Михайлов ТФКП практикум2013

Пример 9.7 ([3], № 4.36).

1

f (z) = ze z .

Решение. Особые точки: z = 0 и z =∞. Точка z = 0 – существенно особая, так как при z → 0 у функции нет предела (при z = x

в котором главная часть содержит бесконечно много членов, что по определению и является признаком существенно особой точки.

1

Исследуем точку z = ∞. Предел сомножителя ez равен 1, т.е.

f (z) = zϕ(z) , где ϕ(z) → 1. Следовательно (см. пример 9.2), это –

z→∞

полюс первого порядка. Этот вывод можно сделать, и рассматривая

1

ряд Лорана в бесконечности. Так как у функции f (z) = ze z между

нулем и бесконечностью никаких особых точек нет, т.е. окрестность бесконечности совпадает с окрестностью нуля, и поэтому разложение в ряд Лорана в бесконечности имеет тот же вид, что и в нуле, т.е.

но правильная часть и главная поменялись местами, причем теперь главная часть содержит один член – z в первой степени.

Пример 9.8 ([3], № 4.44).

f (z) = ctgz2 z .

Решение. Так как f (z) = ctgz2 z = zcos2 sinzz , то особые точки z = πk

( k = 0, ±1, ±2... ).

131

Рассмотрим отдельно точку z = 0 . Так как sin z ~ z , то знамена-

z→0

тель имеет в этой точке нуль третьего порядка (числитель равен 1). Следовательно, для функции f (z) точка z = 0 является полюсом

третьего порядка. Остальные точки z = kπ ( k = ±1, ±2... ) – полюсы

первого порядка, так как первая производная функции z2 sin z , стоящей в знаменателе, в этих точках отлична от нуля. Точка z =∞ не является изолированной особой точкой (точка накопления полюсов).

При этом условии все эти точки являются полюсами первого порядка. Если же α = π2 + πm , то первая производная в указанных

точках обращается в нуль, но не обращается в нуль вторая производная, что означает наличие в этих точках для знаменателя нуля

второго порядка. Точка z =∞ – предельная для полюсов.

132

Пример 9.10 ([3], № 4.49).

f (z) = sin 1 −1 z .

Решение. Функция sin z в конечной части плоскости не имеет особенности, а на бесконечности имеет существенно особую точку.

предел – устранимая особенность (иногда бесконечно удаленную точку в этом случае называют правильной точкой).

Пример 9.11 ([3], № 4.50).

Решение. Найдем особые точки, приравняв нулю знаменатель

ращается, поэтому точки zk являются полюсами первого порядка.

При k → ∞ эти точки попадают в как угодно малую окрестность точки z =2 . Поэтому последняя не является изолированной особой точкой (точка накопления полюсов). Точка z = −2 является полю-

ке z = −2 функция и ϕ(−2) ≠ 0 .

133

Остается рассмотреть точку z =∞. Функция f (z) представима

z →∞. Отсюда следует, что z =∞ – это полюс третьего порядка.

Пример 9.12 ([3], № 4.51).

эти полюсы попадают в как угодно малую окрестность точки z = 0 . Поэтому эта точка не является изолированной особой точкой (точ-

z =∞ – полюс первого порядка.

Пример 9.13 ([3], № 4.53).

f (z) = sin 1z + z12 .

Решение. Функция представляет собой сумму двух функций, из которых первая имеет одну особую точку z = 0 (существенно осо-

является существенно особой точкой (так как если одно слагаемое не имеет предела, а второе имеет любой предел, в том числе бесконечный, то сумма не имеет предела). Аналогичный результат полу-

134

чим, используя критерий ряда Лорана: так как ряд Лорана функции sin 1z в главной части содержит бесконечное число членов, а z12 –

конечное – всего один, то сумма содержит бесконечное число членов). Бесконечно удаленная точка для функции f (z) является пра-

вильной (устранимой особой точкой), так как lim f (z) = 0.

z→∞

Пример 9.14 ([3], № 4.55).

существенно особые точки, так как, как мы это уже видели ранее (см. пример 9.3), когда показатель экспоненты стремится к бесконечности, то сама экспонента не имеет предела ни конечного, ни

бесконечного. При k → ∞ точки zk = k1π попадают в сколь угодно

малую окрестность точки z = 0 . Поэтому последняя не является изолированной особой точкой (предельная для существенно особых точек). Точка z =∞, как было установлено выше, является по-

люсом для ctg 1z , т.е. показатель экспоненты в этой точке обраща-

135

Решение. f (z) – сложная функция, в которой внешняя функция sin z аналитична во всех точках комплексной плоскости. Поэтому

отсутствии предела, когда выражение под знаком синуса обращается в бесконечность (достаточно представить синус по формуле

136

венно особой. Следовательно, она является таковой и для функции

венно особые точки; z = 0 – точка, предельная для существенно особых точек, z =∞ – существенно особая точка.

Пример 9.16 ([3], № 4.59–4.68). Исследовать поведение каждой из однозначных ветвей заданной многозначной функции в указанных точках (определить, является ли точка правильной для соответствующей ветви или особой, в последнем случае указать характер особенности).

Решение.

137

f (z) = cos11−− zz , находим, что для той ветви функции, для кото-

рой 1 =1 , точка z = 1 является правильной, а для которой 1 = −1 эта точка является существенно особой.

ции, для которой 4 = 2 , знаменатель обращается в нуль только за

= 4 в ноль не обращается. Поэтому точка z = 4 – полюс первого порядка. Для той ветви функции, для которой 4 = −2 , sin(2 − z ) в ноль не обращается, но обращается в 0 множитель в знаменателе

138

z = (1 + π1k )2 – полюсы первого порядка для этой ветви.

±2,..., и z = ∞ . Для нахождения особых точек приравняем знаме-

дущем примере, приходим к выводу, что для той ветви, для которой 1 =1, z = ∞ - правильная точка, а для которой 1 = −1 – существенно особая.

139

этой точке отлична от нуля. Поэтому точка z = 1 – полюс первого порядка для всех ветвей.

z = 1 – полюс первого порядка. Для k нечетных – правильная точка.

Рекомендуемый перечень задач для решения в аудитории:

9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.6, 9.7, 9.8, 9.10, 9.12, 9.13, [3] № 4.38, 4.39, 4.40, 4.45.

Резерв:

9.5; 9.9; 9.11; 9.14 ([3], № 4.33, 4.54).

Для самостоятельной работы дома:

[3] № 4.24 , 4.26, 4.29, 4.31, 4.32, 4.37, 4.41, 4.42, 4.43, 4.52.

Дополнительные (на усмотрение преподавателя): [3] № 4.46, 4.48, 4.56, 4.58.

140