4. СХОДИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

4. Cходимость случайных величин

p

Последовательность f ng сходится по вероятности ê ( n ! ), если для любого " > 0

lim P(j n j > ") = 0:

n!1

Пусть '(x) непрерывная функция. Тогда, если последовательность f ng сходится по вероятности к , то и последовательность f'( n)g сходится по вероятности к

'( ):

p p

n ! ) '( n) ! '( ):

Пусть '(x) непрерывная ограниченная функция. Тогда из сходимости по вероятности f ng следует сходимость их математических ожиданий:

В случае p = 2 говорят о сходимости в среднем квадратичном и обозначают ее

ñ.ê. : n !

d

Последовательность f ng сходится по распределению ê ( n ! ), åñëè F n(x) ! F (x) во всех точках непрерывности F (x), ãäå F n(x) функция распределения случайной величины n; F (x) функция распределения случайной величины

.

Между рассмотренными видами сходимости существуют следующие соотноше-

Из сходимости последовательности случайных величин к константе по распределению следует сходимость к этой же константе по вероятности:

d p

n ! c ) n ! c; c = const:

Пример 18. Исследовать последовательность независимых случайных величин f ng на cходимость по вероятности. Случайные величины n çà- даны законом распределения:

20

4. СХОДИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

J Предположим, что предельная случайная величина 1 (в данном слу-

чае мы предположили это, рассматривая предельный закон распределенияn. Теперь надо доказать наше предположение).

P(j n j > ") = P(j n 1j > ") = P( n = 1 èëè n = 0) =

= n1 + n1 = n2 ! 0 ïðè n ! 1:

Следовательно,

p

n ! 1: I

Пример 19. Случайные величины n заданы законом распределения:

J В этом случае попытка рассмотреть предельный закон распределения n ничего не дает. Будем исследовать самую слабую сходимость сходимость по распределению.

Предельная функция не является функцией распределения, так как нарушается свойство F (x) ! 1 при x ! 1. Поэтому сходимости по распреде-

лению нет, следовательно, нет никакой более сильной сходимости. I

!1

Рассмотрим

ja n + b n a + b j = ja( n ) + b( n )j:

21

4. СХОДИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Учитывая сходимость по вероятности n è n, получаем:

P(jan + bn a + bj > ") ! 0;

n!1

p

òî åñòü an + bn ! a + b : что и требовалось доказать. I

Пример 21. Доказать, что условие

p

n = sup j m j ! 0

m>n

влечет за собой сходимость n к почти наверное.

J Поскольку последовательность f ng убывающая и сходится к некоторой величине , то

\

P(j j > ") = P (j nj > ")

и по свойству непрерывности

По условию

p

n ! 0 lim P(j nj > ") = 0:

n!1

P( lim n = ) = 1.I

n!1

Задачи

58.Исследовать последовательность независимых случайных вели- чин f ng, заданных законами распределения, на cходимость по вероятно-

22

4. СХОДИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

59. Исследовать последовательность независимых случайных вели- чин f ng, заданных законами распределения, на cходимость в среднем.

60. Исследовать последовательность независимых случайных вели- чин f ng, заданных законами распределения, на cходимость по распреде-

P1 1 2 1 n n n

61.Исследовать последовательность независимых случайных вели- чин f ng, заданных законами распределения, на cходимость по вероятно-

сти и cходимость в среднем.

62. Исследовать последовательность независимых случайных вели- чин f ng, заданных законами распределения, на cходимость по вероятности и cходимость по распределению.

63. Исследовать последовательность независимых случайных вели- чин f ng, заданных законами распределения, на cходимость по вероятности, cходимость в среднем, cходимость по распределению.

64. Сходится ли последовательность a) в среднем; b) по вероятности; c) по распределению?

pp

65.Пусть n ! a, n ! b. Доказать, что

p

n + n ! a + b:

23

4. СХОДИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

66.Доказать, что для дискретного вероятностного пространства из сходимости в среднем следует cходимость почти наверное.

67.Доказать, что для дискретного вероятностного пространства cходимость почти наверное совпадает со cходимостью по вероятности.

68.Показать, что в общем случае из сходимости в среднем не следует cходимость почти наверное.

69.Показать, что в общем случае из сходимости почти наверное не следует cходимость в среднем.

74. Дана последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин f ng. Может ли она сходиться по вероятности, в среднем, почти наверное, по распределению?

75. Доказать, что из сходимости в среднем какого-либо положительного порядка следует cходимость по вероятности, но обратное, вообще говоря, неверно.

76. Доказать, что если f непрерывная функция, то

d d

n ! ) f( n) ! f( ):

24