41_5_Econometrics_Polyansky__Part_5

носительно друга

на

лаг

(сдвиг

по времени) τ :

y1 , y2 ,..., yn (1) и

y1+τ

, y2+τ ,..., yn+τ

(2). Степень тесноты связи между ними оценивается ко-

эффициентом автокорреляции

M [( yt − a )( yt +τ − a )]

ρτ

=

.

(5.3)

σ y

2

Оценкой ρτ

является выборочный коэффициент автокорреляции

y ( 1 )

y ( 2 ) −

( 1 )

( 2 )

rτ

=

y

y

,

(5.4)

где

s1

s2

s1

и s2 - оценки среднеквадратичных отклонений СВ Y соответствен-

но на 1-м и 2-м участках временного ряда.

можно получить ав-

Если вычислить значения

ρτ

для различных τ ,

токорреляционную функцию ρ(τ )

и

построить её график – коррело-

грамму. Коррелограмма, как правило,

является убывающей функцией, т.е. с

ростом

временного

лага

τ

коэффициент

автокорреляции уменьшается,

связь участков ряда

(1)

и (2)

ослабевает.

5.1.1. Сглаживание временных рядов

Выявить тренд можно путём сглаживания временного ряда.

Основные методы сглаживания:

•

аналитическое (например,

методом наименьших квадратов);

•

механическое

(например,

методом скользящих средних).

1) Аналитическое сглаживание заключается в получении регресси-

онной модели, наилучшим образом аппроксимирующей наблюдаемые зна-

чения (с точки зрения исследователя).

Это производится аналогично тому,

как описано ранее для пространственной выборки с одной объясняющей пе-

ременной X , только вместо объясняющей переменной выступает время t .

Для этого чаще всего применяются следующие модели:

линейная yt

a

b

t ;

•

ˆ

= ˆ

+

ˆ

a

t

;

гиперболическая

yt

ˆ

•

ˆ

= ˆ +b

•

экспоненциальная yt

=

e

aˆ +bt

;

ˆ

степенная

ˆ

yt

a

t

ˆ

;

•

ˆ

= ˆ

b

b0

b1

t

b2

t

...

bk

t

.

полиномиальная y

•

ˆ

=

ˆ

+

ˆ

+ ˆ

2 +

+

ˆ

k

Регрессионные модели такого рода обладают рядом особенностей. В

частности, объясняемая переменная в такой задаче всегда детерминирована

(т.е.

принимает строго определённые заранее заданные значения), более того,

она

упорядочена по

возрастанию

t .

Во

временных рядах

часто соседние

2) Механическое сглаживание заключается в устранении (или

уменьшении)

случайной составляющей ε t (а иногда и других периодиче-

ских составляющих).

Производится для облегчения анализа временного ря-

да, придания ему «более гладкого» вида.

Обозначим наблюдаемые значения исходного несглаженного («старо-

го») ряда yt , а получающегося сглаженного («нового») ряда -

yt .

~

При сглаживании методом скользящих средних значения объясняе-

мой переменной пересчитываются по формулам:

а) сглаживание

«по 3-м точкам»:

~

= y1

y

1

~

=

yt −1 + yt + yt +1

, t = 2 ,3 ,..., n

− 1 ,

~

(5.5)

3

yt

y

n

= y

n

б) сглаживание

«по 5-ти точкам»:

y

1

=

y1

~

= y2

~

y

2

+ yt +1 + yt +2

~

=

yt −2 + yt −1 + yt

t = 3,4 ,..., n − 2

y

,

,

(5.6)

5

~t

= y

y

=

yn

yn

~n−1

n−1

~

=

y1 + y2 + y3

~

yn−2 + yn−1 + yn

y

2

,

yn−1 =

.

3

3

• Возможно сглаживание уже сглаженного ряда, например

y

= y

~

~

−

+ y

+ y

+

~

y

1

=

~1

~

~

t = 2 ,3 ,..., n − 1 .

~

t

1

t

t 1

,

~

3

yt

~

~

yn

= yn

• Аналогично можно производить сглаживание по 7, 9 и т.д. точкам. Для иссле-

дователя важно чувство меры. Иначе можно прийти к случаю, когда просто получено

среднее арифметическое всех объясняемых значений, т.е. идеально ровная горизонталь-

ная прямая. Оценку эффективности сглаживания можно производить, например, визу-

ально (по графику).

Для практики обычно достаточно

3 или 5 точек.

2) Выявление автокорреляции

а) Тест Дарбина-Уотсона

Идея: если есть корреляция между соседними значениями объясняе-

мой переменной yt и yt −1 , то она есть и между соседними ошибками ε t и

ε t −1

, и между соседними остатками et и et −1 .

Рассчитывается d -статистика

(её ещё обозначают DW )

∑n (et − et −1 )2

d =

t =2

.

(5.7)

∑n

et

2

Рис. 5.3

!

Замечание.

Недостатки теста Дарбина-Уотсона:

когда нет четкого ответа о наличии и

•

наличие зон неопределённости,

характере автокорреляции;

n > 15 ;

•

тесту можно доверять при объеме выборки

•

выявляется автокорреляция только между соседними членами ряда, то-

гда как она может наблюдаться и между более отдалёнными членами ряда

б) Тест серий (Бреуша-Годфри)

Идея: строится регрессионная модель

ˆ

+vt

,

(5.8)

где

et =bet −1

et - остатки, полученные классическим МНК;

vt

- остатки новой модели.

Существенное отличие от 0 оценки коэффициента b этой регрессии

говорит о наличии в модели автокорреляции.

ˆ

Т.о. необходимо:

a

bt

e

для исходных переменных

а)

построить МНК-модель y

=

ˆ

+ ˆ

+

(

y и t );

получить её остатки e ;

б)

=сet −1 +vt для остат-

б)

построить авторегрессионную модель AR(1) et

ков et и et −1 : (см. далее задачу 5.6);

значимость

в)

оценить с помощью t-критерия Стьюдента (см. п.1.1)

оценки коэффициента с этой модели;

г)

оценить точность этой модели с помощью коэффициента R 2 ;

д)

при существенно отличной от 0 оценке коэффициента с

и её доста-

точной точности и значимости делается вывод о наличии автокорреляции.

!

Замечание.

В этом тесте нет зон неопределённости. Кроме того, с его помощью можно иссле-

довать ряд на наличие автокорреляции между более удалёнными членами с лагом 2, 3 и

т.д., например, с помощью модели et =сet −2 +vt .

в) Тест Льюинга-Бокса

Вычисляется Q-статистика Льюинга-Бокса

Qp = n( n + 2 )∑p

r 2 (τ )

.

(5.9)

τ =1

n −τ

Идея: гипотеза об отсутствии автокорреляции верна тогда, когда Q-

статистика Льюинга-Бокса имеет χ2 -распределение с

p степенями свобо-

ды. Т.е. можно воспользоваться критерием Пирсона.

3) Устранение (уменьшение) автокорреляции:

модели,

например,

•

подбор соответствующей регрессионной

AR( p ),

MA( q ), ARMA( p,q ) и др. (см. далее);

•

включение в число регрессоров дополнительных переменных,

константы, временного тренда и т.п.

Модель описывает процесс как зависимость объясняемой переменной

в момент t от её значений в p

предыдущих моментов времени:

yt =b0 +b1 yt −1 +b2

yt −2 + ... +b p yt − p +ε t .

(5.10)

Например, сегодняшняя цена на некоторый товар в какой-то степени

зависит от цены, которая была вчера, позавчера и т.д.

выглядит так:

В частности, очень распространённая модель AR(1)

yt =b0 +b1 yt −1 +ε t .

(5.11)

2) Модель скользящей средней q-го порядка MA( q )

Модель описывается регрессионным уравнением, связывающем объ-

ясняемую переменную

yt с ошибками в q предыдущих моментов времени:

yt =ε t

+c1ε t −1 +c2 ε t −2 + ... +c p ε t −q .

(5.12)

!

Замечания.

•

Не путайте модель MA( q ) и термин «скользящая средняя» с методом сколь-

зящих средних, описанным выше.

•

Описанные модели при анализе временных рядов зачастую гораздо эффектив-

нее классической модели МНК.

•

При построении этих моделей yt выступает как объясняемая переменная, а в

качестве факторов вместо X или t выступают yt −1 , yt −2 ,… , ε t −1 , ε t −2 , … .

•

Возможно построение и других моделей, включающих как пространственные

данные,

описанные ранее в главах 1, 2, 3, так и фактор времени. Например,

yt = b0 + b1 xt +b2 t + ε t .

4) Регрессионная модель с распределёнными лагами DL( p )

В ней объясняемая переменная y в каждый момент времени t

зави-

сит от значений объясняющей переменной x не только в этот момент

(как в

классической модели), но и в предшествовавшие p

моментов времени:

yt =a +b0 xt +b1 xt −1 + ... +b p xt − p

+ε t .

(5.14)

yt

=a +b0 xt +b1 xt −1 + ... +b p xt − p +c1 yt −1 + ... +cq

yt −q +ε t .

(5.15)

Например, на практике часто используются модели ADL( 0 ,1 )

yt = a + b xt + c yt −1 + ε t .

(5.15')

Примеры моделей ADL( p,q ) :

-

модель частичной корректировки;

В ней под воздействием объясняющей переменной x формируется не

сама величина y , а её идеальное, "желаемое" (desired) значение

ydes . Наблю-

даемое же значение yt представляет взвешенную сумму желаемого значения в

момент t и наблюдавшегося в предыдущий момент ( t − 1 )

yt = λ ytdes + ( 1 − λ ) yt −1 +ν t ,

(5.16)

где ytdes = a + b xt .

После преобразований модель сводится к ADL( 0 ,1 ) :

yt = aλ + bλ xt + ( 1 − λ ) yt −1 + ν t .

(5.17)

- модель адаптивных ожиданий;

В таких моделях текущее значение объясняемой переменной (в момент

t ) определяется ожидаемым значением объясняющей переменной

x

в

последующий

( t +1)-й момент времени:

yt =a +bxt +1 +ε t .

(5.18)

Одна из известных моделей такого типа

- модель Ф.Кейгана

yt =a +bxtw+1 +ε t

,

(5.19)

где xtw+1 - ожидаемый уровень инфляции (ненаблюдаемая величина).

6) Авторегрессионные модели с условной гетероскедастичностью

(ARCH и GARCH)

удовлетворяющие условиям

Это регрессионные модели,

M ( ε t ) =0 ;

(5.20)

D( ε t

) =a +bD( ε t −1 )

(5.21)

Смысл: большее отклонение от

прогнозного значения в какой-либо

момент времени приводит к большей

вероятности значительной ошибки в

последующие

моменты времени.

Наблюдается

часто

на финансовых

рынках:

периоды

относительного

"затишья" (незначительных колеба-

ний вокруг средних значений) чере-

дуются с периодами

"всплесков" (с

широким размахом колебаний).

R

2

=0 ,991 ,

ˆ

2

=0 ,991 .

R

Рис. 5.6

Как и предполагалось, модель в целом достаточно точна и статистиче-

ски значима, значим и её коэффициент регрессии b .

3) Конечно, с приемлемой точностью возможен лишь краткосрочный

прогноз (на 1…5

дней) в предположении, что за этот период не произойдет

существенных изменений во внешних факторах, влияющих на курс доллара.

В полученное уравнение подставим значение

t =33 (так как 2

апреля

–

это 31 +2 =33 -й день с начала отсчета времени):

!

Замечания.

y( 33 ) = 28 ,658 − 0 ,113 33 = 28 ,24 руб.

Кстати, реальный курс 2 февраля 2000 г. составил 28,60 руб.

Т.е. реальная абсолютная ошибка составила 0,36 руб.=36 коп.

очень

мала:

Реальная

относительная ошибка прогноза

оказалась