41_4_Econometrics_Polyansky__Part_4

рые

tb j

);

•

оценки некоторых коэффициентов регрессии ( b j ) не соответствуют

ˆ

сокий (>0,6) R 2

между какой-либо объясняющей переменной и некоторой

их группой может свидетельствовать о мультиколлинеарности;

• анализ матрицы X T X ;

мультиколлинеарность выявляется, если:

−

её определитель =det( X Т X ) очень мал (близок к нулю);

−

минимальное собственное значение λmin мало (близко к нулю);

−

очень велика разность между максимальным и минимальным

собственными значениями.

3) Устранение (уменьшение) мультиколлинеарности:

• исключение одной из объясняющих переменных, имеющих высо-

кий (>0,8)

парный (частный) коэффициент корреляции; из этих двух обычно

устраняется та, которая по экономическим соображениям менее важна или у

которой меньший коэффициент корреляции с Y ;

• переход от коррелирующих объясняющих переменных к новым в

виде линейной комбинации исходных (например, их суммы);

• переход

от несмещённых оценок коэффициентов к смещённым

(например, расчеты методом максимального правдоподобия);

• использование гребневой регрессии («ридж-регрессии»). Вместо

матрицы несмещённых оценок b (3.2) используется матрица смещённых

оценок bτ

=( X

X +τE p+1 )

X

ˆ

Т

Т

Y ,

ˆ

−1

1. Из всего набора имеющихся в наличии объясняющих переменных

определяется конкретная

X j , имеющая с

Y наибольший коэффициент де-

терминации R2

(>0,8).

перебора оставшихся факторов

2. Далее

путём последовательного

определяется тот, добавление которого в модель даёт наибольший эффект

(скорректированный

R

по сравнению с

1-м шагом увеличится наиболее

ˆ 2

значительно). Его вводят в модель.

3. Опять перебираются оставшиеся факторы, поочередно и последо-

вательно включаясь в модель. Определяется тот фактор, добавление которо-

го позволяет ещё более повысить R

.

Его и оставляют в модели.

ˆ 2

пока добавление в модель любой из

4. Так повторяется до тех пор,

оставшихся объясняющих переменных практически не сказывается на каче-

стве модели, т.е. R

практически перестаёт увеличиваться.

ˆ 2

!

Замечания.

• Возможны некоторые другие подходы. В частности, может анализироваться не

R , а корреляционная матрица (3.7), т.е. парные коэффициенты корреляции.

ˆ 2

• Необходимо также в получающихся моделях обращать внимание на значи-

мость коэффициентов регрессии b

j (т.е. на их t-статистики) и соответствие их знаков

ˆ

экономическому смыслу.

•

сильно коррелированы (

r

> 0,8 ) с другими объясняющими пере-

менными; из двух коррелирующих

объясняющих переменных удаляется та,

которая имеет наименьший по модулю коэффициент парной корреляции с

объясняемой переменной Y ;

•

имеют несоответствующий экономическому смыслу знак (модуль).

3.

Процедура заканчивается тогда, когда в модели остаются только

значимые объясняемые переменные (у которых

tb j

> t1−α;n−m ), мало корре-

лированные друг с другом (их парные

r

< 0,8 )

и

имеющие экономически

ˆ

интерпретируемые величины и знаки bj .

!

Замечания.

•

В процессе использования процедур отбора получается модель не оптимальная,

но близкая к оптимальной (в смысле МНК).

•

Порядок отсеивания переменных

и их состав может несколько отличаться

(например, у различных исследователей). В

этих случаях получаются модели в боль-

шей или меньшей степени близкие к опти-

мальной.

Не рекомендуется исключать из

•

модели несколько переменных одновре-

менно.

4.1.2. Гетероскедастичность

Гетероскедастичность – это

Рис. 4.1

непостоянство дисперсий ошибок

регрессии ε i при различных значениях какой-либо из объясняющих пере-

менных. При этом нарушается допущение (0.6) классической регрессионной

модели.

В противном случае говорят о гомоскедастичности.

1) Методы определения гетероскедастичности

•

визуальный – анализ вида графика зависимости объясняемой пере-

менной от какой-либо объясняющей переменной. Когда разброс наблюдае-

мых значений объясняемой переменной от своих средних значений суще-

ственно

различен при различных значениях

объясняющей переменной

(рис.4.1), можно сделать вывод о наличии в модели гетероскедастичности.

•

тестовый – использование различных тестов, что позволяет выявить

а) Тест ранговой корреляции Спирмена

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена ρx , y известен из мате-

матической статистики [13].

Суть теста: при наличии в модели гетероскедастичности абсолютные

xi коррелированны.

величины остатков ei и значения регрессора

Алгоритм теста:

и

− наблюдения упорядочиваются по возрастанию конкретного

xi

определяются ранги N x наблюдений;

− аналогично наблюдения упорядочиваются по возрастанию

ei

и

определяются ранги Ne наблюдений;

− вычисляются разности рангов di

= N xi − Nei ;

− определяется коэффициент ранговой корреляции

6

∑n

di2

ρx ,e = 1 −

i=1

;

(4.1)

3

− n

n

− если он близок к ±1 , то xi и

ei

коррелированы, т.е. модель счита-

ется гетероскедастичной;

коэффициент ранговой корреляции

− определяется значимость

ρx ,e ;

Спирмена значим на уровне α при n > 10 , если его t-статистика

ρx ,e

> t1−α;n−2

.

t

=

n − 2

(4.2)

1 − ρx2

,e

остатков: S1 =∑k

ei2 , S2 =

∑n

ei2 ;

i =1

i =n−k +1

определяются минимальное и мак-

− из полученных величин S1 и S2

симальное:

Smax =max S1

; S2

, Smin

=min S1 ; S2 .

−

определяется F-статистика

− если вычисленная F-

F = Smax

Smin

;

(4.3)

статистика

F > Fα;k − p ;k − p , то гипотеза H0 (о

гомоскедастичности) отвергается (т.е. модель гетероскедастична).

!

Замечания.

•

Наилучшие результаты получаются при выборе мощности теста k ,

близкой к n

3

, т.е. надо сравнивать приблизительно 30% первых и 30% последних

наблюдений.

•

Для полного исследования на гетероскедастичность можно сравнить не

только первые и последние, но и первые-центральные,

последние-центральные и

т.п. подвыборки одинакового объёма.

в) Тест Уайта

что дисперсия ошибок регрессии представляет собой

Предполагается,

одну и ту же функцию

σε2

= f ( x ) ,

i =1,2 ,...,n .

Суть теста:

гетероскедастичность наблюдается, если ошибки не зави-

сят от

величины объясняемой переменной, т.е. уравнение ei2 = f ( xi

) +ui

является значимым на уровне

α ( ui - ошибки описываемой модели).

Чаще

всего f

выбирается квадратичной,

чтобы σ зависела от

xi приближённо

линейно.

Алгоритм теста:

и их квадраты ei2 ;

−

вычисляются остатки регрессии ei

−

строится модель

ei2

= f ( xi ) +ui

(обычно

f выбирается квадра-

тичной);

− оценивается её значимость; если модель незначима, то отвергается

гипотеза

H0

(о

гетероскедастичности модели),

т.е. модель го-

москедастична.

г) Тест Глейзера

Тест во многом аналогичен тесту Уайта.

Суть теста: как и в тесте Уайта, анализируется значимость функции

В

качестве

обычно выбирается

функция

вида

ei

= f ( xi

) +ui

.

f

f =α +γxδ . Расчеты проводятся при различных δ , а выбирается то зна-

чение, при котором

наиболее значим

(имеет наибольшую t-статистику).

!

Замечания.

Невыявление гетероскедастичности не означает её отсутствие (аналогично

тому, что недиагностированная болезнь не означает здоровье пациента). Напри-

мер,

могут оказаться неверными начальные предположения рассмотренных те-

стов, например о виде функций. Процесс выявления гетероскедастичности может

оказаться сложным.

2) Устранение гетероскедастичности

Для устранения гетероскедастичности часто используется взвешен-

ный МНК.

Суть: осуществляется переход от исходной гетероскедастичной моде-

ли

y =b0 +∑p

bj x j

+ε

с

исходными

объясняющими

переменными X j

j=1

( j =1,2 ,..., p ) и объясняемой переменной Y к модели

~

~

p

~ ~

~

(4.4)

y

=b0

+∑bj x j

+ε

j=1

~

Y

~

X j

с нормированными переменными Y

=

,

X j =

( j =1,2,..., p ) и новыми

σ

σ

i

i

~

ε

возмущениями ε =

. Здесь σi

соответствуют i-ым (i = 1, 2, …, n)

диаго-

σ

i

нальным элементам ковариационной матрицы

σ 2

0

ε 2

)

0

0

0

Σ B =

1

0 0

=

M (

1

.

0

σ 22

0 0

0

M ( ε 22

) 0

0

0

0

...

2

0

0

...

2

0

0

0

0 0 σ n

0

0

0 M ( ε n

)

Величину M ( ε i2 ) можно оценить средним арифметическим квадратов

остатков i-го наблюдения

.

ε i2

) =1.

Новая модель гомоскедастична: дисперсия возмущений D( ε i

~

ния

Состоятельными оценками могут быть, например, прогнозные значе-

ei квадратичной регрессии теста Уайта.

ˆ 2

Алгоритм теста:

•

для каждой

выборки отдельно построить две регрессионные модели

yi

=b0( 1 ) +∑p

b(j

1 ) xij

+εi( 1 ) ,

i =1,2 ,...,n1 ;

j=1

yi

=b0( 2 ) +∑p

b(j

2 ) xij

+εi( 2 ) ,

i =1,2 ,...,n2 ;

Se( 1 ) =∑n1

( ei( 1 ) )2 и Se( 2 ) =∑n2

( ei( 2 ) )2 ;

i=1

i =1

•

построить модель для объединённой выборки объёмом n =n1 +n2

y =b0 +∑p

bj x j +ε ,

i =1,2 ,...,n ;

j=1

•

получить для неё сумму квадратов остатков

Se =

∑n

ei2 ;

вычислить F-статистику

i =1

•

F =

( Se − Se( 1 ) − Se( 2 )

)( n − 2 p − 2 )

;

(4.5)

• гипотеза

( Se( 1 ) + Se( 2 )

)( p + 1 )

H0 (об однородности выборок) отвергается (т.е. выборки

нельзя объединять в одну), если

раметрами, проанализирован и сформирован набор факторов, оказываю-

щих

(по мнению исследователей)

наиболее существенное влияние на сто-

имость квартиры

(тыс.$) - объясняемую переменную Y :

X 1 - количество комнат (шт.),

X

2 -

общая площадь (кв.м), X 3 - жилая

площадь (кв.м),

X 4 - площадь кухни

(кв.м),

X 5 - высота потолка

(м),

Z 6 - этаж (0- первый или последний, 1-

не первый и не последний),

X 7 -

количество балконов/лоджий (шт.),

X

8 - удаленность от центра города

(км),

X 9 - расстояние до метро

(минут

ходьбы),

X 10 - планируемый срок

до сдачи дома (месяцев).

данным:

По приведенным на рис. 4.2

1)

построить модель множественной линейной регрессии Y на X 1 ,

X 2 ,

X 3 , X 4 , X 5

, Z 6 , X 7 , X 8 ,

X

9 ,

X 10

(модель расчета рыночной стои-

мости строящегося жилья г.Санкт-Петербурга);

2)

определить качество и статистическую значимость модели в целом, а

также статистическую значимость и экономическую интерпретируе-

мость всех полученных коэффициентов регрессии;

3)

исследовать модель на мультиколлинеарность;

4)

сделать вывод о возможности применения полученной модели мно-

жественной линейной регрессии.

рованного коэффициента детерминации R

=0 ,981 (ячейка B52).

ˆ

2