Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

TP_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

426.15 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Тренировочная работа № 1 Пределы числовых последовательностей и функций.

Образец выполнения тренировочной работы № 1.

Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:

1.1. a		:	1	,	1	,	1	,	1	, ,	( 1) n 1	,
	n
		2		4		6		8			2n

Решение:

Данную последовательность можно представить как произведение ограниченной последовательности ( 1)n 1 , предел которой не определён, и сходящейся

последовательности 21n , предел которой равен нулю. Согласно одному из свойств

бесконечно малых последовательностей, произведение ограниченной и бесконечно малой последовательности есть бесконечно малая последовательность.

Поэтому lim an

1.2. an n2 2 .

3n 1

lim	( 1)n 1	lim	1	0 .

n	2n	n 2n

Решение:

lim an lim n2 2

n n 3n 1

1.3. an n cos n2 .

1 n2 1lim n

n 1n (3n 1)

		1	1
lim		1		n2	1 0		1	.
				n2	1 0		1
			1		3	0	3
n			1		3	0	3
	3
	3			n

Решение:

Как и в первом пункте данного задания, представим данную последовательность в виде

произведения двух последовательностей:

, где

b n,

cos n2

. Очевидно,

что lim bn . Последовательность

cn в силу свойств косинуса является ограниченной:

1 cn 1. Таким образом, члены последовательности an при n будут принимать

как неограниченно большие, так и неограниченно малые значения. Следовательно, данная последовательность является расходящейся и предел её не определён.

Задание 2. Найти пределы функций:

2.1. lim	x2	x 2	.
2.1. lim		x 2	.
x 3x2		x 2
Решение:
В данном случае имеем неопределённость вида				. Для её раскрытия используем

следующее известное свойство.

Пусть дана дробно-рациональная функция f (x)

P(x)

где P(x),Q(x) некоторые

Q(x)

многочлены. Тогда:

Если степень многочлена P(x)

больше степени многочлена Q(x) , то lim f (x) .

Если степень многочлена P(x)

меньше степени многочлена Q(x) , то lim f (x) 0 .

Если степень многочлена P(x)

равна степени многочлена Q(x) , то lim f (x)

, где

p, q числовые коэффициенты при наивысших степенях x

в данных многочленах.

данном

случае степени числителя и знаменателя

равны двум,

поэтому

lim

x2 x 2

x 3x2 x 2

2.2. lim

x 3x2

2x3 3

Решение:

В данном случае снова имеем неопределённость вида . Для её раскрытия используем то же известное свойство, что и в предыдущем случае. Степень числителя равна двум,

а степень знаменателя – трём. Поэтому lim

0 .

2x3

x 3x2

2.3. lim

5x 14

x 2 x2

Решение:

В данном

случае снова имеем неопределённость

вида

. Чтобы раскрыть её,

преобразуем данную функцию, предварительно разложив на множители числитель и

знаменатель: lim

x2 4

lim

(x 2)(x 2)

lim

x 2

x2 5x 14

(x 2)(x 7)

x 7

x 2

2.4. lim

x x

1 x

Решение:

В данном случае имеем неопределённость вида

. Чтобы раскрыть её, домножим и

числитель, и знаменатель данной дроби на выражение, сопряжённое к знаменателю:

lim		1


	x 1		x 1
x	x 1		x 1
x

2

2.5. lim x 43 x .

x 0 3 x2 3 x

x 1

lim

x 1

Решение:

В данном случае имеем неопределённость вида 00 . Чтобы раскрыть её, введём подстановку t 6 x . Заметим, что t 0 при x 0 . Получим:

lim

x 43 x

lim

t 3 4t 2

lim

t 4

4 .

t 4

t 2

t 2 1

x 0 3 x 2

3 x

t 0

2x2

2.6.

lim

x 0 sin 2

Решение:

Имеем неопределённость вида

. Чтобы раскрыть её, приведём данную дробь к виду,

который допускал бы применение первого замечательного предела lim

sin x

1 или его

x 0

следствия: lim

sin (x)

1, если (x) 0

при x a .

(x)

x a

2x 2

(5x) 2

lim

2 lim

lim

x 0

sin

(sin 5x)

x 0

sin 5x

x 0 25

25 x 0

sin 5x

Замечание. При выполнении этого задания и заданий, подобных ему, можно использовать и другие способы решения – например, применить правило Лопиталя или эквивалентность бесконечно малых функций.

2.7. lim cos x .

x 2 x

Решение:

Имеем неопределённость вида 00 . Чтобы раскрыть её, как и в предыдущем задании,

приведём данную дробь к виду, который допускал бы применение первого

замечательного предела lim

sin x

1 . Введём подстановку

x . Заметим, что t 0 ,

x 0

при x

. Получим:

cos x

cos(

sin t

lim

1 .

t 0

x 2 x

2.8.

lim

x x 2

Решение:

Имеем неопределённость вида 1 . Чтобы раскрыть её, приведём данную дробь к виду,

	1 x	e .
который допускал бы применение второго замечательного предела lim 1

x	x

x 2 x lim x x 2

2.9. 2

lim 1

x 3 x

	x 2		4	x
lim
lim		x	2
x		x	2
x

x .

	4	x
lim 1
lim 1	x 2
x	x 2
x

x 2

lim

e x x 2

x 2

Решение:

Обратим внимание, что в данном случае x 3 , поэтому нет необходимости использовать второй замечательный предел, поскольку нет никакой неопределённости, и предел может быть вычислен непосредственно.

		2	x			2 3	5	3	125
lim 1					1					.
lim 1					1					.
x 3		x				3	3		27
				1
2.10.	lim 5 x 1 .
	x 1 0

Решение:

Прежде всего, заметим, что если x стремится к единице слева, то x 1 будет принимать

близкие к нулю отрицательные значения, и выражение					1	, очевидно, стремится к
близкие к нулю отрицательные значения, и выражение					x 1	, очевидно, стремится к
			1		x 1
	1	5	1
	1
. Тогда: lim 5 x 1				0 .
. Тогда: lim 5 x 1			5	0 .
x 1 0

Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность:

f (x)

x2 3x

x2 4x 3

Решение:

Найдём область определения данной функции.

D( f ) :( ;1) (1;3) (3; ) . Итак,

имеем

две точки разрыва: x1

1 и x2

3. Теперь определим, каков характер разрыва функции в

каждой из этих точек.

Точка x1

1 является

точкой бесконечного разрыва (второго рода), так как:

lim

x 2 3x

, lim

x 2 3x

4x 3

x 1 0

Точка x2 3 является точкой устранимого разрыва, так как:

lim

x 2 3x

lim

x(x 3)

lim

1,5

x 2

4x 3

(x 1)(x 3)

x 3 0

x 3 0 x

lim

x 2 3x

lim

x(x 3)

lim

1,5 .

x 2

4x 3

x 1

x 3 0

x 3 0 (x 1)(x 3)

x 3 0

Окончательный

ответ:

функция

непрерывна при x ( ;1) (1;3) (3; ) ;

точка

x1 1 является точкой бесконечного разрыва, т.е. точкой разрыва 2-го рода; точка x2 3 является точкой устранимого разрыва.

Вариант № 1.

Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:

1.1.

;

; ;

( 1)n 1

; . 1.2.

a n

n 1

; 1.3. an

2n 1

4n 3

cos n

Задание 2. Найти пределы функций:

2.1. lim	3x2 4x 2
	x2 6x 5
x
2.6. lim	x	. 2.7.

	sin 5x
x 0

. 2.2. lim		2x2 5x		. 2.3.		lim		x2 1
							x2	6x 7
	x 3x3 5x 1					x 1
	ctg 2x		x 3		x
lim		. 2.8.	lim			. 2.9. lim(1

x	5x		x x 2					x 2
2

x3 1

x 3

. 2.4. lim

. 2.5.

lim

x 2 4

x 0 3 x2 6 x

) x . 2.10.

lim 3 x 2 .

x 2 0

Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность:

f (x) x2 1 . x2 4x 3

Вариант № 2.

Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:

1.1.

;

; ;

; .

1.2. an

; 1.3. an

2n 1

4n 3

cos n

Задание 2. Найти пределы функций:

3x2

2 5x 8

x2 1

2.1.

lim

4x 2

2.2.

lim

2.3. lim

2.4.

x2 2

. 2.5.

lim

2 x 5

5x2 7

x 3x4

x 1 x2

2x 3

x 2

x 3

ctg 4x

x 3

2.9. lim(1

lim

. 2.6. lim

. 2.7.

lim

. 2.8.

lim

)

. 2.10.

lim 5 x 2 .

x 0 3 x4 6 x

x 0

tg 5x

x x 3

x 3

x 2 0

Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность:

f(x) x2 3x 2 . x2 4x 3

Вариант № 3.

Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:

1.1.

;

; ;

( 1)n 1

; . 1.2.

a n

n 1

; 1.3. an

3n 1

cos n

Задание 2. Найти пределы функций:

2.1.	lim		x2	x 2		. 2.2.
2.1.	lim			x 5		. 2.2.
	x 4x2			x 5
2.6.	lim		x		. 2.7.		lim


	x 2	sin 5x
							x 2

2x4

5x 8

x2 x 2

x3 x

lim

. 2.3.

lim

. 2.4. lim

x2 6x 7

x 3x2

5x 1

x 1

x 2 4

ctg 2x

2x 1

2.9. lim(1

. 2.8. lim

)

. 2.10.

lim 3

ctg 3x

x x 2

x 3 0


		x 12 x5
. 2.5. lim			.


	x 0 3	x 2 4 x
1
x 3 .

Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность:

f (x) x2 2x 4 . x2 3x 10

Вариант № 4.

Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их

расходимость:

1.1. 1;

;

; ;

; . 1.2. a n

; 1.3. an

cos n

3n 1

3 9

7n 3

Задание 2. Найти пределы функций:

2.1.

3x2

4x 2

2.2.

x5 5x 11

2.3. lim

2.4.

x4 1

. 2.5.

lim

9x2 x 2

x 3x3

5x 1

x 2

3x 2

9x2

ctg 6x

x 1 x

sin 8x

2.9. lim(1

lim

. 2.6. lim

. 2.7.

lim

. 2.8. lim

)

. 2.10. lim

3 x 1 .

x 0 3

x 4

x 0

sin 5x

x x

x 2

x 1 0

Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность:

f(x) x2 6x 9 . x2 4x 3

Вариант № 5.

Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:

sin

1.1. 2;

;

; ;

; . 1.2. an

2 5n

; 1.3. an

3n 1

n2 n

Задание 2. Найти пределы функций:

2.1.

lim

x 4x2 2

. 2.2.

lim

3x2

5x 1

2.3.

lim

x2 16

. 2.4.

lim

x4 x 4 1

. 2.5.

x 9x2 x 1

x 3x3

5x2 1

x 4

x2 5x 4

9x3 4

lim	x5	3	x2	. 2.6.	lim	tg 3x	. 2.7. lim
		6				sin 5x

x 0 3 x7			x5		x 0		x
							2

cos 3x

	x 1	x		1					1
. 2.8.			. 2.9. lim(1			5	. 2.10.	lim 4 x 1 .
	lim				)

	x x 1		x	x				x 1 0

Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность:

f(x) x2 4x 4 . x2 x 6

Вариант № 6.

Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:

1.1. 2,1; 2,11; 2,111; . 1.2. an

2n 1

5n 1

; 1.3.

an ln

Задание 2. Найти пределы функций:

x2 4x 2

2 5x4 2

3x 4

2.1.

lim

. 2.2.

lim

2.3.

lim

2.4.

lim( x 2

x ) . 2.5.

x 7x2 1

x3 5x2 1

5x 4

x 4

2 x

3 x

tg 7x

1 cos 5x

x 1

lim

. 2.6.

lim

. 2.7.

lim

. 2.8. lim

. 2.9. lim

. 2.10.

x 1

x 0

x 0 tg 5x

lim

4 x 2 .

x 2 0

Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность:

f(x) x2 4x 4 . x3 8

Вариант № 7.

Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:

1.1. 1,2;1,22;1,222; . 1.2. an

4n 1

5n 1

; 1.3. an

Задание 2. Найти пределы функций:

3x2 4x

12 . 2.2.

3x2 5x4

x2 25

2.1. lim

lim

. 2.3. lim

. 2.4.

lim

x2 1

x4 x 1

x 2x2 5x4 1

x 5

x2 4x 5

2 x

sin x

1 cos 4x

2.5. lim

. 2.6. lim

. 2.7.

lim

. 2.8.

lim 1

. 2.9.

lim 1

x 0

tg 5x

x 2

2.10. lim

4 x 2 .

x 2 0

Задание 3.			Исследовать функцию на непрерывность:
f (x)	x3 27
		.
	x2 4x 3

Вариант № 8.

Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:

1.1. 1,3;1,33;1,333; . 1.2. an

4n 1

3n 1

sin n .

; 1.3. an

Задание 2. Найти пределы функций:

2.1.

lim

5 4x2 12

. 2.2.

lim

5x4 2

. 2.3.

lim

x2 25

x5 3x

2 5x3

x2 4x 5

x 2x

x 5

. 2.6.

sin 6 x

. 2.7.

sin 3 x

. 2.8.

lim

lim 1

x 0 3

x 0 5x

2.10.

lim

2 x 3 .

x 3 0

Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность:

							x . 2.5.
. 2.4.		lim		x2	x
		x
2 x						2x 5 x 1
	.	2.9.	lim					.

x			x			2x 1

f (x) x3 1 . x2 4x 3

Вариант № 9.

Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:

1.1. 1,4;1,44;1,444; . 1.2. an

4n 1

7n 1

an n

n .

; 1.3.

cos

Задание 2. Найти пределы функций:

2 1

x3 2

x2 25

2.1.

lim

2.2.

lim

2.3.

lim

2.4.

lim

1 x 1

2.5.

3x4

x2 3x

x x2

5x5 9

x 5

x2 4x 5

x 0

3 1

x 1

x 2

x5 4 x

sin 6 x

sin

2 5x

x 5

lim

. 2.6. lim

. 2.7.

lim

. 2.8.

lim 1

. 2.9. lim

x 0

x 1

2.10.

lim 2 x 3 .

x 3 0

Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность:

f (x) x3 8 . x2 7x 10

Вариант № 10.

Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:

1.1. 1,7;1,77;1,777; . 1.2. an													4n 1				7n 1			; 1.3.		an	n		2	cos		n	.
1.1. 1,7;1,77;1,777; . 1.2. an														4n			7n			; 1.3.		an	n			cos		2	.
														4n			7n											2
	Задание 2. Найти пределы функций:
		2x4				4x2				1				x2			x3 2										x2	1
		2x4				4x2				1				x2			x3 2										x2	1					3	x 1	2	3		(x 1)		2
2.1.	lim										. 2.2.	lim									. 2.3.		lim							. 2.4. lim											.
2.1.	lim			4					2		. 2.2.	lim			2			5			. 2.3.		lim			2				. 2.4. lim											.
	x		x	4			2x		2	3		x		x	2		x	5	4				x 1		x	2	4x 5					x
	x											x											x 1
																sin 2 6 x																			2		1		x
					x			4		x3																	1 cos 6x										1
					x			4		x3																	1 cos 6x
2.5.	lim										. 2.6.	lim								. 2.7.			lim								.	2.8.	lim	1			3 . 2.9.
2.5.	lim										. 2.6.	lim					4x 2			. 2.7.			lim					4x2			.	2.8.	lim	1			3 . 2.9.
	x 0 3 x2 44 x											x 0					4x 2						x	0				4x2				x			x
	x 3 x 2													1
														1

lim										. 2.10. lim 6 3 x .
lim			2							. 2.10. lim 6 3 x .
	x		2								x 3 0
x

Задание 3.			Исследовать функцию на непрерывность:
f (x)	x3 1
		.
	x2 7x 8

Вариант № 11.

Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:

1.1.

;

; ;

( 1)n 1

; . 1.2.

; 1.3. an

2n 1

4n 3

cos n

Задание 2. Найти пределы функций:

2.1. lim

2.6. lim

x 0

3x2 4x 2

2x2 5x

x2 1

x3 1

x 3

. 2.2. lim

. 2.3.

lim

. 2.4. lim

. 2.5.

lim

6x2 x 5

x 3x3 5x 1

x 1

2x 3

x 2 4

x 3 x 4 6 x

ctg 4x

x 3

. 2.7.

lim

. 2.8.

lim

. 2.9. lim(1

)

. 2.10.

lim 3 x 2 .

sin 5x

x x 2

x 3

x 2 0

Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность:

f(x) x2 3x 2 . x2 4x 3

Вариант № 12.

Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:

1.1.

;

; ;

( 1)n 1

; . 1.2.

a n

; 1.3. an

3n 1

7n 3

cos n

Задание 2. Найти пределы функций:


2.1.	lim	3x2		4x 2			.
		9x2			x 2
	x
. 2.6. lim			x			. 2.7.


	x 2		sin 5x

2.2.

lim

2x4

x3 x

5x 8

3 x

lim

. 2.3. lim

. 2.4. lim

. 2.5.

lim

3x2

5x 1

3x 2

x 2

x 2 4

x 3 x 4

6 x

ctg 6x

2x 1 x

lim(1

. 2.8.

lim

. 2.9.

)

. 2.10.

lim 3 x 3 .

x 2

x 3 0

Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность:

f(x) x2 6x 9 . x2 4x 3

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.20151.84 Mб8tipy_raspadov (для Соболева).pdf
#
06.09.201935.34 Кб16TOKB(Лена,фулл).docx
#
05.06.20153.21 Mб52top-book.pdf
#
05.06.2015527.36 Кб14TP 2.pdf
#
27.03.20162.26 Mб57TPO_1_kurs_metodichka_dlya_studentov-rev (1).doc
#
05.06.2015426.15 Кб16TP_1.pdf
#
08.09.20195.93 Mб6trebov_k_prezentacii.doc
#
04.06.2015334.08 Кб24Tиповой расчет 5.docx
#
04.06.2015123.67 Кб134U04-02_rezchikov_poluchenie_Nanostruktur.docx
#
04.06.2015598.02 Кб48Uch-PSb-1.doc
#
07.05.20194.6 Mб1UChYeBNOYe_POSOBIYe.doc