Оглавление

1

1. Производящие функции

Производящей функцией случайной величины , принимающей целые неотрицательные значения, называется функция комплексного аргумента z

Свойства производящей функции

1.(1) = 1:

Пусть f ng последовательность независимых одинаково распределенных целочисленных случайных величин, принимающих целые неотрицательные значения с производящей функцией , и независимая от них целочисленная случайная величина с

производящей функцией . Определим сумму случайного числа случайных величин равенствами

= ( ):

Распределение вероятностей с функцией распределения F (x) называется безгранично делимым 1, если для любого целого положительного n существует функция распределения Fn(x), такая, что

F () = Fn(x) : : : Fn(x) :

0) > 0; имела безгранично делимое распределение, необходимо и достаточно, чтобы ее производящая функция допускала представление

(z) = e (h(z) 1);

1Знак в этом определении означает св¼ртку функций распределений.

2

1. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ

ãäå h(z) производящая функция некоторой целочисленной неотрицательной случайной величины, а положительное число.

Пусть неотрицательная целочисленная случайная вели- чина с производящей функцией (t). Найти производящие функции слу- чайных величин + n и n (n целое неотрицательное число).

J Пользуясь определением производящей функции и свойствами математического ожидания, получаем:

def +n n n n

+n(z) = E z = E z z = z E z = z (z):

def n n n

n(z) = E z = E z = (z ): I

Пример 2. Найти математическое ожидание случайной величины по ее производящей функции

J Пользуясь свойством 5 производящей функции, найдем математи- ческое ожидание случайной величины , для чего вычислим производную

Учитывая тот факт, что 1 q = p, легко получить:

Замечание. Сравнивая полученное значение E со значениями мате-

матических ожиданий распределений из таблицы ?? Приложения, видим, что полученный результат совпадает с математическим ожиданием геометрического распределения. Однако из этого еще нельзя сделать вывод, что производящая функция (*) соответствует геометрическому распределению.

I

3

1. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ

J Разложим производящую функцию в ряд Маклорена:

Сравнивая полученное разложение с определением производящей функции

1

X

(z) = zkP( = k);

k=0

и используя единственность разложения в ряд Маклорена, видим, что

P( = k) = pk = pqk;

и это действительно геометрическое распределение.

Пример 4. Найти производящую функцию распределения Пуассона.

J Напомним, что распределение Пуассона задает вероятность исхода= k следующим образом:

P( = k) = pk = k e : k!

Воспользуемся определением производящей функции (1):

Из курса математического анализа известно разложение

Пример 5. Пусть и случайные величины, причем принимает значения 0, 1 с вероятностями 0,3; 0,7, а значения 0, 1, 2 с вероят-

ностями 0,25; 0,5; 0,25 соответственно. Существует ли случайная величина , не зависящая от ; не зависящая от , и такая, что + = ?

4

1. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ

J По свойству 4

(z) = (z) (z):

(z) = 0; 25 + 0; 5z + 0; 25z2; (z) = 0; 3 + 0; 7z:

0; 25 + 0; 5z + 0; 25z2 = (0; 3 + 0; 7z)P1(z);

ãäå P1(z) некоторый многочлен первой степени (производящая функция(z)). Но правая часть уравнения имеет корень z0 = 3=7, а левая часть обращается в ноль только при z1 = 1; поэтому такого многочлена не существует, а значит, не существует случайной величины , удовлетворяющей

условиям.I

Пример 6. Неотрицательная целочисленная случайная величина име-

ет производящую функцию (z). Выразить через (z) следующий ряд:

1

P znP( > n).

n=0

J Для экономии записи будем обозначать P( = k) = pk: Выпишем несколько первых членов суммы

1

X

znP( > n) = z0P( > 0) + z (p1 + p2 + : : :) + z2(p2 + p3 + : : :) + : : :

n=0

Поскольку неотрицательная целочисленная величина,

P( > 0) = 1;

следовательно,

1

X

znP( > n) = 1 + z (p1 + p2 + : : :) + z2(p2 + p3 + : : :) + : : :

n=0

Выразим суммы, стоящие в скобках, через обратные вероятности:

p1 + p2 + : : : = 1 p0;

p2 + p3 + : : : = 1 p0 p1;

p3 + p4 + : : : = 1 p0 p1 p2;

: : :

и раскроем скобки:

1

X

znP( > n) = 1 + z zp0 + z2 z2p0 z2p1+

n=0

+ z3 z3p0 z3p1 z3p2 + : : :

5

1. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

1

X

znP( > n) = (1 + z + z2 + : : :) zp0(1 + z + z2 + : : :)

n=0

z2p1(1 + z + z2 + : : :) + : : :

Из определения производяшей функции известно, что jzj 6 1, следовательно, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

1 + z + z2 + : : : = 1 1 z :

Тогда

1

XznP( > n) = 1 1 z 1 1 z zp0 1 1 z z2p1 1 1 z z3p2 + : : :

n=0

Вынесем общий множитель 1=(1 z) за скобки и объединим все члены ряда, начиная со второго:

Во внутренней скобке получили непосредственно функцию (z). Таким образом,

Пример 7. Найти производящую функцию суммы случайного числа слу- чайных величин

= 1 + 2 + : : : ;

åñëè i; 8 i распределены по закону Пуассона с параметром и независимы, а имеет биномиальное распределение B(N; p).

J Производящая функция распределения Пуассона: (z) = e (z 1), произ- водящая функция биномиального распределения: (z) = (q + pz)N : Тогда

= ( ) = (q + pe (z 1))N : I

Задачи

1.Доказать свойства 1, 2, 3 производящей функции:

6

1. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ

2.Являются ли производящими функции

Если да, то какие распределения им соответствуют?

5. Найти распределения, которым соответствуют следующие производящие функции:

(1 + z)2

à) 4 ;

á) e (z 1); > 0;

â) (p + qz)n:

6. Доказать, что E = 0(1).

7.Производящая функция суммы двух случайных величин равна произведению производящих функций слагаемых. Можно ли утверждать, что слагаемые независимы?

8.При каких значениях параметров дробно-линейная функция

(z) =

az

1 + bz

является производящей функцией вероятностного распределения?

9. Пусть и независимые случайные величины, причем принимает значения 0 и 1 с вероятностями 1/2 каждое, a значения 0,

1, 2 с вероятностями 1/8, 1/2 и 3/8 соответственно. Найдите с помощью производящих функций распределение случайной величины = + .

10. Пусть и случайные величины, причем принимает зна- чения 0 и 1 с вероятностями 1/2 каждое, a значения 0, 1, 2, 3

с вероятностями 1/8, 1/4, 1/2 и 1/8 соответственно. Доказать, что не существует случайной величины , не зависящей от и такой, что

+ = :

7

1. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ

11.Пусть и случайные величины, причем принимает зна- чения 0, 1, 2 с вероятностями 0,5; 0,25; 0,25; а значения 0, 1, 2, 3, 4

ñвероятностями 0,6; 0,1; 0,1; 0,1; 0,1 соответственно. Существует ли случайная величина , не зависящая от ; не зависящая от , и такая,

÷òî + = ?

12. Пусть и независимые случайные величины, причем +

принимает значения 0, 1, 2 с вероятностями 1/3 каждое. Доказать, что одна из величин ; имеет вырожденное распределение.

В задачах 13 15 неотрицательная целочисленная случайная величи- на имеет производящую функцию (z). Выразить через (z):

13. E z2 +1.

1

14. P znP( 6 n).

n=0

1

15. P znP( = 2n).

n=0

16.Пусть имеет геометрическое распределение. Найти производящую функцию случайной величины = max(N; ); N 2 Z+ [ f0g:

17.Найти математическое ожидание и дисперсию по производящей функции (z) = 0; 2(1 0; 8z) 1.

18.Найти факториальный момент второго порядка по производящей функции (z) = (0; 7 + 0; 3z)5:

19.Доказать, что распределение Пуассона является безгранично

делимым.

20.Является ли безгранично делимым отрицательное биномиальное распределение?

8