3. Неравенства

Неравенство Маркова. Для любой случайной величины и для любых k >

0; " > 0

Неравенство Чебышева. Для любой случайной величины и для любого " > 0

D

P(j E j > ") 6 "2 :

Неравенство Иенсена. Пусть (x) числовая выпуклая книзу функция. Если существуют E è E ( ), òî

(E ) 6 E ( ):

Неравенство Ляпунова. Пусть 0 < 6 и существует E . Тогда

(E j j )1= 6 E j j 1= :

Неравенство Коши Буняковского Шварца.

q

E j 1 2j 6 E 12 E 22:

Неравенство Гельдера Минковского.

Ïðè > 1; > 1; 1 + 1 = 1

E j 1 2j 6 (E j 1j )1= E j 2j 1= :

Пример 13. Доказать, что если для случайной величины существует

E e ; > 0, òî

p( > ") 6 e " E e :

J Математическое ожидание

+1

Z

E e def= e dF (x):

1

Поскольку e положительная функция,

+1

ZZ

14

3. НЕРАВЕНСТВА

Поскольку e неубывающая функция,

Полученный интеграл Лебега Стилтьеса есть вероятность того, что> " или, в символической записи:

Итак, мы доказали неравенство

e"P( > ") 6 E e

èëè, ÷òî òî æå,

P( > ") 6 e " E e : I

Пример 14. Пусть такова, что P(0 < < 1) = 1. Доказать, что

D < E :

J По определению дисперсия случайной величины есть

D = E 2 (E )2:

Очевидно, что

E 2 (E )2 6 E 2:

Поскольку 0 < < 1, а математическое ожидание сохраняет неравенства, то E < 1; E 2 < E , следовательно,

D 6 E 2 < E ;

что и требовалось доказать. I

Пример 15. Пусть ; независимые случайные величины, имеющие конечные дисперсии. Доказать, что

D > D D :

J Пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии для случая независимых случайных величин, заключаем, что

D = E( )2 (E )2 = E 2 E 2 (E )2 (E )2:

15

3. НЕРАВЕНСТВА

С другой стороны,

D D = E 2 (E )2 E 2 (E )2 :

Раскроем скобки.

E 2 (E )2 E 2 (E )2 =

= E 2 E 2 E 2(E )2 (E )2 E 2 + (E )2(E )2:

Тогда, вычитая D D из D( ), получим:

D( ) D D = (E )2 E 2 + E 2(E )2 2(E )2(E 2):

Оценим это выражение снизу:

(E )2 E 2 + E 2(E )2 2(E )2(E 2) > (E )2 E 2 + E 2(E )2 >

. .

> E 2 > (E )2; E 2 > (E )2 > (E )2(E )2 + (E )2(E )2 > 0:

Èòàê, D( ) D D > 0 èëè, ÷òî òî æå,

D( ) > D D : I

Пример 16. Пусть имеет симметричное относительно нуля распределение. Доказать, что

E j + aj > E j j:

J Доказательство будем вести от противного утверждения:

E j + aj < E j j

Положим b = a, b > 0.

По определению математического ожидания

+1

Z

E j bj = jx bj dF (x);

1

+1

16

3. НЕРАВЕНСТВА

Перепишем исходное неравенство:

После переноса слагаемых имеем

bb

ZZ

b dF (x) < x dF (x);

0 0

то есть x > b, а это невозможно, следовательно,

E j + aj < E j j:

Пример 17. Среднее потребление энергии за месяц равно 360 000 кВт ч.

Оценить вероятность того, что среднее потребление энергии за месяц превзойдет 1 000 000 кВт ч.

J Проинтерпретируем условие задачи.

Пусть потребление электроэнергии в день,

E среднее потребление электроэнергии за месяц,

"величина, которую должно превзойти E .

Âусловиях задачи E = 360 000, а " = 1 000 000.

Согласно неравенству Маркова при k = 1

Задачи

40.Доказать, что если для случайной величины существует E 2 ,

òî

E 2 p( > ") 6 2" :

17

3. НЕРАВЕНСТВА

41.Доказать, что если '(x) неотрицательная неубывающая функция и для случайной величины '( ) существует E '( ), то для всех

"> 0

p( > ") 6 E '( ): '(")

42.Пусть ' (x) числовая выпуклая книзу функция. Доказать, что если существуют E и E ' ( ), то ' (E ) 6 E ' ( ):

43.Пусть неотрицательная целочисленная случайная величина

ñконечным математическим ожиданием. Доказать, что

1

X

E = P( > i):

i=1

44. Пусть ; независимые случайные величины, принимающие целые неотрицательные значения и E < 1. Доказать, что

1

X

E minf ; g = P( > i)P( > i):

i=1

45. Пусть неотрицательная случайная величина с конечным математическим ожиданием. Доказать, что

46. Пусть ; имеют конечные дисперсии. Доказать, что

p p 2 p p 2

D D 6 D( + ) 6 D + D :

47. Пусть ; таковы, что для любого a

E j + ajb 6 E j + ajb;

и пусть не зависит от ; . Доказать, что

E j + jb 6 E j + jb:

48. Доказать, что (E j jr)1=r неубывающая функция от r.

18

3. НЕРАВЕНСТВА

49.Случайные величины 1; 2 имеют пуассоновское распределение

ñпараметрами 1; 2 соответственно, причем 1 6 2. Доказать, что для любого t > 0

P ( 1 6 t) > P ( 2 6 t):

50.Урна содержит N1 белых и N2 черных шаров. При случайном выборе двух шаров вероятность того, что они оба белые, равна 1/2. Каково минимальное значение N1?

51.Решить предыдущую задачу при дополнительном условии, что N2 четно.

52.В условиях задач 50 è 51 каково минимальное возможное зна- чение N1 + N2?

53.Показать, что интеграл

1

Z

jx mjf(x)dx;

1

где f(x) плотность распределения, достигает минимума, когда m медиана распределения с плотностью f(x).

54.Средняя норма осадков за месяц равна a. Оценить вероятность того, что осадки за месяц превзойдут b, если среднее квадратичное отклонение равно .

55.Среднее значение длины детали равно 90, а дисперсия длины равна 0,0225. Используя неравенство Чебыш¼ва, оценить вероятность того, что отклонение длины детали от ее среднего значения по абсолютной величине не превзойдет 0,4.

56.В условиях предыдущей задачи оценить вероятность того, что длина изделия выразится числом, заключенным между 89,7 и 90,3 см.

57.Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,05. Используя неравенство Чебыш¼ва, оценить вероятность того, что число отказавших элементов отклонится от своего математического ожидания не больше, чем на 2.

19