцилляторы могут обмениваться энергией с излучением только порциями (квантами) величиной (рис.6). В результате такого обмена достигается равновесное состояние в системе «излучение + вещество».
М.Планк предположил, что частицы вещества, излучающие волны с частотой ,
могут изменять свою энергию только
скачкообразно, дискретными порциями .E
Такая скачкообразность немыслима в
классической физике. В качестве излучающих
«частиц» он вводит осцилляторы. По закону
Кирхгофа распределение равновесного
излучения не зависит от устройства излучателей
и должно получаться и в том случае, когда
в равновесии с излучением находятся осцилляторы.
Если в равновесном состоянии число Рис.6. Обмен энергией осцилляторов
осцилляторов с наименьшей энергией с излучением.
равно , то число возбужденных осцилляторова). Излучение:
с энергией равно б). Поглощение:
(16)
в соответствии с распределением Больцмана, где . Только возбужденные осцилляторы могут испускать квантыи давать вклад в энергию излучения частоты.
Средняя энергия осциллятора.
Рассмотрим осцилляторы, которые дают вклад в энергию
излучения частоты (рис.7). Полное число осцилляторов
Сумма в скобках представляет собой убывающую
геометрическую прогрессию со знаменателем Рис.7. Зависимость
.от
Найдем полную энергию возбужденных осцилляторов:
.
На один осциллятор приходится в среднем энергия возбуждения, равная
(17)
Распределение Планка по частоте для равновесного теплового излучения.
Стоячие волны в полости можно рассматривать как электромагнитные осцилляторы со средней энергией , даваемой формулой (17). Средняя энергия осциллятора не должна зависеть от его устройства. Если вещество стенок полости поддерживается при температуреT и находится в равновесии с тепловым излучением в этой полости, то
.
Число электромагнитных осцилляторов в интервале частот от добыло найдено в (11). Тогда
Поскольку , то
(Формула Планка) (18)
Первый множитель в распределении Планка (18) имеет смысл числа электромагнитных осцилляторов в единице объема и в единичном интервале частот, второй множитель – средняя энергия одного осциллятора равновесного теплового излучения при температуре T.
Распределение Планка (18) представлено на рис.8 (кривая 3).
Вклад низкочастотных и высокочастотных осцилляторов в энергию излучения различен.
1). Низкочастотные осцилляторы .
Из (18) следует ,
Что совпадает с классическим результатом, полученным исходя из закона равномерного распределения энергии по электромагнитным колебаниям в полости (закон Рэлея – Джинса, кривая 1 на рис.8).
Нагретые стенки полости можно условно заменить набором излучателей (осцилляторов) всевозможных частот. Излучатели малой частоты будут вести себя, как полагается, по законам классической статистической физики, для них дискретность энергии и квантовые свойства несущественны. Каждый из них приобретет в среднем энергию , гдеT – температура стенок. Такую же энергию в среднем приобретут электромагнитные осцилляторы теплового излучения, находясь в равновесии со стенками.
2). Высокочастотные осцилляторы .
, средняя энергия осциллятора и из (19) следует
(Распределение В.Вина) (19)
Структуру формулы (19) предсказал немецкий физик Вильгельм Вин еще в 1886 году, анализируя эксперименты по излучению черного тела. Формула (19) согласуется с экспериментальными данными при высоких частотах (рис.8, кривая 2).
Почти все высокочастотные осцилляторы находятся в невозбужденном (основном) состоянии с энергией E0. Для перевода осцилляторов даже в первое возбужденное состояние с энергией E1 требуется большая энергия , поэтому такие переходы маловероятны и происходят весьма редко. Доля возбужденных осцилляторов с ростом частоты резко падает (по экспоненциальному закону), их вклад в излучение незначителен.
1 2
3
Рис.8.Зависимость спектральной плотности энергии теплового равновесного
излучения от частоты.
1 – закон Рэлея – Джинса, 2 – распределение В.Вина,
3 – распределение М.Планка.
Закон Стефана – Больцмана для излучения АЧТ.
Спектральная светимость абсолютно черного тела (АЧТ), для которого на всех частотах, равна. Для вычисления полной энергетической светимостивоспользуемся формулой Планка (18), в которой введем переменную. Тогда
Вычисление интеграла дает константу, равную . В результате получим
(Закон Стефана – Больцмана), (20)
где постоянная Стефана – Больцмана выражается через универсальные константыи равна.
Полную плотность энергии излучения , а значит и, можно определить, вычисляя площадь под кривой 3 (теоретической или экспериментальной) на рис.8.
Закон обнаружил австрийский физик Йозеф Стефан в 1879 г при анализе экспериментальных данных. Затем его ученик Людвиг Больцман через 5 лет вывел его, применяя методы термодинамики.
Смещение максимума кривой зависимостиот частотыпри изменении температуры.
В максимуме кривой 3 на рис.8 производная равна нулю, то есть при. Вычисления приводят к уравнению
, где
Это уравнение можно решить методом последовательных приближений:
, и так далее. В результате получимзакон смещения:
(21)
Согласно этому закону с увеличением температуры
от T1 до T2 максимум кривой распределения смещается T2>T1
в сторону более высоких частот (рис.9). При этом
площадь под кривой распределения, как следует из закона T1
Стефана – Больцмана, увеличивается в раз.
Рис.9. Закон смещения.
Распределение энергии излучения по длинам волн.
В теории в качестве переменной удобна частота , а в экспериментах преимущественно используется длина волны. Эти величины связаны соотношением. На рис 10 показана схема перехода от частот в распределении Планка к распределению по длинам волн.
Рис.10. Схема перехода от частот к длинам волн.
Из равенства плотностей энергии излучения следует , или
.
После преобразования получим распределение Планка по длинам волн
(Формула Планка) (22)
Закон смещения В.Вина.
В максимуме кривой при
производная . Решение
полученного уравнения приводит к закону
смещения максимума кривой распределения с
изменением температуры
Рис.11. К закону смещения Вина.
(Закон смещения В.Вина). (23)
Постоянная Вина . В.Вин установил этот закон в 1893г.
Максимум кривой распределения Планка смещается в сторону более коротких длин волн при увеличении температуры. При этом площадь под кривой распределения увеличивается в соответствии законом Стефана – Больцмана.
Заметим, что функциональные зависимости в формуле Планка (18) от частоты и в формуле Планка (22) от длины волны различны. Результат дифференцирования для нахождения законов смещения приводит к разным уравнениям, поэтому .
Формула Планка подтвердилась экспериментом во всех известных областях частот и температур. Сравнение теории с экспериментальными данными позволило определить не только постоянную Планка , но и постоянную Больцмана, уточнить значения числа Авогадро, заряда электрона.
14 декабря 1900г М.Планк в Немецком физическом обществе доложил о теоретическом выводе закона равновесного теплового излучения. Этот день стал датой рождения квантовой физики. В 1918г Планк был удостоен Нобелевской премии: «За открытие кванта действия ».
Вопросы.
1. В вакууме пространственно разделенные тела могут обмениваться энергией только путем излучения и его поглощения. Квантовый характер обмена энергией между телами переходит в классический …
А): при низких частотах теплового излучения ();Б): при высоких частотах излучения ();В): при частотах вблизи максимума теплового излучения ().
2. Какие из представленных формул являются законами смещения максимума в спектральном распределении энергии теплового излучения?
А) . Б) . В)Г).
3. Вследствие повышения температуры максимум спектральной светимости абсолютно черного тела сместился с длины волны до длины волныВо сколько раз изменилась интегральная энергетическая светимость?
А) Увеличилась в 2 раза; Б) уменьшилась в 2 раза; В) уменьшилась в 4 раза; Г) увеличилась в 8 раз; Д) увеличилась в 16 раз.