top-book

Листок 6: Поточечная и равномерная сходимость

Задача 6.21. Пусть f 2 Pl, и для всех прямолинейных сегментов [ai; ai+1] в f, длина

[f(ai); f(ai+1)]

не больше, чем (ai+1 ai); где какое-то положительное вещественное число. Докажите, что (f; ") ", где (f; ") функция, определенная выше.

Задача 6.22. Пусть f0 2 Pl, f1 = (f0); : : : ; fn = (fn 1), и для всех

прямолинейных сегментов [ai; ai+1] в f0, длина [f(ai); f(ai+1)] не больше, чем (ai+1 ai). Докажите, что (fn; ") 2n".

Задача 6.23. Пусть f 2 Pl, а самый большой прямолинейный сегмент [f(ai); f(ai+1)] соответствующей ломаной имеет длину k. Докажите, что

( (f); ") 2 k + (f; ").

p

2

Задача 6.24. Пусть f0 2 Pl, f1 = (f0); : : : ; fn = (fn 1), а самый большой прямолинейный сегмент в ломаной, соответствующей f0, имеет длину k. Докажите, что

для любых n, m (n > m)

Задача 6.25. В предыдущей задаче, возьмем " < 2 2m, n > 2m. Выведите из (6.1.1) p

4k 2 +

(fn; ") 2 m :

Докажите, что для произвольного i

Задача 6.26 (!). Пусть f0 линейно отображает [0; 1=2] в отрезок [(0; 0); (1; 1)], a [1=2; 1] в отрезок [(1; 1); (0; 0)]. Докажите, что множество ffig равномерно непрерывно.

Указание. Выведите из предыдущей задачи, что lim supi( (fi; ")) = 0.

" ! 0

Часть II. Задачи по топологии

Задача 6.27. Выведите из теоремы Арцела-Асколи, что предел lim fi (в sup-метрике) существует и является непрерывной функцией P : [0; 1] ! [0; 1] [0; 1].

Определение 6.5. Определенная выше функция P называется кривая Пеано.

Задача 6.28. Найдите P(q), где q = 2an (a 2 Z) – двоично-рациональное число.

Задача 6.29. Пусть Q2 множество двоично-рациональных чисел. Докажите, что P(Q2) плотно в квадрате.

Задача 6.30 (!). Докажите, что образ P – это весь квадрат.

Указание. Воспользуйтесь тем, что образ компакта компактен.

Задача 6.31 (!). Можно ли сюръективно и непрерывно отобразить [0; 1] на куб? На куб с выколотой точкой?

Листок 7: Связность

Листок 7: Связность

Определение 7.1. Пусть дано топологическое пространство M. Подмножество W M называется открытозамкнутым, если оно открыто и замкнуто. M называется связным, если любое открытозамкнутое подмножество M это либо ?, либо само M. Подмножество Z M называется связным, если оно связно в индуцированной топологии.

Задача 7.1. Связно ли R?

Задача 7.2 (!). Пусть X, Y связные. Докажите, что X Y связно.

Указание. Пусть в X Y есть открытозамкнутое подмножество. Рассмотрим пересечение U \ X fyg. Докажите, что X fyg (с индуцированной топологией) гомеоморфно X, а U \ X fyg открытозамкнуто там.

Задача 7.3. Связно ли Rn (с естественной топологией)?

Задача 7.4. Пусть в топологическом пространстве M любые две точки x; y можно “соединить путем”, то есть найти такое непрерывное отобра-

'

жение [0; 1] ! M, что '(0) = x, '(1) = y. Докажите, что M связно.

Замечание. В такой ситуации M называется линейно связным.

Задача 7.5. Выкинем точку из окружности или плоскости. Докажите, что получится связное пространство.

Задача 7.6 (!). а. Выкинем конечное число точек из R2. Докажите, что получится связное пространство.

б.Выкинем точку из интервала. Докажите, что получится несвязное пространство.

Задача 7.7 (!). Докажите, что следующие пространства попарно негомеоморфны: R, R2, окружность.

Задача 7.8 (!). Докажите, что отрезок, интервал и полуинтервал попарно негомеоморфны.

Часть II. Задачи по топологии

Задача 7.9. Дано непрерывное отображение f : X ! Y . Пусть X связно. Докажите, что образ f связен.

Задача 7.10 (!). Дано связное подмножество в отрезке [0; 1]. Докажите, что это интервал, полуинтервал или отрезок.

Задача 7.11. Дано непрерывное отображение f : X ! R. Пусть X связно, а f принимает и положительные, и отрицательные значения. Докажите, что f где-то зануляется.

Задача 7.12 (*). Пусть дано метризуемое счетное связное пространство M. Докажите, что M это точка.

Задача 7.13. Пусть даны связные подмножества топологического пространства M, пересечение которых непусто. Докажите, что их объединение связно.

Задача 7.14 (!). Пусть x 2 M точка в топологическом пространстве, а W объединение всех связных подмножеств, которые ее содержат. Докажите, что W связно.

Определение 7.2. В такой ситуации, W называется компонентой связности точки x (или просто компонентой связности).

Задача 7.15. Докажите, что связное подмножество W M есть компонента связности тогда и только тогда, когда любое связное подмножество, содержащее W , с ним совпадает.

Задача 7.16. Докажите, что M разбивается в объединение непересекающихся компонент связности.

Задача 7.17. Докажите, что все компоненты связности M замкнуты.

7.1. Вполне несвязные пространства

Определение 7.3. Топологическое пространство M называется вполне несвязным, если любая компонента связности M состоит из одной точки.

Листок 7: Связность

Задача 7.18. Докажите, что множество рациональных чисел (с топологией, индуцированной с R) вполне несвязно. Докажите, что оно не дискретно.

Задача 7.19 (*). Докажите, что пространство p-адических чисел вполне несвязно.

Задача 7.20 (*). Докажите, что произведение вполне несвязных пространств вполне несвязно.

Задача 7.21. Пусть дано хаусдорфово топологическое пространство с предбазой S. Пусть все элементы S открытозамкнуты. Докажите, что S вполне несвязно.

Задача 7.22 (!). Рассмотрим множество f0; 1g с дискретной топологией, и пусть f0; 1gI – произведение I копий f0; 1g с тихоновской топологией, где I произвольный набор индексов. Докажите, что f0; 1gI вполне несвязно.

Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.

Задача 7.23 (*). Пусть дано компактное, хаусдорфово топологическое

пространство M, пусть M1 – множество компонент связности M, а M ! M1естественная проекция (точка переходит в свою компоненту связности). Введем на M1 такую топологию – подмножество U M1 открыто, если 1(U) M открыто. Докажите, что M1 вполне несвязно. Докажите, что любое непрерывное отображение M !2 M2 из M во вполне несвязное пространство M2 раскладывается в композицию непрерывных

отображений M ! M1 ! M2 (в таком случае говорится, что “отображение 2 пропускается через ”).

Задача 7.24. Пусть дано открытое подмножество компактного пространства U и набор замкнутых подмножеств fKig, пересечение которых содержится в U. Докажите, что из fKig можно выбрать конечный поднабор, пересечение элементов которого содержится в U.

Задача 7.25 (*). Пусть дано вполне несвязное компактное хаусдорфово топологическое пространство M. Докажите, что каждая точка x 2 M является пересечением всех открытозамкнутых подмножеств M, которые ее содержат.

Часть II. Задачи по топологии

Указание. Пусть P пересечение всех открытозамкнутых подмножеств M, которые содержат x. Очевидно, что оно замкнуто. Докажите, что оно равно fxg либо несвязно. Если оно несвязно, P распадается в объединение двух непустых непересекающихся замкнутых подмножеств P1, P2. Воспользовавшись тем, что в компактном хаусдорфовом пространстве выполняется Т4 (докажите это), найдем у P1, P2 непересекающиеся открытые окрестности U1, U2. Выведите из предыдущей задачи, что в U1 [ U2 содержится открытозамкнутое подмножество W M, содержащее x. Докажите, что W \ Ui открытозамкнуты, и выведите из этого, что P это fxg.

Задача 7.26 (*). Пусть дано вполне несвязное компактное хаусдорфово топологическое пространство M. Докажите, что открытозамкнутые множества образуют базу топологии M.

Указание. Пусть дано открытое подмножество U M и в нем точка x. Возьмем у каждой точки MnU открытозамкную окрестность, не содержащую x (докажите, что это можно сделать). Мы получим покрытие fU g множества MnU. Поскольку MnU компактно, из fU g можно выбрать конечное подпокрытие U1; :::Un. Докажите, что дополнение к [Ui открытозамкнуто, содержит x и содержится в U.

Задача 7.27 (*). Пусть дано вполне несвязное компактное хаусдорфово топологическое пространство M, и пусть x; y 2 M две различные точки. Докажите, что M допускает непрерывное отображение в f0; 1g (с дискретной топологией) такое, чтo x переходит в 0, а y в 1.

Задача 7.28 (*). Пусть дано вполне несвязное компактное хаусдорфово топологическое пространство M, и пусть I множество всех непрерывных отображений M в f0; 1g. Определите естественное отображение M ! f0; 1gI . Докажите, что это непрерывное вложение, и что образ M замкнут.

Задача 7.29 (*). Пусть M компактное хаусдорфово топологическое пространство. Докажите, что следующие утверждения равносильны

(i)M вполне несвязно

(ii)M может быть вложено в f0; 1gI для какого-то множества индексов

I.

Листок 7: Связность

Замечание. Напомним, что если компакт M допускает непрерывное инъективное отображение f : M ! X в хаусдорфово пространство X, то f есть гомеоморфизм между M и f(M) X с индуцированной топологией.

Часть II. Задачи по топологии

Листок 8: Фундаментальная группа и пространство петель

8.1. Линейная связность

Определение 8.1. Пусть M топологическое пространство. Напом-

'

ним, что путем в M называется непрерывное отображение [a; b] ! M. В этом случае говорится, что путь ' соединяет точки '(a) и '(b). M называется линейно связным, если любые две точки M можно соеди-

'

нить путем [a; b] ! M.

Задача 8.1. Пусть a, b, c лежат в M, причем a можно соединить путем с b, а b с c. Докажите, что a можно соединить путем с c.

Задача 8.2. Выведите из этого, что объединение линейно связных подмножеств M, содержащих выбранную точку x 2 M, линейно связно.

Определение 8.2. Объединение всех линейно связных подмножеств, содержащих какую-то фиксированную точку x, называется компонентой линейной связности M.

Задача 8.3. Рассмотрим следующее подмножество X R2: график функции sin(1=t), объединенный с отрезком [(0; 1); (0; 1)]. Докажите, что X локально компактно, связно, и не линейно связно. Найдите компоненты линейной связности.

Задача 8.4 (*). Найдите компактное и связное метризуемое топологическое пространство, имеющее бесконечное количество компонент линейной связности.

Определение 8.3. Пусть fM g набор топологических пространств,

F

индексированный множеством A. Несвязное объединение 2A M – это топологическое пространство, точками которого являются пары ( ; m) j 2 A; m 2 M , а база топологии задается открытыми множествами во всех

M .

Листок 8: Фундаментальная группа и пространство петель

Задача 8.5. Докажите, что несвязное объединение одноточечных про-

F

странств дискретно. Докажите, что естественная проекция 2A M ! A на A с дискретной топологией непрерывна.

Определение 8.4. Топологическое пространство M называется локально связным (локально линейно связным), если каждая окрестность точки x 2 M содержится в связной (линейно связном) окрестности этой точки.

Задача 8.6. Пусть дано топологическое пространство M. Докажите, что если M локально связно (локально линейно связно) то M представляется в виде несвязного объединения своих компонент связности (линейной связности).

Задача 8.7. Докажите, что связное пространство линейно связно, если оно локально линейно связно.

Задача 8.8. Пусть дано открытое подмножество в Rn. Докажите, что оно локально линейно связно.

Задача 8.9 (**). Пусть ! первый континуальный ординал, а ' : [0; 1] ! ! соответствующая биекция. Пусть X [0; 1] [0; 1] – подмножество квадрата, состоящее из всех x; y таких, что '(x) > '(y). Докажите, что X связно. Докажите, что линейно связные компоненты Xлибо точки, либо сегменты горизонтальных отрезков.

Указание. Докажите, что пересечение X с любым вертикальным отрезком нигде не плотно. Пусть V [0; 1] [0; 1] связное замкнутое подмножество квадрата, содержащееся в X. Докажите, что V пересекается с каждым вертикальным отрезком не более чем в одной точке. Значит, V это график непрерывного отображения : [a; b] ! [0; 1], такого, что '( (a)) < '(a). Докажите, что такое отображение постоянно.

8.2. Геодезическая связность

Определение 8.5. Пусть M полное локально компактное метрическое пространство. Напомним, что геодезической в M называется отображение [a; b] ! M, которое сохраняет метрику. Говорят, что M геодезически связно, если любые две точки можно соединить геодезической. Естественно, геодезически связное пространство линейно связно.