A = |
2 |
; |
B = |
1 |
; |
y(x)= |
2 |
e−x + |
1 |
e2 x . |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
3 |
|
Пример 16.7 ([4], № 115 (7)). Решить интегро-дифференциальное уравнение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
y ''+ ∫x sin(x −t) [ y'' |
(t ) + y(t )]dt = 2cos x; y (0) = y′(0) = 0. |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
2 p |
|
Решение. p |
|
Y ( p) |
+ |
|
|
|
|
|
p |
|
Y ( p) +Y ( p) = |
|
|
|
; |
|
p |
2 |
+1 |
|
p |
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y ( p) |
= |
2 p |
|
|
= −( |
1 |
|
)' y(x) = xsin x. |
|
( p2 +1)2 |
p2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 16.8 ([4], № 115 (9)). Решить интегро-дифференциальное уравнение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
y '' − y −4∫x (x −t)cos( x −t) y(t)dt = 0; |
|
y (0) = 4; y '(0) = 0. |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Переходим к операторному уравнению: |
|
p2{Y ( p) − |
4 |
} −Y |
( p) +4 |
|
|
1− p2 |
|
|
Y ( p) = 0; |
|
|
|
(1+ p2 )2 |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y ( p) = |
|
4 p( p2 +1)2 |
|
= |
|
|
|
( p2 −1)2 ( p2 +3) |
= |
|
A |
+ |
|
B |
|
|
+ |
|
C |
|
+ |
|
D |
|
+ |
Ep + F ; |
|
( p −1)2 |
|
p −1 |
|
( p +1)2 |
|
p +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 +3 |
4 p( p2 +1)2 = A( p +1)2 ( p2 +3) + B( p −1) ( p +1)2 ( p2 +3) + |
+C( p −1)2 ( p2 +3) + D( p +1) ( p −1)2 ( p2 +3) + |
|
|
|
|
|
+(Ep + F) ( p2 −1)2 ; |
|
|
|
Положим в этом тождестве слева и справа р = 1. Получим |
|
|
|
|
|
16 |
=16А А=1. |
|
|
|
Положим р = –1. Получим
−16 =16С С = −1 .
Поскольку у многочлена, стоящего в знаменателе выражения Y( p) , больше действительных корней нет, прибегнем к другому
методу для нахождения оставшихся коэффициентов. Приравняем слева и справа коэффициенты при одинаковых степенях р:
при |
р5 : |
4 |
= B + D + E; |
|
|
|
|
|
при |
р4 : |
0 |
= A − B +2B +C + D −2D + F; |
|
|
при |
р1 : |
4 |
= 6A −6B +3B −6C −6D +3D −2F + E; |
при |
p0 : |
0 |
= 3A −3B +3C +3D + F. |
|
|
Получим систему |
|
|
|
|
|
|
B + D + E = 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ F = 0, |
|
|
|
3 |
|
|
B − D |
|
|
F = 0; B = D = |
; E =1. |
|
|
|
|
|
|
|
3B +3D +2F − E = |
8, |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3B −3D + F = 0 |
|
|
|
|
|
Разложение функции Y( p) на элементарные дроби приобрело вид
Y ( p)= ( p −11)2 + 32 p1−1 − ( p +11)2 + 32 p1+1 + p2p+3.
Искомая функция:
y(x) = 2shx +3chx +cos 3x .
Пример 16.9 ([4], № 118 (4)). Решить систему уравнений:
|
|
|
|
|
|
x |
|
y'' − z + ∫(x −t)·ex−t·z (t )dt = ex , y(0)= 2; y' (0)= 0; |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
− y |
|
− z |
|
x |
(0)= −1; |
z |
'' |
' |
' |
+ ∫cos(x −t)·y (t)dt =1 , z (0)=1; z |
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Решение. Перейдем к операторным уравнениям:
|
|
|
p2 Y |
(p)− |
2 |
|
−Z (p)+ |
1 |
|
Z (p)= |
1 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
(p −1) |
|
|
|
p −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
p |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
p Z (p)− |
|
+ |
|
|
|
|
− p Y |
(p)− |
|
|
− p Z |
(p)− |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
Y (p)= |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
p p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
+1 |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
p |
|
|
|
|
или
|
p2Y ( p) + 2 p − p2 Z ( p) = 2 p |
2 |
−2 p +1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p −1) |
|
|
|
p −1 |
|
|
|
|
|
p3 |
|
|
|
|
|
p2 −4 p + |
1 |
|
|
|
Y ( p) +( p |
2 |
− p)Z ( p) = |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
p |
2 |
+1 |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решив эту систему, получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y ( p) = |
2 |
|
+ |
2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
p p |
3 |
|
y ( x) = x |
+ 2, |
|
|
|
|
Z ( p) = p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p −1 |
|
|
|
z ( x) =1 |
− x. |
|
|
|
|
|
Список рекомендуемой литературы
1.Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 2001, 2004.
2.Михайлов В.Д. Теория функций комплексного переменного. М.:
МИФИ, 2002.
3.Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М.: Физматлит, 2002.
4.Шелковников Ф.А., Такайшвили К.Г. Сборник упражнений по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1976.
5.Михайлов В.Д. Сборник заданий для самостоятельной работы по курсу «Теория функций комплексной переменной». М.: НИЯУ МИФИ, 2011.
6.Михайлов В.Д. Теория функций комплексной переменной: Сборник заданий для самостоятельной работы. М.: НИЯУ МИФИ, 2013.
7.Забоев А.И., Михайлов В.Д., Шолохов Н.В. Вычеты и их примене-
ние. М.: МИФИ, 1994.
