top-book

Листок 2: Топология метрических пространств.

Липшицевы функции

Определение 2.7. Пусть (M1; d1) и (M2; d2) - метрические пространства, а C > 0 - вещественное число. Отображение f : M1 ! M2 называется C-липшицевым, если для любых x; y 2 M1,

d2(f(x); f(y)) Cd1(x; y):

Функция M ! R на метрическом пространстве называется C-липшицевой, если соответствующее отображение C-липшицево относительно естественной метрики на M и R.

Задача 2.16. Докажите, что расстояние dz(x) := d(z; x) до фиксированной точки z 2 M - 1-липшицева функция.

Задача 2.17. Докажите, что липшицевы функции непрерывны.

Определение 2.8. Пусть fi : M ! R – последовательность функций, таких, что limi fi(x) = f(x) для какой-то функции f. В таком случае говорится, что fi поточечно сходится к f.

Задача 2.18. Постройте последовательность fi непрерывных функций на метрическом пространстве, поточечно сходящуюся к разрывной функции f.

Задача 2.19. Пусть fi – последовательность C-липшицевых функций, поточечно сходящаяся к f. Докажите, что f непрерывна.

Расстояние между подмножествами метрических пространств

Определение 2.9. Пусть X M – подмножество метрического пространства, y 2 M точка. Определим d(y; X) := infx2X d(x; y). Это число называется расстоянием от y до X.

Задача 2.20. Пусть X M – замкнутое подмножество, а y 2= X. Докажите, что d(y; X) > 0.

Задача 2.21. Пусть X M, а X1 – множество всех точек y 2 M таких, что d(y; X) = 0. Докажите, что X1 есть замыкание X.

Часть II. Задачи по топологии

Определение 2.10. Пусть X; X0 M – подмножества метрического пространства. Определим d(X; X0) := infx2X d(x; X0). Это число называется расстоянием от X до X0.

Задача 2.22. Докажите, что d(X; X0) = d(X0; X).

Задача 2.23. Докажите, что расстояние до множества задает 1-липшицеву функцию M ! R.

Задача 2.24. Пусть f : X ! R>0 – непрерывная, положительная функция на компакте. Докажите, что существует " > 0 такой, что f > " на

X.

Задача 2.25 (!). Пусть X; X0 M – непересекающиеся замкнутые подмножества в M, причем X компактно. Докажите, что d(X; X0) > 0.

Указание. Докажите, что d(x; X0) : X ! R задает непрерывную, положительную функцию на X, и воспользуйтесь компактностью X, чтобы доказать, что ее минимум положителен.

Задача 2.26. Постройте два непересекающихся, замкнутых подмножества X; X0 M в метрическом пространстве таких, что d(X; X0) = 0.

Задача 2.27. Пусть X; X0 M – непересекающиеся компактные подмножества в метрическом пространстве M. Докажите, что у них есть непересекающиеся, открытые окрестности.

Задача 2.28 (!). Пусть X, Y два компактных подмножества метрического пространства. Докажите, что в X; Y есть такие точки x; y, что d(x; y) = d(X; Y ).

Определение 2.11. Подмножество Z M называется ограниченным, если оно содержится в шаре Br(x) для каких-то r 2 R; x 2 M.

Задача 2.29. Пусть Z M компактно. Докажите, что оно ограниченно.

Часть II. Задачи по топологии

эту операцию можно провести таким образом, что d(xi(k); x(k)) < 2 i. Используя приведенную выше оценку dH (Xi; Xj) < 2 min(i;j), докажите, что d(xi(k); xi) < 2 min(k;j)+2. Выведите из этого, что fxig – последовательность Коши.

Задача 2.34 (!). M компактно, X M – любое подмножество. Докажите, что для каждого " > 0 в M найдется конечное множество R такое, что dH (R; X) < ". (Это утверждение можно выразить так: “X допускает аппроксимацию конечными множествами, с заданной наперед точностью”)

Указание. Найдите в X конечную "-сеть.

Задача 2.35 (*). Пусть M компактно. Докажите, что M тоже компактно.

Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.

2.1.Локально компактные метрические пространства

Определение 2.14. Пусть M метрическое пространство. Говорят, что M локально компактно, если для любой точки x 2 M существует такое число " > 0, что замкнутый шар B"(x) компактен.

Задача 2.36. Докажите, что любое компактное метрическое пространство локально компактно.

Задача 2.37. Докажите, что Rn с обычной топологией локально компактно.

Задача 2.38 (*). Приведите пример полного, не локально компактного метрического пространства.

Задача 2.39. Пусть M локально компактное метрическое пространство, B"(x) замкнутый шар, который компактен. Докажите, что B"(x) содержится в открытом множестве Z, замыкание которого компактно.

Часть II. Задачи по топологии

Задача 2.45 (*). Пусть M локально компактное полное метрическое пространство, удовлетворяющее условию Хопфа-Ринова, x; y 2 M. Предположим, что > все замкнутые шары в M компактны. Докажите, что есть такая точка z 2 M, что d(x; z) = d(y; z) = 12 d(x; y).

Задача 2.46 (*). Пусть S множество всех рациональных чисел вида 2nk , n 2 Z на отрезке [0; 1]. В условиях предыдущей задачи, докажите, что

существует такое отображение S ! M, что d( (a); (b)) = ja bjd(x; y), причем (0) = x, а (1) = y.

Задача 2.47 (*). (Теорема Хопфа-Ринова, II) Пусть M локально компактное полное метрическое пространство, удовлетворяющее условию Хопфа-Ринова, x; y 2 M. Докажите, что отображение можно естественно продолжить на пополнение S относительно стандартной метрики, по-

лучив такое отображение [0; 1] ! M, что (0) = x, (1) = y, и для всякой пары вещественных числа a; b 2 [0; 1] имеем d(( (a); (b)) = ja bjd(x; y).

Замечание. Такое отображение называется геодезическим. Теорему Хопфа-Ринова можно сформулировать так для любых двух точек в полном метрическом локально компактном пространстве, удовлетворяющим условию Хопфа-Ринова, найдется геодезическая, которая их соединяет.

Определение 2.16. Такое пространство называется геодезически связным

Задача 2.48 (*). Приведите пример метрического пространства, которое не локально компактно, но тем не менее геодезически связно.

Задача 2.49. Пусть V = Rn векторное пространство со стандартной (евклидовой) метрикой. Докажите, что геодезические в V это отрезки (множества вида ax + (1 a)y, где a пробегает отрезок [0; 1] R, a x; y 2 V ).

Задача 2.50 (*). Пусть d метрика на Rn, ассоциированная с нормой (x1; x2; :::) 7!max jxij. Докажите, что она удовлетворяет условию ХопфаРинова. Докажите, что Rn с такой метрикой геодезически связно. Опишите геодезические.

Листок 2: Топология метрических пространств.

Задача 2.51 (*). Пусть d метрика на Rn, ассоциированная с нормой

P

(x1; x2; :::) 7! jxij. Докажите, что она удовлетворяет условию ХопфаРинова. Докажите, что Rn с такой метрикой геодезически связно. Опишите геодезические.

Задача 2.52 (*). Верно ли, что метрика d, определенная нормой, всегда удовлетворяет условию Хопфа-Ринова?

Определение 2.17. Пусть X метрическое пространство, а 0 < k < 1вещественное число. Отображение f : X ! X называется сжимающим с коэффициентом k, если kd(x; y) d(f(x); f(y)).

Задача 2.53 (!). Пусть X метрическое пространство, а f : X ! Xсжимающее отображение. Докажите, что для каждого x 2 X последовательность faig, a0 := x; a1 := f(x); a2 := f(f(x)); a3 := f(f(f(x))); :::

последовательность Коши.

Задача 2.54 (!). (Теорема о сжимающих отображениях) Пусть X полное метрическое пространство, а f : X ! X – сжимающее отображение. Докажите, что f имеет неподвижную точку

Указание. Возьмите предел последовательности

x; f(x); f(f(x)); f(f(f(x))); : : : :

Часть II. Задачи по топологии

Листок 3: Теоретико-множественная топология.

Определение 3.1. Пусть дано пространство M, и выделен набор подмножеств S M, называемых открытыми подмножествами. Пара (M; S) (а также само M) называется топологическим пространством, если выполнены следующие условия.

1.Пустое множество и само M открыты.

2.Объединение любого числа открытых подмножеств открыто.

3.Пересечение конечного числа открытых подмножеств открыто.

Отображение ' : M ! M0 топологических пространств называется непрерывным, если прообраз каждого открытого множества открыт. Непрерывные отображения также называются морфизмами топологических пространств. Изоморфизм топологических пространств это такой морфизм ' : M ! M0, что существует морфизм : M0 ! M, обратный к ' (т.е. ' и ' тождественные морфизмы). Изоморфизм топологических пространств традиционно называется гомеоморфизмом.

Подмножество Z M называется замкнутым, если его дополнение открыто. Окрестность точки x 2 M это любое открытое подмножество M, которое ее содержит. Окрестность подмножества Z M это любое открытое подмножество M, которое его содержит.

Задача 3.1. Докажите, что композиция непрерывных отображений непрерывна.

Задача 3.2 (!). Пусть M некоторое множество, а S множество всех подмножеств M. Докажите, что S задает на M топологию. Эта топология называется дискретной. Опишите множество всех непрерывных отображений из M в заданное топологическое пространство.

Листок 3: Теоретико-множественная топология

Задача 3.3 (!). Пусть M некоторое множество, а S множество из двух подмножеств M: пустого множества и самого M. Докажите, что S задает на M топологию. Эта топология называется кодискретной. Опишите множество всех непрерывных отображений из M в пространство с дискретной топологией.

Задача 3.4. Постройте непрерывную биекцию топологических пространств, которая не является гомеоморфизмом.

Задача 3.5. Дано подмножество Z топологического пространства M. Открытые подмножества в Z задаются пересечениями вида Z \U, где U открыто в Z. Докажите, что это задает топологию на Z. Докажите, что естественное вложение Z ,! M непрерывно.

Определение 3.2. Такая топология на Z M называется индуцированной с M. Подмножество любого топологического пространства мы будем рассматривать как топологическое пространство с индуцированной топологией.

Определение 3.3. Пусть M топологическое пространство, а S0 такой набор открытых множеств, что любое открытое множество можно получить как объединение множеств из S0. Тогда S0 называется базой

M.

Задача 3.6. Опишите все базы для M с дискретной топологией; для M с кодискретной топологией.

Определение 3.4. Пусть M метрическое пространство. Напомним, что подмножество U M называется открытым, если для каждой точки u 2 U, U содержит шар радиуса " > 0 с центром в u.

Задача 3.7. Докажите, что это определение задает топологию на метрическом пространстве.

Определение 3.5. Топологическое пространство называется метризуемым если его можно получить из метрического пространства вышеописанным способом.

Задача 3.8. Докажите, что дискретное топологическое пространство метризуемо, а кодискретное нет.

Часть II. Задачи по топологии

Задача 3.9. Докажите, что открытые шары в метрическом пространстве M открыты. Докажите, что открытые шары задают базу топологии на M.

Задача 3.10 (!). Пусть M топологическое пространство, а S, S0 две топологии на M. Предположим, что для каждой точки m 2 M и окрестности U0 3 m, открытой в топологии S0, найдется окрестность U 3 m, U U0, открытая в топологии S. Докажите, что тождественное отображение (M; S) !i (M; S0) непрерывно. Приведите пример, когда i не является гомеоморфизмом.

Замечание. В такой ситуации иногда говорится, что топология, заданная S0, сильнее топологии, заданной S.

Задача 3.11. Рассмотрим пространство Rn с нормой , как в листке 1. Эта норма задает метрику, а следовательно, и топологию на Rn. Обозначим эту топологию через S . Предположим, что , 0 такие две нормы, что для какой-то фиксированной константы C 2 R всегда имеем C 1 0(x) < (x) < C 0(x). Докажите, что тождественное отображение из Rn в себя задает гомеоморфизм (Rn; S ) ! (Rn; S 0).

Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.

Задача 3.12 (*). Предположим, что , 0 такие две нормы на Rn, что тождественное отображение из Rn в себя задает гомеоморфизм (Rn; S ) ! (Rn; S 0).

Докажите, что найдется такая константа C, что C 1 0(x) < (x) < C 0(x).

Задача 3.13 (*). Пусть V конечномерное векторное пространство, наделенное положительно определенной билинейной формой g. Рассмотрим V как метрическое пространство, с метрикой dg, построенной в листке 1. Обозначим соответствующую топологию через Sg. Докажите, что топология на V не зависит от выбора g, то есть что для любых g; g0, тождественное отображение из V в себя задает гомеоморфизм

(V; Sg) ! (V; Sg0).

Задача 3.14 (**). Пусть V конечномерное пространство с нормой . Докажите, что топология S не зависит от выбора нормы : тождествен-

ное отображение из Rn в себя всегда задает гомеоморфизм (Rn; S ) ! (Rn; S 0). Верно ли это, когда V бесконечномерно?