41_6_Econometrics_Polyansky__Part_6

Полянский Ю.Н.

Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

6.1.2. Формы моделей, описываемых системами эконометрических уравнений

Системы эконометрических уравнений по своей структуре могут быть различными. Они могут содержать в правых частях как эндогенные ( yi ), так и экзогенные ( x j ) переменные. Такая форма модели называется структур- ной формой. Будем условно обозначать коэффициенты перед ними соответ-

ственно bij и aij , которые называют структурными коэффициентами.

в) Системы взаимосвязанных (совместных) уравнений, в которых

одни и те же переменные в различных уравнениях выступают то в роли объясняемых, то в роли объясняющих, выглядят

131

Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

6.1.3. Проблема идентификации модели

При преобразовании системы к приведенной форме существует проблема идентификации модели, т.е. единственности соответствия между приведенной и структурной формами. С этой точки зрения модели бывают:

а) идентифицируемые; б) неидентифицируемые;

в) сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все её структурные коэффициенты однозначно определимы, т.е. количество коэффициентов в структурной и в приведенной моделях одинаково.

Модель неидентифицируема, если количество приведенных коэф-

132

Полянский Ю.Н.

Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

фициентов меньше количества структурных коэффициентов.

Модель сверхидентифицируема, если количество приведенных ко- эффициентов больше количества структурных коэффициентов.

Для установления идентифицируемости модели в целом необходимо проверять на идентифицируемость каждое из уравнений системы:

•модель идентифицируема, если идентифицируемо каждое уравне- ние системы;

•модель неидентифицируема, если неидентифицируемо хотя бы од- но их уравнений системы;

•модель сверхидентифицируема, если сверхидентифицируема хотя бы одно их уравнений системы.

!Теорема (необходимое условие идентифицируемости уравнения си-

стемы).

Пусть в произвольном уравнении структурной формы модели содер- жится H эндогенных переменных и D экзогенных переменных, содер- жащихся в системе, но не входящих в данное уравнение. Тогда если:

D + 1 = H , то данное уравнение идентифицируемо;

D + 1 < H , то данное уравнение неидентифицируемо;

D + 1 > H , то данное уравнение сверхидентифицируемо.

!

стемы).

Определитель матрицы, составленной из коэффициентов при пере- менных, отсутствующих в данном уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.

В зависимости от идентифицируемости системы в целом используют- ся различные методы для расчета структурных коэффициентов системы.

6.1.4. Косвенный МНК

Идентифицируемая система решается косвенным методом наименьших квадратов (КМНК).

Алгоритм метода:

• модель из структурной преобразуется в приведенную форму;

• определяются приведенные коэффициенты (δij ) обычным МНК;

• зная приведенные коэффициенты, алгебраическими преобразова- ниями осуществляется переход обратно к структурной форме, получая оценки структурных коэффициентов.

133

Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

Оценки точности и значимости модели осуществляются коэффициен- тами R2 и F для каждого уравнения в отдельности.

Можно попробовать применить к каждому уравнению системы в структурной форме обычный МНК. Но между структурными коэффициен- тами (КМНК) и коэффициентами регрессии (ОМНК) может наблюдаться очень сильное отличие как в абсолютных величинах, так и в знаках. Это связано с тем, что коэффициенты регрессии получаются в предпосылке вза- имной независимости факторов, а в системах одновременных уравнений наблюдается сильная зависимость. Поэтому применение обычного МНК к

системам одновременных уравнений даёт несостоятельные оценки структурных коэффициентов (хотя не исключены случаи близких резуль- татов). Оценки, полученные обычным МНК могут даже стать экономически бессмысленными, особенно в системах с большим числом эндогенных пе- ременных.

6.1.5. Двухшаговый МНК

Сверхидентифицируемая система решается двухшаговым методом наименьших квадратов (ДМНК), т.к. косвенный МНК не даёт однознач- ных оценок параметров структурной модели.

Алгоритм метода:

• модель из структурной преобразуется в приведенную форму;

• определяются приведенные коэффициенты (δij ) обычным МНК;

• для этих оценок приведенных коэффициентов получаются теорети- ческие значения эндогенных переменных приведенной системы;

• подставляются эти оценки вместо фактических значений этой пере- менной в структурное сверхидентифицируемое уравнение;

• к полученному уравнению применяется обычный МНК.

Двухшаговый МНК наиболее общий и распространённый метод ре- шения систем одновременных эконометрических уравнений. Дальнейшим его развитием стал трёхшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК)

[1, 3].

6.1.6. Примеры систем эконометрических уравнений, часто используемых в практике

134

Полянский Ю.Н.

Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

C t - объём потребления;

I t - инвестиции.

Описывает закрытую экономику без государственного вмешательства. Подставив C t во 2-е уравнение, выразим Yt . Имеем уравнение в при-

веденной форме, которое можно решить обычным МНК:

135

Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

где С- расходы на потребление; R - доход;

(6.9)

I - инвестиции;

t - текущий период;

t − 1 - предыдущий период.

6) Конъюнктурная модель

где С- расходы на потребление; Y - ВВП;

(6.10)

I - инвестиции;

r - процентная ставка; M - денежная масса;

G - государственные расходы;

t и t − 1 - текущий и предыдущий периоды.

136

Полянский Ю.Н.

Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

6.2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ.

Задача 6.1

Решение.

1) Рассмотрим каждое уравнение системы (6.11) отдельно.

1-е уравнение.

В нем H = 2 эндогенных переменных ( y1 и y2 ) и D =1 экзогенных переменных, присутствующих в системе, но отсутствующих в данном урав- нении (т.е. x2 ). Так как D +1 =H , то необходимое условие идентифици- руемости выполнено.

Проверим достаточное условие. Отсутствующих переменных только одна - x2 . Надо составить для отсутствующих переменных матрицу из их коэффициентов в других уравнениях системы. В данном случае эта матрица состоит только из одного элемента: a22 . Её определитель a22 ≠0 . Ранг равен 1, т.е. ранг не менее числа эндогенных переменных системы без 1: rang(a22 ) = 1 ≥ H − 1 = 1 . Достаточное условие выполнено.

Т.е. 1-е уравнение системы точно идентифицировано.

2-е уравнение.

В нем аналогично H = 2 эндогенных переменных ( y1 и y2 ) и D =1 экзогенных переменных, присутствующих в системе, но отсутствующих в данном уравнении (т.е. x1 ). Так как D +1 = H , то необходимое условие идентифицируемости выполнено.

Во 2-м уравнении отсутствует переменная x1 . Анализируемая матри- ца (1x1) выглядит a11 . Т.к. a11 ≠0 и rang a11 = 1 ≥ H − 1 = 1, то доста- точное условие выполнено. Т.е. 2-е уравнение системы тоже точно иденти- фицировано.

Таким образом, система в целом точно идентифицируема. К ней мо- жет быть применен косвенный МНК.

137

Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

2) Реализуем косвенный МНК в теоретическом виде. Перейдем к оценкам СВ, т.е. к уравнениям без случайных компонент.

а) В 1-ом уравнении системы (6.11) выразим оценку переменной ˆy2 :

138

Полянский Ю.Н.

Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.