- •Глава 1. Основные понятия
- •§1 Операции над комплексными числами
- •§2 Комплексная плоскость
- •§3 Некоторые понятия, относящиеся ко множествам. Кривые на комплексной плоскости.
- •§4 Функции комплексного переменного
- •§5 Функциональные последовательности и ряды
- •§6 Степенные ряды
- •Глава 2. Аналитические функции. Конформные отображения.
- •§1 Аналитические функции
- •§2 Конформные отображения
- •Глава 3. Примеры конформных отображений
- •§1 Дробно линейное отображение
- •§3 Функция
- •§4 Функция Жуковского
- •§7 Таблица некоторых конформных отображений.
- •Глава 4. Теория интеграла
- •§1. Понятие интеграла. Теорема Коши.
- •§2 Интеграл Коши
- •§3 Первообразная.
- •Глава 5. Ряды Тейлора и Лорана
- •§1 Ряд Тейлора аналитической функции
- •§2 Единственность аналитической функции. Принцип максимума модуля.
- •§3 Ряды Лорана
- •§4 Изолированные особые точки однозначных аналитических функций.
- •Глава 6. Элементы теории вычетов и их использование при вычислении интегралов
- •§1 Вычеты
- •§2. Вычисление интегралов
- •§3 Простейшие классы аналитических функций.
- •Глава 7. Преобразование Лапласа.
- •§1 Преобразование Лапласа.
- •§2 Свойства преобразования Лапласа
- •Глава 8. Приложения.
- •§1 Комплексный потенциал
- •§2 Операционное исчисление
Глава 1. Основные понятия
§1 Операции над комплексными числами
Основные понятия, связанные с комплексными числами изучались в первом семестре. Перечислим некоторые из них.
Алгебраическая форма записи комплексного числа: – вещественная часть, - мнимая часть комплексного числа. Тригонометрическая форма записи (представление числа в экспоненциальной форме): , r –модуль комплексного числа. Выражение пока рассматривается, как сокращенная запись суммы . Легко проверяется, что , в частности, Далее: - аргумент комплексного числа.
Главное значение аргумента обозначается: и выбирается в диапазоне .
Аргумент комплексного числа:
слайд 43 (модуль комплексного числа)
слайд 44 (аргумент комплексного числа)
Сопряженное число . Отметим два свойства сопряжённых чисел:
слайд 24 (сложение комплексных чисел)
слайд 28 (умножение комплексных чисел)
слайд 27 (комплексное сопряжение)
Формула Бинома Ньютона: для любых комплексных чисел a,b и натурального n справедливо равенство .
На рис. 1.1 приводится геометрическая интерпретация комплексного числа.
Рис. 1.1
slide 1 1
Расстояние между комплексными числами (рис. 1.2)
Рис. 1.2
slide 1 2
Пример: Множество представляет собой геометрическое место комплексных чисел, сумма расстояний которых до и -1 равна 2. Это множество представляет собой эллипс с фокусами в и -1.
Возведение в степень, формула Муавра: если , то
slide42 (формула Муавра)
Извлечение корней: если , то
Здесь под понимается арифметическое значение корня.
slide2 (извлечение корней)
§2 Комплексная плоскость
Множество комплексных чисел удобно интерпретировать как плоскость, которую называют комплексной плоскостью и обозначают C, комплексное число – это точка на этой плоскости. Можно рассматривать комплексное число, как радиус вектор, тогда операции сложения комплексных чисел совпадают с операциями сложения векторов (радиус векторов). К комплексной плоскости формально добавляется абстрактная, «несобственная» точка - бесконечность . Комплексная плоскость С с добавленной к ней несобственной «бесконечно удаленной точкой» называется расширенной комплексной плоскостью и обозначается . Геометрически бесконечно удаленную точку можно интерпретировать с помощью сферы Римана.
Рассмотрим сферу S, касающуюся комплексной плоскости в точке (0,0). Между точками сферы S и точками расширенной комплексной плоскости устанавливается взаимнооднозначное соответствие, как показано на рисунке.
Рис. 1.3. Стереографическая проекция (сфера Римана)
Именно, из верхнего полюса сферы проводится луч, соединяющий точку сферы A с некоторой точкой B плоскости. Самому полюсу P соответствует бесконечно удаленная точка . Эта сфера называется сферой Римана. Такое отображение для случая сферы радиуса 1 задается следующими функциями:
.
Для доказательства, рассмотрим полярные координаты (см. Рис. 1.3): тогда
, откуда получим: .
|
|
Рис. 1.4.
Можно показать, что прямые и окружности из переходят в окружности на S, а углы между пересекающимися кривыми сохраняются.
Комплексная плоскость с ранее введенным расстоянием представляет собой евклидово пространство. Перечислим основные понятия и определения, связанные со сходимостью.
Расстояние между комплексными числами
Окрестность точки
Окрестность бесконечно удалённой точки :
Проколотая окрестность точки
Сходимость, предел последовательности:
означает, что
Необходимое и достаточное условие сходимости для случая, когда предельная точка не равна бесконечности:
Критерий Коши сходимости последовательности к конечному пределу (в С) :
Множество комплексных чисел является линейным пространством. Наличие метрики и операций линейного пространства позволяет ввести понятие числового ряда. Комплексный ряд с общим членом определяется, как . В случае сходимости обоих действительных рядов получаем комплексное число – сумму этого ряда. Таким образом, изучение комплексного ряда сводится к изучению двух вещественных рядов. Наиболее важными свойствами рядов, используемых в дальнейшем, являются: абсолютная сходимость, свойства суммы, разности рядов, перестановка и перемножение абсолютно сходящихся рядов.