41_4_Econometrics_Polyansky__Part_4

t0

= −0,815 , t1

=2,396 ,

t2

=3,112 , t3 = −0 ,802 , t4 =11,038 , t5 =0 ,865 ,

t6

=1,746 ,

t7

= −2,540 ,

t8 = −2,905 , t9

= −0 ,558 , t10 = −3,206 .

!

Замечание.

Другим способом t-статистики можно получить, разделив ячейки

B63:B73 (коэффициенты ре-

грессии)

на

соответствую-

щие ячейки

С63:С73 (стан-

дартные

ошибки

соответ-

ствующих

коэффициентов

регрессии),

т.к.

t j

=b j

s

bj

,

j =0 ,1,2,3,4 ,5 ,6 .

Для того, чтобы эко-

нометрическая

модель

адекватно

описывала дей-

ствительность, необходимо,

чтобы полученные коэффи-

циенты

регрессии

имели

четкое экономическое

тол-

кование

(знаки и величины,

соответствующие

экономи-

Рис. 4.3

ческой логике), а также бы-

ли значимыми.

В частности, в данной модели рост первых 7-ми факторов (вдумайтесь

в их экономическое толкование) должен приводить к росту цены на кварти-

ру, т.е. знаки первых 7-ми коэффициентов регрессии должны быть положи-

тельными.

А коэффициенты при x8 , x9 , x10 -

отрицательными. В получен-

ной выше модели оценки коэффициентов b3

и b7 этому не соответствуют.

ˆ

ˆ

Например,

получается, что с увеличением жилой площади квартиры (фак-

тор

X 3 )

её стоимость падает, что с экономической точки зрения неверно.

Рис. 4.4

Проанализируем абсолютные величины (модули) полученных t-

статистик коэффициентов регрессии (ячейки D63:D73 на рис.4.4), сравнив

их с критическим значением (таблица 2 приложения). Значимыми на вы-

бранном уровне являются далеко не все коэффициенты регрессии. Напри-

мер,

t5

=0 ,865 < t1−α;n− p−1 = t1−0 ,05 ;40−10−1 = t0 ,95 ;29

= 2 ,04 , т.е. b5 не значим.

Попробуем посмотреть на визуальную картинку модели. Например,

построим точечный график наблюдаемых и оценочных значений объясняе-

мой переменной. Для 10 факторов это сделать затруднительно. Но можно,

например, построить зависимость y от номера наблюдения (рис.4.5). Вид-

но, что в целом есть значительное совпадение результатов,

хотя для неко-

торых наблюдений (например, №5, 9, 37 и др.)

расчет значительно отлича-

ется от реальности.

Итак, в модели присутствуют противоречия. Вроде бы учтены факто-

ры, существенно влияющие на цену квартиры. Значимость модели в целом

высокая ( F =200 ,6 ), её качество высокое ( R

=0 ,986 , R

=0 ,981 ), неве-

2

ˆ 2

Рис. 4.5

Исследуем модель на мультиколлинеарность более детально.

Один из подходов состоит в анализе корреляционной матрицы, со-

стоящей из коэффициентов корреляции между всеми парами переменных.

Из объясняющих факторов выявляются пары с высокими (>0,8) коэффици-

ентами корреляции.

Составим такую матрицу для данной задачи (обратите внимание, что

она является симметричной относительно главной диагонали). Расчеты бу-

дем проводить с помощью функций

КОРРЕЛ в предварительно составлен-

ной таблице

(рис.4.6).

Например,

коэффициент корреляции r25

=0 ,23

между переменными x2

и x5

получим так. Встав на ячейку на пересечении

строки "X2"

и столбца "X5",

вызовем функцию КОРРЕЛ и в диалоговом

окне (рис.4.7) зададим диапазоны ячеек, соответствующих анализируемым

переменным

(C6:C45 и F6:F45). Симметричные относительно главной диа-

гонали ячейки можно получать ссылками или даже вообще не вычислять.

Анализ корреляционной матрицы показывает, что, действительно,

существуют сильные корреляционные зависимости между многими парами

объясняющих факторов,

например:

x2 и x3

x1

и x2 ( r12

=0 ,85 ), x1

и x3 ( r13 =0 ,85 ), x1 и x7 ( r17

=0 ,86 ),

( r23

=0 ,99 ),

x2 и x4 ( r24

=0 ,84 ), x2

и x7 ( r27 =0 ,88 ), x3

и x4 ( r34

=0 ,83 ),

x3

и x7 ( r37 =0 ,88 ).

Это свидетельствует о мультиколлинеарности модели.

!

Замечание.

• Попробуем объяснить наличие некоторых из обнаруженных корреляци-

онных связей. Например, наиболее коррелируют переменные

x2 (общая площадь

квартиры) и x3 (жилая площадь квартиры). Действительно,

это согласуется со

Y теснее

коррелирует фактор

X

2

( ry ,2

=0 ,94 ), чем

X

3

( ry ,3

=0

,93 ),

то

именно X

2 оставим в модели,

а

X

3 - удалим. Кстати, именно

X

3 имеет

экономически

неадекватный

знак

b3

= −0,142 < 0

и

незначимую

t-

ˆ

статистику

tb3

=0,802 < t1−0 ,05;40−10−1 =t0 ,95;29 =2,04 .

2-й шаг.

На практике в Microsoft Excel пошаговую процедуру удаления можно

реализовать,

например, так.

рассужде-

Чтобы

упорядочить

ния, переименуем страницу,

на кото-

рой до этого производились расчеты, в

«1 шаг» (вместо «Лист1»).

Дальней-

шие шаги будем соответственно тоже

нумеровать.

Создадим полную копию листа

«1 шаг» со всем его содержимым и ат-

рибутами. Вызовем меню

«Правка»,

подменю

«Переместить/Скопировать

лист… »),

установив галочку

в

поле

Рис. 4.8

«Создавать копию» (рис.4.8).

Новый лист назовем «2

шаг» и именно на нем будем выполнять даль-

нейшие вычисления.

Удалим из расчетной таблицы 2-го шага столбец, соответствующий

x3 (жилой площади квартиры).

Удалим строки вывода итогов с расчетами 1-го шага, освободив место

для новых результатов.

Получим пакетом анализа характеристики модели с новым набором

факторов

X 1

, X 2 , X 4 , X 5 ,

Z 6

,

X

7 , X 8 ,

X 9 , X 10 (т.е. без X 3 )

подобно то-

му, как это выполнялось в

задаче

4.1. Результаты показаны на

рис.4.9 (но-

мера переменных в A63:A72

переименуйте в соответствии с реально участ-

вующими в расчетах). Получена новая модель

ˆy = −7,867 + 2,946 x1

+ 0,284 x2

+ 1,977 x4

+ 3,260 x5 +

+ 3,526z6 − 5,342 x7

− 1,633 x8

− 0,075 x9

− 0,414 x10 .

Её показатели от удаления

X 3 практически не пострадали:

2

ˆ 2

ry / 1 ,2 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 =0 ,993 , R

=

=0 ,981 ,

A =6 ,54% <8...10% ,

0 ,985 , R

F =225 ,5 > Fα;m −1 ;n−m =F0 ,05 ;10−1 ;40−10 =F0 ,05 ;9 ;30 =2,21 .

Модель в целом достаточно точна и значима.

Но в модели остался фактор,

знак оценки коэффициента регрессии ко-

торого экономически неинтерпретируемы: b7 = −5,342 < 0 .

Получается,

ˆ

ет, причем значительно, что экономически неверно. Есть и другие коэффи-

циенты регрессии,

незначимые по

t-статистике. Принимаем

решение об

удалении из модели фактора X 7 .

3-й шаг.

Создав копию листа «Шаг 2» (назовем «Шаг 3»), удалим на нем стол-

бец, соответствующий

X 7

и очистим ячейки для вывода. Строим модель

для факторов X

1 ,

X 2 ,

X 4 ,

X 5 , Z 6 ,

X 8 , X 9 , X 10 .

Пакетом анализа опять получим уравнение регрессии

ˆy = −11,403 + 1,354 x1 + 0,256 x2 + 1,911x4 + 4,731x5

+

+ 3,509z6

− 1,935 x

8 − 0,082 x9 − 0,380 x10 .

Её показатели качества и

значимости:

ry / 1 ,2 ,4 ,5 ,6 ,8 ,9 ,10

=0 ,991,

R

2

=0 ,982 ,

ˆ

2

=0 ,978 ,

R

Fα;m −1 ;n−m

= F0 ,05 ;9−1 ;40−9

= F0 ,05 ;8 ;31

.

Модель осталась в целом

достаточно точной и значимой.

Проанализируем

эконо-

мическую интерпретируемость

всех полученных коэффициен-

тов.

На этот раз они по край-

ней мере с нужными знаками.

Но все ли они значимы?

Анализ

итогов

показывает,

что,

например,

коэффициент

при

переменной

x5

(высота

потолка) не значим:

Рис. 4.9

tb

=1,101 < t1−α;n− p−1 =t

1−0 ,05 ;40−8−1 =t0 ,95 ;31 =2 ,04 .

Исключим

x5 из модели (это согласуется и с экономическими сооб-

5

ражениями).

4-й шаг.

Расчеты будем вести на листе «Шаг 4». Удалим столбец со значения-

ми x5 . Пакет анализа дает уравнение регрессии

yˆ = 1,674 +1,541x1 + 0,256x2 +1,909x4

+ 3,069z6 − 2,069x8 −0,066x9 − 0,390x10

Его показатели качества и значимости:

2

ˆ 2

=7 ,69% <8...10% ,

ry / 1 ,2 ,4 ,6 ,8 ,9 ,10 =0 ,991, R

=0 ,978 , A

=0 ,982 , R

F = 244 ,2 > Fα;m −1 ;n−m

= F0 ,05 ;8−1 ;40−8 = F0 ,05 ;7 ;32 = 2 ,31 .

От отбрасывания фактора X 5 модель практически не потеряла ни в

точности, ни в значимости.

Все коэффициенты регрессии экономически ин-

терпретируемы, но не все значимы. Наименее значим коэффициент при x9

(расстояние до метро):

tb9

=0 ,430

< t1−α;n− p−1 = t1−0 ,05 ;40 −7 −1 =t0 ,95 ;32 = 2,04 .

Эту переменную и отбросим.

5-й шаг.

ние На листе «Шаг 5» удалим столбец с данными X 9 . Получено уравне-

ˆy = 0,909 + 1,510x1 + 0,257x2 + 1,903x

4 + 3,207z6

− 2,040x8 − 0,383x10 .

Её показатели качества и значимости:

2

ˆ 2

=7 ,70% <8...10%,

ry / 1 ,2 ,4 ,6 ,8 ,10 =0 ,991 , R

=0 ,978 , A

=0 ,982 , R

F = 292 ,04 > Fα;m −1 ;n−m

= F0 ,05 ;7 −1 ;40−7 = F0 ,05 ;6 ;33 = 2 ,39 .

Модель по-прежнему достаточно точна и значима.

ˆ

Но остается не достаточно значимым коэффициент b1 :

tb

=1,31 < t1−α;n− p−1

=t1−0 ,05 ;40−6 −1 = t0 ,95 ;33 = 2 ,03 .

1

(количество комнат в квартире) необходимо ис-

Эту переменную X 1

6-й шаг.

исключим столбец "X1" и получим уравнение ре-

На листе «Шаг 6»

грессии и его показатели качества и значимости:

ˆy = 2,750 + 0,299x2

+ 1,808x4

+ 3,312z6 − 2,103x8 − 0,445x10 ,

2

ˆ

2

ry / 2 ,4 ,6 ,8 ,10 =0 ,990 ,

R

=0 ,981 ,

=0 ,978 , A =8 ,29% <8...10% ,

R

F = 342 ,9 > Fα;m−1 ;n−m = F0 ,05 ;6 −1 ;40−6 = F0 ,05 ;5 ;34 = 2 ,49 .

В модели остался один малозначимый фактор X 6 - категория этажа:

tb

=1,413

< t1−α;n− p−1

=t1−0 ,05 ;40−5−1 = t0 ,95 ;34 = 2 ,03 .

6

7-й шаг.

исключив столбец "Z6", получим модель:

На листе «Шаг 7»,

ˆy = 7,027 + 0,305x2

+ 1,768x4 − 2,610x8 − 0,431x10 ,

2

ˆ

2

ry / 2 ,4 ,8 ,10

=0 ,990 ,

R

=0 ,979

=0 ,977 , A =8,07% <8...10%,

, R

Во-вторых, величи-

ны коэффициентов теперь

можно

легко

экономиче-

ски

интерпретировать.

Например,

b2 =0,305

ˆ

означает, что при прочих

равных условиях с увели-

чением

общей

площади

строящейся квартиры на 1

кв.м её стоимость увели-

чивается

в

среднем на

0,305 $

тыс. = 305$.

Ана-

логично

попробуйте

ин-

терпретировать

другие

коэффициенты.

Рис. 4.11

! Замечания.

•

Выводы сформулированы для конкретных исходных данных. В иной экономи-

ческой ситуации, при других исходных данных возможны несколько отличные результа-

ты и выводы. Например,

при анализе вторичного рынка жилья может оказаться лишним

фактор X

10 , существенный в данной модели, но могут появиться другие или измениться

вклад уже учтенных.

•

Если,

несмотря на значимость оставленных коэффициентов, попробовать далее

выполнять шаги по удалению переменных, это может привести к тому, что отброшенной

окажется очень важная переменная, значительно влияющая на стоимость квартиры, что

может существенно снизить точность модели.

•

Кроме данной модели могут быть получены и другие. Например, если на 1-м

шаге принять решение об удалении не переменной X 3 , а X 2 . Но в силу их сильной

коррелированности модель получится близкой точности и значимости.

•

Если точность модели не укладывается в рекомендуемые рамки, то необходимо