5. Закон больших чисел

Говорят, что для последовательности случайных величин f ng с математическими ожиданиями

E i = ai; ai < 1

выполняется закон больших чисел, åñëè

nn

PP

Согласно определению сходимости по вероятности, это означает, что для любого " > 0

Закон больших чисел в форме Чебыш¼ва. Åñëè 1; 2; : : : последователь-

ность независимых случайных величин, дисперсии которых ограничены в совокупности:

i2 6 C = const; i = 1; 2; : : : ;

то для нее выполняется закон больших чисел:

nn

PP

Закон больших чисел в форме Бернулли. Пусть осуществляется серия из n

независимых опытов, проводимых по схеме Бернулли с параметром p. Пусть m число успехов, m=n частота успехов в данной серии испытаний. Тогда

m p

n ! p:

Пусть осуществляется серия из n независимых опытов, причем вероятность успеха в k-м опыте равна pk. Пусть m число успехов, m=n частота успехов в данной серии испытаний. Тогда

Закон больших чисел в форме Хинчина. Пусть 1; 2; : : : последователь-

ность независимых одинаково распределенных случайных величин с E n = a. Тогда

25

5. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Закон больших чисел в форме Маркова. Пусть последовательность слу-

чайных величин 1; 2; : : : такова, что

Пример 22. Исследовать, подчиняется ли закону больших чисел последовательность независимых случайных величин 1; 2; : : :, заданных законами распределения

J Найдем математическое ожидание случайной величины n.

pp

D n = E n2 (E n)2 = 2:

Иными словами, дисперсии всех случайных величин n ограничены константой C = 2, следовательно заданная последовательность подчиняется закону больших чисел в форме Чебыш¼ва. I

Дана последовательность независимых случайных величин f ng, имеющих распределение Симпсона:

:

Применим ли к ней закон больших чисел?

26

5. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

J Проверим, применим ли к данной последовательности закон боль-

ших чисел в форме Маркова.

Найдем дисперсию D n, вычислив E n2 è (E n)2.

следовательно, к заданной последовательности случайных величин применим закон больших чисел в форме Маркова. I

Пример 24. Исследовать, подчиняется ли закону больших чисел последовательность независимых случайных величин 1; 2; : : : ; заданных законом распределения Бернулли с параметром p = 0; 5.

J Из условия задачи следует, что данные случайные величины независимы и одинаково распределены, откуда

1

E i = 2; i = 1; 2; : : :

27

5. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Тогда справедлив закон больших чисел в форме Хинчина. I

Пример 25. Пусть дана последоватеë1ьность независимых случайных

Q

J

Рассмотрим последовательность случайных величин

Ê fln ng применим ЗБЧ в форме Хинчина, то есть

nn

p

Íî åñëè ln n ! 0, то по теореме о непрерывных функциях

p

n ! 1: I

Задачи

77.Исследовать, подчиняется ли закону больших чисел последовательность независимых случайных величин 1; 2; : : :, заданных закона-

ми распределения

28

5. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

78.Исследовать, подчиняется ли закону больших чисел последовательность независимых случайных величин 1; 2; : : :, заданных закона-

ми распределения

79. Исследовать, подчиняется ли закону больших чисел последовательность независимых случайных величин 1; 2; : : :, заданных законами распределения

80. Исследовать, подчиняется ли закону больших чисел последовательность независимых случайных величин 1; 2; : : :, заданных закона-

81. Исследовать, подчиняется ли закону больших чисел последовательность независимых случайных величин 1; 2; : : :, заданных закона-

82. Исследовать, подчиняется ли закону больших чисел последовательность независимых случайных величин 1; 2; : : :, заданных законами распределения

83. Исследовать, подчиняется ли закону больших чисел последовательность независимых случайных величин 1; 2; : : :, заданных закона-

84. Дана последовательность независимых случайных величин f ng, равномерно распределенных:

29

5. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

à) íà [a; b],

жительные постоянные.

Применим ли к ней закон больших чисел?

85.Доказать, что закон больших чисел выполняется для последовательности независимых случайных величин, имеющих равномерно ограниченные дисперсии.

86.Доказать, что закон больших чисел выполняется для последовательности независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии при выполнении условия

.

87. Доказать, что закон больших чисел выполняется для последовательности случайных величин при выполнении условия

88. Доказать, что закон больших чисел выполняется для последовательности случайных величин с неположительными ковариациями при выполнении условия

.

89. Дана последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин f ng. Доказать, что последовательность случай-

ных величин

1 + 2 + : : : + n

n = 12 + 22 + : : : + n2

сходится по вероятности, и найти предел.

30