TP 2
.pdfТРЕНИРОВОЧНАЯ РАБОТА № 2
Дифференцирование функции одной переменной. Исследование функций с помощью производной
|
|
|
Образец выполнения тренировочной работы № 2. |
|
|
||||||||||||||||||
|
Задание 1. Вычислить |
приращение |
функции f (x) |
1 |
|
|
в точке |
x0 1 , |
|||||||||||||||
|
x 2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
соответствующее приращению аргумента x 0,02 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Воспользуемся формулой: f (x) f (x) f (x0 ) f (x0 x) f (x0 ) . Для данной |
||||||||||||||||||||||
функции получим: f (x) |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
0,0404 |
|
101 |
. |
|
|
|||||
|
0,02) |
2 |
2 |
1,0404 |
1,0404 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
(1 |
|
|
1 |
|
|
2601 |
|
|
|||||||||||||
|
Задание 2. Найти производные функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2.1. |
y |
e x e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
e x e x |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
e x e x |
|||
y |
|
|
|
|
|
e x |
e x |
|
|
|
e x e x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 2.2. y ln cos x .
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Используем |
|
|
|
правило |
дифференцирования |
|||||||||||||
|
|
f (u) u (x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f u x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y ln cos x |
|
|
|
|
( |
cos x ) |
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
cos x |
|
cos x |
2 cos x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сложной функции:
sin x |
|
1 |
tg x . |
|
2 cos x |
2 |
|||
|
|
Заметим, что этот результат можно было получить, представив функцию в виде
12 ln cos x .
2.3. y e x ln x .
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Воспользуемся |
правилом |
|
дифференцирования |
|
произведения двух |
функций: |
||||||||||||||||||||
(uv) u v uv |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
(e x ln x) e x |
|
|
|
e x |
|
|
||||||||||
. Получим |
ln x |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. y arccos |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Снова |
используем |
|
формулу |
производной |
сложной |
функции: |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(u) u (x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получим: |
||||||
f u x f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y (arctg |
1 |
|
|
) |
|
1 |
|
|
( |
1 |
|
) |
x 4 |
|
( |
|
2 |
) |
|
2x |
. |
|
|
|||
x 2 |
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
x 4 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
x 4 1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задание |
|
3. Продифференцировать |
|
неявно |
заданную |
функцию |
2xy 2 x2 y x2 2 0 .
Решение:
Продифференцируем обе части данного уравнения по переменной x , учитывая при этом, что y является функцией аргумента x . Получим:
(2xy 2 x 2 y x 2 2) x 0; 2y 2 4xyy 2xy x 2 y 2x 0 . Из полученного
равенства выразим производную y : 4xyy x2 y 2xy 2y2 2x , откуда
x
y 2xy 2 y 2 2x . 4xy x2
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
x 2 cos t 2 ,
y sin t 3t.
Решение:
Используем правило дифференцирования функции, заданной параметрически:
y |
yt |
. Получим: |
y |
(2 cos t 2 ) |
4t sin t 2 |
|
|
4t sin t 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x |
xt |
|
x |
(sin t 3t) |
|
cos t 3 |
|
|
|
3 cos t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
выражения 5 31 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Используем приближённое равенство: |
f (x) df (x) f (x) x , верное при малых |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
значениях x . Откуда: |
|
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 ) x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
) 25 1 |
1 |
. |
||||||||
Преобразуем сначала |
|
исходное |
выражение: |
|
5 |
31 5 32 1 5 |
|
32(1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
32 |
32 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
. Производная |
|
|
f (x) |
|
|
1 |
|
|
, f (1) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Положим f (x) 5 |
x , x0 1 , x |
равна: |
|
|
|
|
1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
32 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
55 |
|
x4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Окончательно имеем: 5 |
|
|
2(1 1 ( |
1 |
)) |
31 |
1 |
15 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
16 |
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Задание 6. Найти вторую производную функции y |
|
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x2 1 2x2 |
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Сначала находим первую производную: y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
(x2 1)2 |
|
|
|
|
(x2 |
1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
2x(x2 1)2 4x(1 x2 )(x |
2 1) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Вычисляем вторую производную: |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x(x 2 |
1) 4x(1 x 2 ) |
|
2x3 |
2x 4x 4x3 |
|
2x3 |
2x |
|
2x(x 2 1) |
. |
|
(x 2 1)3 |
|
(x 2 1)3 |
(x 2 |
1)3 |
(x 2 1)3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y sin (2x) в точке x0 3 .
Решение:
Запишем |
уравнение |
|
касательной: |
y f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) . |
В нашем |
случае |
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x , |
|||||
f (x0 ) sin |
|
|
3 |
, |
|
f (x0 ) 2 cos |
1. |
Подставляем |
в уравнение: |
y |
3 |
|||||||||||||||||||
3 |
|
2 |
3 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||
откуда y x |
|
|
3 |
- уравнение касательной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Запишем уравнение нормали: y f (x0 ) |
|
1 |
(x |
x0 ) . Подставив в это уравнение |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
f (x0 ) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) , откуда |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
числовые данные: |
y |
|
3 |
(x |
y x |
|
3 |
- уравнение нормали. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задание 8. Найти производную функции |
|
|
|
y (sin x)sin x |
с |
помощью |
||||||||||||||||||||||||
логарифмического дифференцирования. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Запишем общую формулу логарифмической производной: |
y f (x) (ln f (x)) . В |
|||||||||||||||||||||||||||||
нашем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
случае: |
y (sin x)sin x ln y ln(sin x)sin x |
y |
(ln(sin x)sin x ) y y (sin x ln(sin x)) |
|
y |
|||
|
|
y y (cos x ln(sin x) sin x cossin xx ); y (sin x)sin x (cos x ln(sin x) sin x ctg x).
Задание 9. Исследовать функцию и построить ее график: y ln x
x
Решение.
1)Функция определена и непрерывна в интервале (0;+ ).
2)График пересекает ось абсцисс в точке (1;0). Точек пересечения с осью ординат нет.
3)В граничной точке x 0 области определения функция имеет
|
|
бесконечный разрыв, так как lim |
ln x |
. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 x |
|
||
Так как в точке x 0 функция имеет бесконечный разрыв, то прямая |
x 0 |
||||||||||||||||||||
является вертикальной |
асимптотой. |
Найдем уравнение наклонной асимптоты |
|||||||||||||||||||
y kx b (если она существует). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k lim |
lim |
x |
lim |
|
|
|
0 ; |
|
|
|
|
||||||||||
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
x 2x |
|
x 2x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
ln x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||
b lim( |
0 x) lim |
lim |
|
x |
|
lim |
0 . |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
x |
|
|
x x |
|
x |
1 |
|
x x |
|
|
|
|
(При нахождении пределов воспользовались правилом Лопиталя).
|
Итак, k b 0 и уравнение асимптоты |
y 0 при x . Таким образом, |
|
график имеет в качестве асимптот оси координат. |
|||
|
4) Найдем производную функции и критические точки: |
||
y |
1 ln x |
. Стационарная критическая точка: |
x e . Исследуем знак производной |
|
|||
|
x2 |
|
на интервалах(0;e) и (е;+ ).
0 - е + X
|
|
|
Составим таблицу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
(0;e) |
|
|
e |
|
|
|
|
|
(e;+ ) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y` |
|
+ |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
возрастает |
|
|
max |
|
|
|
|
|
убывает |
|
||||
Экстремум |
функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y |
|
|
1 |
0,37 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
5) Найдем вторую производную и значения х, при которых график может |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ln x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
иметь точку перегиба: y |
, |
y 0 при x e 2 . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Определим знак второй производной в интервалах (0; e 2 ) и (e 2 ; ) : |
|||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
- |
3 |
+ |
|
|
|
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0; e 2 ) |
|
|
|
e 2 4,48 |
( e 2 ; ) |
|
||||||||||
Составим таблицу: |
y`` |
- |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
график |
выпуклый |
|
точка |
вогнутый |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перегиба |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y( e 2 )=3/( 2e 2 ) |
0,33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Строим эскиз графика функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Y е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
e 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание |
10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции |
|
y |
1 |
x3 |
4x 5 |
на отрезке 0;3 . |
|
||||
|
3 |
|
|
Решение:
Найдём область определения функции: D( f ) R . Далее, продифференцируем
функцию: |
|
y ( |
1 |
x3 |
4x 5) x2 4 . |
Найдём |
|
критические |
|
точки: |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y 0 x2 |
4 0 x 2 . Одна из них, |
x 2 , |
принадлежит рассматриваемому |
|||||||||||||||||
промежутку. Определим значение функции на концах отрезка и в точке x 2 : |
||||||||||||||||||||
y(0) 5; y(2) |
1 |
; y(3) 2 . Таким образом, min y |
1 |
|
; max y 5 . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
0; 3 |
3 |
0; 3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант № 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 1. Вычислить приращение функции |
f (x) x2 в точке |
x0 0 , |
||||||||||||||||||
соответствующее приращению аргумента x 0,02 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Задание 2. Найти производные функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
e x |
|
|
|
|
y arccos |
1 |
. |
|
|
||||||||||
2.1. y |
. 2.2. y cos sin x . 2.3. y x2 |
ln x . 2.4. |
|
|
||||||||||||||||
|
e x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
Задание |
3. |
|
Продифференцировать |
неявно |
|
заданную |
функцию |
|||||||||||||
xy 3 4xy x2 2 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
x 2t 2 ,
y t 3t 2 .
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения sin 460 .
|
|
1 |
|
|
Задание 6. Найти вторую производную функции |
y |
|
. |
|
x2 1 |
||||
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции |
||||
y cos 3x в точке x0 |
. |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
Задание 8. |
Найти производную функции y xsin x с помощью |
логарифмического дифференцирования.
Задание 9. Исследовать функцию график.
y x3 3x2 и построить схематически её
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y |
1 |
на |
|
x 2 |
|||
отрезке 1;3 . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант № 2. |
|
|
|
||
|
Задание |
1. Вычислить |
приращение функции |
f (x) x3 |
в точке x0 0 , |
|||||||
соответствующее приращению аргумента x 0,02 . |
|
|
|
|||||||||
|
Задание 2. Найти производные функций: |
|
|
|
||||||||
|
|
e x 1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
2.1. |
y |
. 2.2. y cos x |
3 |
|
. 2.3. y x |
ln(x 4) . 2.4. y arcsin |
. |
|||||
e x e x |
|
|
|
x3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
x2 y3 x2 y x2 1 0 .
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
x 2t 2 6t,
y 2t 3t 3 .
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения sin 440 .
|
y |
x |
|
Задание 6. Найти вторую производную функции |
|
. |
|
x2 1 |
|||
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции |
|||
y cos 5x в точке x0 . |
|
|
|
6 |
|
|
|
Задание 8. Найти производную функции |
y (cos x)sin x с помощью |
||
логарифмического дифференцирования. |
|
|
|
Задание 9. Исследовать функцию график.
y 3x2 2x3 и построить схематически её
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции |
y |
|
|
|
на |
|||||||
|
x2 |
1 |
|||||||||||
отрезке 2;5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Вариант № 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 1. Вычислить приращение функции |
f (x) x4 |
в точке |
x0 0 , |
|||||||||
соответствующее приращению аргумента x 0,02 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Задание 2. Найти производные функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
e x e x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2.1. |
y |
. 2.2. y cos 3 x . 2.3. y x3 ln(x2 4x) . 2.4. |
y arctg |
. |
|
|
|
|
|
||||
e x e x |
x3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
x2 y3 x2 y x2 y 0 .
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
x 2t 2 t 3,
y t 2 4t 3 .
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения cos 440 .
|
|
|
|
|
y |
x |
|
|
Задание 6. Найти вторую производную функции |
|
. |
||||
|
x2 1 |
||||||
|
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции |
||||||
y sin |
|
1 |
x в точке x0 |
. |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
6 |
|
|
|
||
|
Задание 8. |
Найти производную функции |
y (cos x) x с помощью |
логарифмического дифференцирования.
Задание 9. Исследовать функцию её график.
y x3 2x2 x и построить схематически
|
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y |
|
1 |
на |
||||||
|
|
|
||||||||
|
x2 |
1 |
||||||||
отрезке 1;1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Вариант № 4. |
|
|
|
|
|
|
Задание |
1. Вычислить приращение функции f (x) x4 в точке |
x0 |
1 , |
||||||
соответствующее приращению аргумента x 0,01. |
|
|
|
|
|
|||||
|
Задание 2. Найти производные функций: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
e x e x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2.1. |
y |
. 2.2. y sin 3 x . 2.3. y x3 cos(x2 1) . 2.4. y arcctg |
. |
|
|
|
||||
e x 1 |
x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
3x2 y 2 x2 y 3x y 0 .
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
x 2t 2 5t,
y 3t 2 4t 4 1.
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения cos 610 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
x 2 |
|
|
|
|
|
||
Задание 6. Найти вторую производную функции |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
x2 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции |
|||||||||||||||||||
y sin |
1 |
|
x в точке x0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 8. Найти производную функции |
y (sin x)cos x |
с |
помощью |
||||||||||||||||
логарифмического дифференцирования. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задание 9. Исследовать функцию y (x 2)2 (x 3) |
и построить схематически |
||||||||||||||||||
её график. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции |
y |
|
x |
на |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
x2 |
1 |
||||||||||||||||||
отрезке 2; 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Вариант № 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задание 1. Вычислить приращение функции |
f (x) x3 в |
точке |
x0 |
1 , |
|||||||||||||||
соответствующее приращению аргумента x 0,01. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Задание 2. Найти производные функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2.1. y |
|
e x e x |
|
|
y ln(cos x) . 2.3. y x |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 2.2. |
sin x |
. 2.4. y arccos x . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
e x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
3x3 y 2 2xy 3x y 4 0 .
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
x 2t 3 t 2 ,
y 3t 4 t 3 .
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения cos 890 .
Задание 6. Найти вторую производную функции y x 1 .
x 2
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y tg 14 x в точке x0 .
Задание 8. Найти производную функции y (sin x)ln x с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание 9. Исследовать функцию её график.
y (x 1)2 (x 2)2 и построить схематически
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y x2 1x
на отрезке 1 ; 2 1 .
2 2
|
|
|
Вариант № 6. |
|
|
||||
Задание 1. Вычислить приращение функции f (x) |
1 |
в точке x0 1 , |
|||||||
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
соответствующее приращению аргумента x 0,01. |
|
|
|||||||
Задание 2. Найти производные функций: |
|
|
|||||||
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
2.1. y x2 ex . 2.2. y |
cos x |
. 2.3. y |
. 2.4. y e x . |
|
|
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
x3 |
|
|
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию:
x3 y 3xy 2 3x2 y 0 .
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
x 2 cos 2t,y t sin 2t.
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения 5 34 .
Задание 6. Найти вторую производную функции y 3sin 4x .
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции
y x3 x в точке |
x0 2 . |
|
|
|
|
Задание |
8. Найти производную |
функции y x x2 |
с помощью |
||
логарифмического дифференцирования. |
|
|
|
||
Задание 9. Исследовать функцию y |
|
x 2 |
и построить схематически её |
||
|
|
||||
x2 |
2x 2 |
график.
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y cos 2x на
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||
отрезке |
; |
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Вариант № 7. |
|
|
|
|
||||
Задание |
1. Вычислить приращение функции f (x) |
1 |
в точке |
x0 |
1 , |
|||||||||
x 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
соответствующее приращению аргумента x 0,01. |
|
|
|
|
||||||||||
Задание 2. Найти производные функций: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.1. y xe3x . 2.2. y |
sin x |
. 2.3. y |
. 2.4. y 2 x . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 1 |
|
|
|
|
||||
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию: |
|
|
||||||||||||
3x3 y 3xy 2 3x2 y2 xy 0 . |
|
|
|
|
||||||||||
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически: |
|
|||||||||||||
x 2t cos t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y t 2 sin t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения 5 240 .
Задание 6. Найти вторую производную функции y 4 cos 4x .
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции
y x2 3x 2 в точке |
x0 2 . |
|
Задание 8. |
Найти производную функции y x x3 |
с помощью |
логарифмического дифференцирования. |
|
Задание 9. Исследовать функцию график.
x |
|
y x2 2 |
и построить схематически её |
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y sin 2x на
|
|
|
3 |
||
отрезке |
|
|
; |
|
. |
|
|
||||
|
|
2 |
|
2 |
Вариант № 8.