Веленкин;Комбинаторика

-sjkj ; ЖМdОМ•ЛМc К ЛcЖМdОМ•ЛМc Ж ЗМОИКЛ¬ТМиКЗc

Ëjy·tj¹ wnénwqxrj

‘nxz• y·nt€} $ % & ' ( q ) wnénwqx€kjsqx• léym x léymvu wv lkyu tjy·t€u znuju Çj l€p wnénwqx€kjsx¹ x rj l€u wv vltvp znun bvrj qzn ·zv tjplyzx¹ zévn y·n t€} wnénwqx€kjí•q}x¹ un ly xvivp wv vltvp q zvp n znun

Æ xjuvu lnsn y·nt€p $ wnénwqx€kjnzx¹ x rvssnmjuq Ív rjrqu i€ znuju vt x tquq tq kns wnénwqxry tjplyzx¹ zévn y·nt€} qunttv q} vivotj·qu % & ' x rvzvé€uq vt wnén wqx€kjnzx¹ wv vltvp q zvp n znun tjovknu nn wnékvp cxsq }vz¹ i€ lkvn qo ëzq} zén} y·nt€} wnénwqx€kjízx¹ wv wnékvp znun zv wéqxvnlqtqk r tqu $ wvsy·qu zévpry wnénwqx€kj í•q}x¹ wv wnékvp znun cxsq n tqrzv qo ëzq} zévq} tn wnénwqx€kjnzx¹ léym x léymvu wv wnékvp znun zv vtq wnénwq x€kjízx¹ wv kzvévp znun q u€ xtvkj wvsy·qsq zévpry y·nt€} wnénwqxrj rvzvé€} wvxk¹•ntj vltvp q zvp n znun

cxsq i€ ·qxsv y·nt€} i€sv unt•¡n zv yzkné lntqn y n tn i€sv i€ knét€u ² uv tv zjr vémjtqovkjz• wnénwqxry

wnékvp znun knsq wnénwqxry wjé€ $ − % % − & & − ' ' − ( q

( − $ j vxzjs•t€n wjé€ qtznénxvkjsqx• kzvévp znuvp

cxsq qoviéjoqz• y·nt€} zv·rjuq j q} wnénwqxry ² xvnlq t¹í•quq ëzq zv·rq |knzt€uq vzénorjuq vlqt |knz ls¹ wnékvp znu€ kzvévp ² ls¹ léymvp zv lvrjojttvn k€¡n yzkné lntqn uv tv x{véuysqévkjz• xsnlyí•qu viéjovu

cxsq zv·nr xvnlqtnt€ wvwjétv vzénorjuq vréj¡ntt€uq rj l€p k vlqt qo lky} éjosq·t€} |knzvk zv tjplyzx¹ zv·rq ¹ks¹í•qnx¹ kné¡qtjuq vltv|knztvmv zénymvs•tqrj

΀ uvmsq i€ vréj¡qkjz• vzénorq tn k j xrj nu k éjosq·t€} |knzj Æ ëzvu xsy·jn wéq¡svx• i€ ko¹z• ivs•¡n zv·nr ² tn j

cxsq y·nt€} wnénwqx€kjízx¹ léym x léymvu wv zénu éjosq·t€u tjy·t€u znuju wéq·nu rj lj¹ wjéj y·nt€} knlnz wnénwqxry sq¡• wv vltvp znun zv kxnmlj tjplyzx¹ zévn y·nt€} wnénwqx€kjí•q}x¹ wv vltvp q zvp n znun

Æ xjuvu lnsn rj l€p y·nt€p knlnz wnénwqxry x léymq uq Ívëzvuy ls¹ y·ntvmv $ tjplyzx¹ n•n ·nsvknr x rvzvé€uq vt wnénwqx€kjnzx¹ tj vlty q zy n znuy cxsq }vz¹ i€ vltj wjéj qo ëzq} wnénwqx€kjnzx¹ léym x léymvu tj zy n znuy zv qxrvuj¹ zévprj y·nt€} tjplntj cxsq n vtq wnénwqx€kj ízx¹ léym x léymvu sq¡• wv lkyu vxzjk¡qux¹ znuju zv wv lvrjojttvuy k€¡n xénlq tq} tjplyzx¹ zévn wnénwqxrj rvzv é€} wvxk¹•ntj vltvp znun

ïqzjzns• snmrv tjplnz znwné• ls¹ síivmv ·qxsj znu zjrvn rvsq·nxzkv y·nt€} ·zv wéq síivu éjxwénlnsntqq znu un ly tquq uv tv k€iéjz• zévpry wnénwqx€kjí•yíx¹ wv vltvuy q zvuy n kvwévxy

êzv yzkné lntqn uv tv vivi•qz• n•n ljs•¡n éjo€xrqkj¹ tn zévprq j xrj nu ·nzknérq y·nt€} Æ ëzvu xsy·jn wéq wnénwqxrn wv lkyu znuju lvxzjzv·tv ko¹z• y·nt€} ·zvi€ qo tq} uv tv i€sv k€lnsqz• ·nzknéry y·nt€} x vi•np znuj zqrvp wnénwqxrq ¬ y·nt€} n•n tnlvxzjzv·tv kvo•unu y·nt€} ojtyunéynu q} ·qxsjuq vz lv q vzljlqu wnékyí znuy wjéju y·nt€} L − M ls¹ rvzvé€} _L − M_ éjktv vltvuy qo

·qxns j kzvéyí znuy ² vxzjs•t€u wjéju y·nt€} flnsjpzn éqxytvr q yinlqznx• ·zv tq vltj ·nzknérj y·nt€} tn knlnz wnénwqxry wv vi•np znun

Ëv wyz• vivi•ntqp n•n tn ojrvt·nt Ænl• uv tv wéqljz• znuju éjosq·t€p knx q qxrjz• tjwéquné ls¹ wnékvp znu€ ·nzknérq y·nt€} j ls¹ kzvévp ² zévprq y·nt€} Òvmlj tnvi}vlquvn ·qxsv vrj nzx¹ ivs•¡n tv unt•¡n ² vtv éjktv Çévun zvmv y·nt€} uv tv éjoiqkjz• tn tj wjé€ j tj rvssnrzqk€ qo ivs•¡nmv ·qxsj y·jxztqrvk q ojrénws¹z• znuy oj rj l€u zjrqu rvssnrzqkvu Òvmlj ljttj¹ wjéj y·nt€} uv nz tjwéquné vixy ljz• wnékyí znuy k vltvu rvssnrzqkn j kzvéyí ² k léymvu

¬tmsqpxrqp ujznujzqr èjuxnp lvrjojs xsnlyí•yí vi•yí znvénuy

cxsq ojljt€ ·qxsv znu W q ·qxsv y·jxztqrvk k rj lvu

rvssnrzqkn U q nxsq znun x tvunévu N xvwvxzjksntv ·qxsv SN N = W zv wéq lvxzjzv·tv ivs•¡vu ·qxsn y·jxz

tqrvk q síivu éjxwénlnsntqq znu un ly rvssnrzqkjuq uv tv tjpzq znuy x tvunévu N q SN y·nt€} síi€n U qo rvzvé€}

ojt¹z€ ëzvp znuvp

Æ€ivé wénlxzjkqznsnp

fzylntz€ Ínz¹ fvivsnk Ént¹ Çvujévk Æqz¹ cmvévk fnén j fuqétvk Çvs¹ Òvrjénk q Énkvt ¬éyzít¹t i€sq ojrjl€· t€uq léyo•¹uq Îtvmquq lnsjuq vtq ojtqujsqx• xvvi•j Ínz¹ q Æqz¹ kunxzn éjivzjsq tjl qoviénzntqnu Ént¹ q fnén j kunxzn wvxn•jsq xnuqtjé wv xzjzqxzqrn Ínz¹ Ént¹ q Çvs¹ kunxzn ojtqujsqx• k xnr|qq xjuiv Æqz¹ q Çvs¹ kunxzn vémj tqovk€kjsq ujznujzq·nxryí vsquwqjly k qtxzqzyzn j Çvs¹ q Énkvt ¡n{xzkvkjsq tjl vltvp qo méyww wnékvmv ryéxj Æxn ¡sv }vév¡v tv vltj l€ léyo•¹ xzjsq k zywqr ² k€¹xtqsvx• ·zv évktv k ·jxvk ty tv lnsjz• lvrsjl vi qoviénzntqq wéqpzq tj rvtxys•zj|qí r wénwvljkjznsí xzjzqxzqrq }vz¹ i€ vltvuy k€xzywqz• tj xvénktvkjtq¹} wv xjuiv wéqt¹z• y·jxzqn k vzivén ojlj· ls¹ vsquwqjl€ q wévknxzq xviéjtqn k wvl¡n{tvp méywwn Ænl• nxsq Ínz¹ iylnz lvrsjl€kjz• vi qoviénzntqq Ént¹ wvplnz tj rvtxys•zj|qí Çvs¹ iylnz vziqéjz• ojlj·q j Énkvt wévknlnz xviéjtqn zv tj xvénktvkjtq¹ wv xjuiv tqrzv wvpzq tn xuv nz

² tq Æqz¹ tq fnén j ëzqu kqlvu xwvézj tn ojtqujízx¹

-sjkj ; ЖМdОМ•ЛМc К ЛcЖМdОМ•ЛМc Ж ЗМОИКЛ¬ТМиКЗc

Ëv Æqz¹ q Çvs¹ tn oé¹ qtznénxvkjsqx• ujznujzqrvp q wvxsn tnrvzvé€} éjou€¡sntqp vtq wéqlyujsq zjrvp wsjt vi qoviénzntqq lvsv qz Ínz¹ tj rvtxys•zj|qí wvplnz Ént¹ tj xvénktvkjtq¹ wv xjuiv ² Çvs¹ ojlj·q iylnz vziqéjz• Æqz¹ j xviéjtqn wévknlnz Énkvt Ívsv ntqn léyonp i€sv i€ rylj }y n nxsq i€ tjl qoviénzntqnu éjivzjsq Ínz¹ q Æqz¹ én{néjz wqxjsq Æqz¹ q fnén j k xnr|qq xjuiv ojtqujsqx• Ínz¹ q fnén j ujznujzq·nxryí vsquwqjly vémjtqovk€kjsq Ínz¹ Æq z¹ q fnén j j ¡n{xzkvkjsq Ént¹ Çvs¹ q Énkvt Æ ëzvu xsy·jn wnék€uq ·nz€é•u¹ lnsjuq ojtqujsqx• i€ kxnmv zévn léyonp q wéqt|qw bqéq}sn tn wvokvsqs i€ qu zjr éjxwénlnsqz• vi¹ojt tvxzq ·zvi€ kxn lnsj i€sq xlnsjt€

Ënzéyltv xvviéjoqz• k ·nu ojrsí·jnzx¹ tnvi}vlquvn yxsv kqn zvmv ·zvi€ uv tv i€sv éjxwénlnsqz• lnsj un ly tj¡quq léyo•¹uq ² nxsq ls¹ síivp méyww€ qo N lns xviéjz• kunxzn xwn|qjsqxzvk wv tqu yuní•q} lnsjz• }vz¹ i€ vltv qo tq} zv k ëzvp méywwn lvs tv i€z• tn untnn N ·nsvknr Ìrjo€kjnzx¹ ·zv ëzv yxsvkqn tn zvs•rv tnvi}vlquv tv q lvxzjzv·tv ² nxsq vtv k€wvstntv zv zéniynuvn éjxwénlnsntqn vi¹ojttvxznp kxnmlj kvouv tv

Æ vi•nu kqln tj ¹o€rn znvéqq utv nxzk ëzv yzkné lntqn {véuysqéynzx¹ zjr

Íyxz• k rjrvu tqiyl• utv nxzkn ; k€lnsnt€ wvlutv n xzkj ; ;Q bs¹ zvmv ·zvi€ k ; uv tv i€sv k€iéjz•

Q éjosq·t€} ësnuntzvk D DQ zjrq} ·zv D ;

DQ ;Q tnvi}vlquv q lvxzjzv·tv k€wvstntqn xsnlyí•nmv

yxsvkq¹ vi~nlqtntqn síi€} N ojljtt€} wvlutv nxzk lvs tv xvlné jz• wv réjptnp unén N ësnuntzvk

êzy znvénuy lvrjojttyí jtmsqpxrqu ujznujzqrvu Ð ®vs

svu tjo€kjíz znvénuvp v éjosq·t€} wénlxzjkqzns¹} qsq znvénuvp v lnénkntxrq} xkjl•ij} Ívxsnltnn tjokjtqn knlnz xkvn wévqx}v lntqn vz {véuysqévkrq kvx}vl¹•np r qoknxztv uy tnun|rvuy ujznujzqry -néujty Ænpsí

Æ lnénktn vztvxqzns•tv rj lvmv ítv¡q q lnky¡rq qoknxz tv léy jz vtq qsq tnz cxsq ls¹ síi€} N ítv¡np vi~nlq tntqn utv nxzk q} wvléym xvlné qz wv réjptnp unén N

lnky¡nr zv rj l€p ítv¡j uv nz k€iéjz• xnin nty qo ·qxsj xkvq} wvléym k ëzvp ojlj·n ; ² utv nxzkv kxn} lnky ¡nr ; ;Q ² wvlutv nxzkj xvxzv¹•qn qo wvléym wnékvmv

kzvévmv Q mv ítv¡q

bvrj nu znvénuy k {véuysqévkrn - Ænps¹ wévknl¹ qtlyr |qí wv ·qxsy ítv¡np Íyxz• ·qxsv ítv¡np éjktv Q Íéq Q = kxn v·nkqltv ² k xqsy yxsvkq¹ znvénu€ y ëzvmv vltvmv

ítv¡q nxz• }vz¹ i€ vltj wvléymj nn vt q uv nz k€iéjz• xnin

knt€

j Ëjplnzx¹ utv nxzkv xvxzv¹•nn qo U ítv¡np mln U < Q

ls¹ rvzvé€} vi~nlqtntqn utv nxzk q} wvléym xvlné qz évktv

U lnky¡nr nxsq i€ lnky¡nr i€sv }vz¹ i€ tj vlty unt•¡n yxsvkqn znvénu€ tjéy¡qsvx• i€ Òjryí xvkvrywtvxz• ítv¡np

q lnky¡nr tjo€kjíz ©réqzq·nxrvpª Ætyzéq ëzvmv réqzq·nxrv

mv utv nxzkj k€wvstntv yxsvkqn znvénu€ ² ítv¡q ëzvmv utv nxzkj quníz wvléym sq¡• xénlq lnky¡nr zvmv n utv n

q ls¹ ëzq} Q − U ítv¡np ¬ zvmlj kxn ítv¡q tj¡sq xnin wv

kvo•unu síivmv ítv¡y ntqu nmv tj vltvp qo nmv wvléym q yxzéjtqu x·jxzsqkyí wjéy qo éjxxuvzéntq¹ bs¹ vxzjk¡q}x¹ Q − ítv¡np yxsvkqn znvénu€ k€wvst¹nzx¹ Æ xjuvu lnsn

kvo•unu síi€} U qo vxzjk¡q}x¹ ítv¡np Ìi~nlqtntqn utv nxzk q} wvléym xvxzv¹sv wv réjptnp unén qo U + lnky¡rq

dtj·qz wvxsn yljsntq¹ tvkviéj·tvp ëzv utv nxzkv xvxzvqz wv réjptnp unén qo U lnky¡nr Ëv zvmlj uv tv k€iéjz• nt ls¹ ëzq} Q − ítv¡np ·nu q ojrjt·qkjnzx¹ lvrjojzns•xzkv znvén

u€ v lnénkntxrq} xkjl•ij}

fné•notvuy ·qzjznsí tnlvkvs•tvuy znu ·zv k xzvs• kj tvp znvénun u€ mvkvéqu v ujzéquvtqjs•t€} vztv¡ntq¹} wénlv xzjks¹nu wévknxzq ëzv lvrjojzns•xzkv ojuntqk xsvkv ©lnky¡ rqª xsvkjuq ©ësnuntz€ utv nxzkjª j xsvkv ©ítv¡qª ² xsvkvu ©wvlutv nxzkjª Æunxzv ©ítv¡j léy qz x lnky¡rvpª wéqlnzx¹ mvkvéqz• ©ësnuntz wéqtjlsn qz wvlutv nxzkyª j

-sjkj ; ЖМdОМ•ЛМc К ЛcЖМdОМ•ЛМc Ж ЗМОИКЛ¬ТМиКЗc

kunxzv ©ítv¡j ntqsx¹ tj lnky¡rnª ² ©k wvlutv nxzkn k€iéjt ësnuntzª ¬ kxn vxzjs•tvn vxzjnzx¹ wv wén tnuy

-éj{q·nxrvn én¡ntqn

Ònvénuj rvzvéyí u€ xnp·jx lvrjojsq vztvxqzx¹ r éjoé¹ly zjr tjo€kjnu€} ©znvénu xy•nxzkvkjtq¹ª yzkné ljí•q} ·zv tn·zv k tj¡nu xsy·jn ² wvlivé tnknxz xy•nxzkynz tv ljí•q} ujsv qt{véuj|qq v zvu rjr ëzv tn·zv tjpzq k tj¡nu xsy·jn ² rjr rvtrénztv vémjtqovkjz• xkjl•i€ qsq k€ivé wénlxzjkq znsnp Ænl• nxsq iyrkjs•tv xsnlvkjz• lvrjojzns•xzky znvénu€ zv tjlv xtj·jsj wnéniéjz• kxn wvlutv nxzkj k utv nxzkn ítv¡np q wvxuvzénz• tnz sq xénlq tq} réqzq·nxrq} ¬ wvxrvs•ry ·qxsv wvlutv nxzk k utv nxzkn qo Q ësnuntzvk

éjktv Q y n wéq ítv¡j} ·qxsv wvlutv nxzk iylnz ivs•¡n uqssqvtj q wéqlnzx¹ wéqinmtyz• r yxsymju ësnrzévttvp xkj}q

¬ nxsq y·nxz• ·zv x wvlvit€uq ojlj·juq wéq}vlqzx¹ qunz• lnsv k rylj ivsnn xné•not€} kvwévxj} ·nu lnénkntxrqn xkjl•i€tjwéquné wéq éjxwénlnsntqq éjivz un ly xzjtrjuq vémjtq oj|qq zéjtxwvézt€} wvzvrvk q z l zv xzjtvkqzx¹ ¹xtv tjxrvs•rv nsjznsnt jsmvéqzu wvokvs¹í•qp vxy•nxzks¹z• k€ivé wénlxzjkqznsnp j k xsy·jn rvmlj zjrvp k€ivé tnkvouv

nt yrjo€kjí•qp tjqivs•¡nn ·qxsv kvouv t€} k€ivévk tj wéquné yxzévpxzkv ujrxqujs•tvmv ·qxsj xkjlni

Ìlqt qo wyznp én¡ntq¹ vxtvkjt tj qxwvs•ovkjtqq méj{vk ² utv nxzk xvxzv¹•q} qo rvtn·tvmv ·qxsj zv·nr tnrvzvé€n wjé€ rvzvé€} xvnlqtnt€ vzénorjuq Òjrqn méj{€ tjo€kjízx¹ tnvéqntzqévkjtt€uq j nxsq tj vzénorj} wvxzjkqz• n•n xzéns rq zv wvsy·qzx¹ véqntzqévkjtt€p méj{ qsq rvév·n véméj{

Ëj·nézqu zjrvp méj{ k snkvu xzvsi|n wvxzjkqu zv·rq qoviéj jí•qn wvlutv nxzkj ; ;Q j k wéjkvu ² zv·rq

qoviéj jí•qn ësnuntz€ kxnmv utv nxzkj ; Çj lyí zv·ry qoviéj jí•yí wvlutv nxzkv xvnlqtqu lymjuq xv kxnuq k}v l¹•quq k tnmv ësnuntzjuq Ëjwéquné éjxwénlnsntqn léyonp v rvzvévu mvkvéqsvx• k wénl€ly•nu wytrzn qoviéj ntv tj éqx

Íénlwvsv qu ·zv u€ rjrqu zv viéjovu tjotj·qsq wénl xzjkqznsnp tnrvzvé€} wvlutv nxzk z n k€iéjsq tnrvzvé€n lymq tj¡nmv méj{j Ívunzqu ëzq lymq otjrvu ©wsíxª éqx

èjoyunnzx¹ lkn wvun·ntt€n lymq tn uvmyz qunz• vi•q} rvt |vk qtj·n u€ sqiv k€iéjsq i€ k vltvu utv nxzkn lky} wénlxzjkqznsnp sqiv vlqt ësnuntz wénlxzjks¹s i€ lkj éjot€} utv nxzkj cxsq k énoys•zjzn vrjojsvx• ·zv qo rj lvmv wvl utv nxzkj k€}vlqz wvun·nttj¹ lymj zv kxn k wvé¹lrn ² kxn wvlutv nxzkj wvsy·qsq wénlxzjkqznsnp

Æ wévzqktvu xsy·jn inénu kxn wvlutv nxzkj sq¡ntt€n wénlxzjkqzns•xzkj q wvun·jnu q} |q{évp Æxn ësnuntz€ r rvzvé€u qlyz lymq qo wvun·ntt€} |q{évp wvlutv nxzk

-sjkj ; ЖМdОМ•ЛМc К ЛcЖМdОМ•ЛМc Ж ЗМОИКЛ¬ТМиКЗc

mvzvkqz• Æqz¹ j Çvs¹ wvplnz tj xvénktvkjtq¹ wv xjuiv qsq uv tv fnén y wvxsjz• tj rvtxys•zj|qí j vxkvivlqk¡nmvx¹ Éntí ² tj xjuiv

cxsq q znwné• tn kxn wvlutv nxzkj quníz wénlxzjkqznsnp zv wvkzvéqu ëzvz wév|nxx Æ rvt|n rvt|vk wévqovplnz vltv qo lky} sqiv kxn wvlutv nxzkj wvsy·jz wénlxzjkqznsnp sqiv wvxsn vltvmv qo |qrsvk wvunzvr ·qxsv wvun·ntt€} ësnuntzvk tn yknsq·qzx¹ Æv kzvévu xsy·jn ojlj·j v éjosq·t€} wénlxzj kqzns¹} vrjo€kjnzx¹ tnéjoén¡quvp q u€ sq¡• wvsy·jnu tjqivs•¡nn ·qxsv wénlxzjksntt€} wvlutv nxzk èjoyunnzx¹ nxsq k€wvstntv yxsvkqn znvénu€ v éjosq·t€} wénlxzjkqzns¹} zv kzvévp xsy·jp tnkvouv nt Ìzunzqu qo¹•tvn lvxzjzv·tvn yxsvkqn éjoén¡quvxzq ojlj·q v tjotj·ntqq wénlxzjkqznsnp

cxsq xy•nxzkynz zjrvn ·qxsv N ·zv rj lvn wvlutv n xzkv qo ·qxsj ; ;Q xvlné qz évktv N ësnuntzvk j rj

l€p ësnuntz qo utv nxzkj ; wéqtjlsn qz évktv N wvlutv nxzkju zv uv tv tjotj·qz• éjosq·t€} wénlxzjkqznsnp

Íéné€kjtq¹ ,54

djlj·y v k€ivén wénlxzjkqznsnp lvkvs•tv ·jxzv wéq}vlqzx¹ én¡jz• vwnéj|qvttvp xqxznun Ìf rvuw•íznéj Æ ywév•nttvu kqln ëzj ojlj·j k€ms¹lqz zjr Æ rvuw•íznén rj lvn {qoq·nx rvn yxzévpxzkv wéqtzné uvlnu okyrvkj¹ rjézj qxwvs•oynz vltv qo zjr tjo€kjnu€} ©wéné€kjtqpª ² vz ,54 lv ,54 Íéq ëzvu rj lvn yxzévpxzkv lvs tv ko¹z• xnin vltv qo tnxrvs•rq} lvwyxzqu€} ls¹ tnmv wéné€kjtqp q k tjsj nt tvu rvuw•íznén wéné€kjtq¹ éjxwénlnsnt€ wv yxzévpxzkju q n•n nxz• xkvivlt€n Ëv rvmlj r rvuw•íznéy wvlrsí·jnzx¹ tvkvn yxzévpxzkv Ìf nmv vitjéy qkjnz q tj·qtjnz qxrjz• nuy ©tnknxzyª ² xkvivltvn wvl}vl¹•nn ls¹ tnmv wéné€kjtqn

cxsq Ìf xkvivltvn wéné€kjtqn tj}vlqz zv kxn k wvé¹lrn tvkvn yxzévpxzkv nmv wvsy·jnz q tvéujs•tv éjivzjnz k léy tvp xnu•n {qoq·nxrq} yxzévpxzk rvuw•íznéj Ëv nxsq wvl}vl¹•nmv xkvivltvmv ,54 tnz zv kvotqrjnz ojlj·j v wnéntjotj·ntq¹} ² tjlv wvwévivkjz• rjrqu zv xzjé€u yxzévpxzkju ljz• léymqn lvwyxzqu€n ls¹ tq} wéné€kjtq¹ vxkvivlqk vltv ls¹ ktvk• wéqi€k¡nmv cxsq ëzv xlnsjz• tn yljnzx¹ zv Ìf ljnz tvkq·ry vltv qo wvl}vl¹•q} tv ojt¹z€} wéné€kjtqp xvvi•j¹ wéq ëzvu v ©rvt{sqrzn yxzévpxzkª ² tj ljttvu ,54 y n ©xqlqzª léymvn yxzévpxzkv tvkvn yxzévpxzkv éjivzjz• tn iylnz

dlnx• nxz• vltv visnm·ntqn ² wvuquv ,54 {qoq·nxrvn yxzévpxzkv qxwvs•oynz n•n ©lqjwjovt kkvlj k€kvljª êzv tjivé jlénxvk ls¹ wnén lj·q ljtt€} k rvuw•ízné zjrq} tjivévk v·nt• utvmv }vz¹ tn rj lvn lvwyxzquv ls¹ ljttvmv ,54 Ìf uv nz wvxzjkqz• q xzjkqz tj vltv ,54 tnxrvs•rv yxzévpxzk tv wéq yxsvkqq ·zv vtq tn iylyz éjivzjz• vltvkénunttv q kxn éjktv iylyz qxwvs•ovkjz• éjot€n lqjwjovt€ kkvlj k€kvlj f y·nzvu ëzq} yxsvkqp kvouv tvxznp wv¹ks¹nzx¹ ivs•¡n tv ojlj·j yxsv t¹nzx¹ ² tjlv otjz• rjrqn yxzévpxzkj tn iylyz éjivzjz•

vltvkénunttv q rjrqn y tq} lvwyxzqu€n lqjwjovt€ kkvlj k€kvlj È€kjnz rvmlj k rvuw•íznén y n xzvqz utvmv éjot€} yxzévpxzk ·zv Ìf xjuj én¡qz• ëzy ojlj·y tn uv nz q wéq}vlqzx¹ kéy·tyí wnéntj xzéjqkjz• xqxznuy

Ìi•qn wénlxzjkqznsq

Çj l€p xzylntz méyww€ y·jxzkvkjs k vltvp qo xwvé zqkt€} xnr|qp ¬ tj snztqn rjtqrys€ rj l€p qo tq} kv¡ns k vlqt qo xzylnt·nxrq} xzévqzns•t€} vzé¹lvk Ìltj l€ k lnrjtjzn lv vinlj vixy ljsqx• kvwévx€ v xwvézqktvp éjivznwv xnr|q¹u j wvxsn vinlj ² v éjivzn xzylnt·nxrq} xzév qzns•t€} vzé¹lvk wv vzé¹lju Îv tv sq wvxsjz• lnsn mjzvk vz ëzvp méyww€ zjr ·zvi€ vtq wénlxzjks¹sq xtj·jsj

kxn xwvézqkt€n xnr|qq j wvzvu kxn xzévqzns•t€n vzé¹l€"

èjoyunnzx¹ k xzvs• vi•np wvxzjtvkrn ojlj·j tnéjoén¡quj ² qtvmlj uv tv wvxsjz• j qtvmlj tns•o¹ Ívëzvuy tjlv tjpzq yxsvkq¹ wéq rvzvé€} zjrvp k€ivé lnsnmj|qq kvouv nt cxsq tjwéquné y·jxztqrq kvsnpivs•tvp q ¡j}ujztvp xnr|qp |nsq rvu k}vl¹z k wnék€p vzé¹l zv wénlxzjkqzns• ëzvmv vzé¹lj xuv nz i€z• tj ojxnljtqq sqiv ¡j}ujztvp sqiv kvsnpivs•tvp xnr|qq tv tn tj vinq} xéjoy êzvz wéquné wvrjo€kjnz k ·nu ojrsí·jnzx¹ tnvi}vlquvn yxsvkqn kvouv tvxzq zéniynuvmv k€

-sjkj ; ЖМdОМ•ЛМc К ЛcЖМdОМ•ЛМc Ж ЗМОИКЛ¬ТМиКЗc

fviéjsvx• Q ·nsvknr rj l€p qo rvzvé€} otjrvu tn untnn ·nu x Q wéqxyzxzkyí•quq bvrj qzn ·zv qo tq} uv tv k€iéjz• ·nz€én} ·nsvknr q wvxjlqz• oj réyms€p xzvs zjr ·zv rj l€p qo k€iéjtt€} iylnz xqlnz• é¹lvu xv xkvquq otjrvu€uq

Íéq lkvén rvévs¹ ¬ézyéj xviéjsqx• Q é€|jénp wéq·nu rj l€p qo tq} qunnz xénlq wéqxyzxzkyí•q} tn ivsnn Q − kéjmvk

bvrj qzn ·zv rvslyt Înésqt uv nz zjr éjxxjlqz• é€|jénp oj réyms€u xzvsvu ·zv tq vlqt qo tq} tn iylnz xqlnz• é¹lvu xv xkvqu kéjmvu

fviéjsvx• 1 ·nsvknr Ënrvzvé€n qo tq} otjrvu€ léym x léymvu wéq·nu rj l€n lkj tnotjrvu€} quníz évktv lky} vi•q} otjrvu€} j rj l€n lkj otjrvu€} tn quníz vi•q} otjrvu€} bvrj qzn ·zv rj l€p wéqxyzxzkyí•qp otjrvu x vlqtjrvk€u rvsq ·nxzkvu ·nsvknr

1 ·nsvknr tn otjrvu€ léym x léymvu bvrj qzn ·zv wéq síivu 1 uv tv wvotjrvuqz• tnrvzvé€} qo tq} zjr ·zvi€ tq y rjrq} zén} sílnp tn vrjojsvx• vlqtjrvkvmv ·qxsj otjrvu€}

léyo•¹ sqiv tjplnzx¹ mvév jtqt y rvzvévmv kéjmvk ivs•¡n ·nu léyonp

Êunnzx¹ méywwj wnénkvl·qrvk k rvzvévp rj l€p qo zén} ¹o€rvk otjíz évktv Q ·nsvknr bvrj qzn ·zv ls¹ síivmv N ≤ Q qo

tjplnzx¹ y·jxztqr xquwvoqyuj rvzvé€p uv nz vi~¹xtqz•x¹ x rj l€u qo vxzjs•t€} y·jxztqrvk

Êméj k

Æm junéqrjtxrqp xvxzjkqzns• ¡j}ujzt€} ojlj· q ëzílvk mvsvkvsvuvr q éjosq·t€} qmé fëuíës• Évpl xkns x yuj ckévwy q ¬unéqry rkjléjztvp rvéviv·rvp x ¡j¡rjuq Çvéviv·rj qunsj wvsnp j tj ¡j¡rj} i€sq tjtnxnt€ ·qxsj vz lv Ìltv wvsn k rvéviv·rn i€sv xkvivltvn Òénivkjsvx• wnénlkqmj¹ rj l€u }vlvu vlty ¡j¡ry tj xkvivltvn wvsn wnénknxzq k xzjtljéztvn wvsv ntqn éqx wvsv ntqn qov iéj nttvn tj éqx

dj én¡ntqn ojlj·q i€sj wénlsv ntj réywtj¹ xyuuj lntnm Ðjiéqrjtz k€wyxrjk¡qp qméy i€xzév éjoivmjzns ² éjxxrjo€ kjsq ·zv xk¹•nttqrq tn k€wyxrjsq qo éyr rvéviv·rq x ¡j¡rjuq kv kénu¹ ivmvxsy ntq¹ uj¡qtqxz€ én¡jsq ojlj·y

knl¹ wvnolj zvémvk|€ oji€kjsq vzré€kjz• xkvq ujmjoqt€ Ëv tqrvuy tn yljkjsvx• tjpzq én¡ntqn wévisnu€

-vé¹·rj wév¡sj sq¡• wvxsn zvmv rjr k m i€sj lvrjojtj tnéjoén¡quvxz• ojlj·q Évplj ïzvi€ qosv qz• ëzv lvrjojzns•xzkv tju wéqlnzx¹ wv¹xtqz• ·zv tjo€kjnzx¹ inxwv é¹lrvu qsq qtknéxqnp k wnénxzjtvkrn qsq éjoun•ntqq ·qxns

Ævo•unu wnénxzjtvkry Æ tnp ·qxsv xzvqz wnénl q }vz¹ q ivs•¡n tq} êzv xvoljnz lkj inxwvé¹lrj c•n vlqt inxwvé¹lvr kvotqrjnz qo oj zvmv ·zv ·qxsv xzvqz wnénl ·qxsvu Æxnmv k ëzvp wnénxzjtvkrn zéq inxwvé¹lrj

cxsq wnénxzjkqz• lkj é¹lvu xzv¹•q} ·qxsj zv rvsq·nxzkv inxwvé¹lrvk qountqzx¹ tj qsq yknsq·qzx¹ tj nxsq lv wnénun•ntq¹ unt•¡nn ·qxsv xzv¹sv wnénl ivs•¡qu qsq tj yunt•¡qzx¹ Ívëzvuy nxsq ·qxsv inxwvé¹lrvk i€sv ·nzt€utn·nzt€u zv vtv xzjtnz tn·nzt€u ·nzt€u ïnztvxz• ·qxsj inxwvé¹lrvk tjo€kjíz ·nztvxz•í wnénxzjtvkrq

Æ€¹xtqu ·zv wévqovplnz x ·nztvxz•í wnénxzjtvkrq nxsq wnénxzjkqz• lkj ljsnrq} léym vz léymj ·qxsj tjwéquné ·qxsj D q E k wnénxzjtvkrn D E Íyxz• un ly tquq xzvqz U léymq} ·qxns Òvmlj wnénun•ntqn uv tv k€wvstqz• k zéq ëzjwj ² xtj·jsj U wnénxzjtvkrjuq xvxnltq} ·qxns wvxzjkqz• ·qxsv D é¹lvu x ·qxsvu E ojznu wvunt¹z• unxzjuq D q E q tjrvtn| n•n U wnénxzjtvkrjuq xvxnltq} ·qxns vzwéjkqz• E tj zv unxzv mln éjt•¡n xzv¹sv D Æxnmv u€ xlnsjnu U +

wnénxzjtvkry xvxnltq} ·qxns z n vi¹ojzns•tv tn·nztvn ·qxsv j zjr rjr wéq rj lvp zjrvp wnénxzjtvkrn ·nztvxz• ·qxsj inxwvé¹lrvk unt¹nzx¹ zv k rvt|n kxnp vwnéj|qq ·nztvxz• wnénxzjtvkrq qountqzx¹

Ònwné• u€ y n uv nu ojrvt·qz• jtjsqo qmé€ k Çj lvn éjxwvsv ntqn ¡j¡nr k ëzvp qmén uv tv ojljz• x wvuv••í tnrvzvévp wnénxzjtvkrq ·qxns ·qxsv xzjkqzx¹ tj unxzv xkvivltvp rsnzrq bs¹ ëzvmv tjlv k€wqxjz• wv v·nénlq tvunéj ¡j¡nr xtj·jsj k wnékvp ojznu kv kzvévp k zénz•np q wvl rvtn| k ·nzknézvp xzévrj} Ëjwéquné wvoq|q¹ tj éqx

ojljnzx¹ zjr

Çj lvn wnénun•ntqn ¡j¡rq tj xkvivltvn unxzv votj·jnz wnénxzjtvkry nn tvunéj x ·qxsvu ² tvunévu wyxzvmv unxzj wvëzvuy rj lvn zjrvn wnénun•ntqn unt¹nz ·nztvxz•