сле этого необходимо выбрать метод построения искомой линии пересечения,

определить характерные точки и построить промежуточные.

Если одной из поверхностей является многогранник, то сначала следует построить и соединить точки в одной грани, затем в другой и т.д. Если обе за-

данные поверхности проецирующие или линия их пересечения строится по теореме Монжа, то задачу необходимо решить в трех проекциях.

Приступать к заданию следует после тщательного изучения теоретиче-

ского материала и ответа на контрольные вопросы.

3. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Построить линию пересечения двух поверхностей - это значит построить линию, все точки которой принадлежат одновременно каждой из заданных по-

верхностей. Задача решается методом вспомогательных секущих поверхностей.

3.1. Алгоритм решения

Пусть заданы две поверхности φ и Ψ, условно показанные на рис. 1. Тре-

буется построить линию их пересечения в следующей последовательности:

1.Проводим вспомогательную секущую поверхность ω так, чтобы она пересекла каждую из заданных поверхностей по простейшей линии.

2.Строим линии пересечения вспомогательной поверхности с каждой из заданных поверхностей:ω∩φ=m, ω∩Ψ=n. Одну из этих линий достаточно по-

строить только в одной проекции.

4

Рис. 1

3.Отмечаем точки пересечения построенных линий: m∩n=K,L. Они при-

надлежат каждой из заданных поверхностей, следовательно, и линии их пере-

сечения.

4. Выбираем еще одну вспомогательную поверхность и снова выполняем все предыдущие построения. Процесс этот продолжаем до тех пор, пока не по-

лучим достаточное количество точек, принадлежащих искомой линии пересе-

чения поверхностей.

5.Определяем видимость точек и последовательно соединяем их с учетом видимости.

6.Определяем видимость очерков и очерковых образующих заданных поверхностей и обводим их до точек пересечения с другой поверхностью.

В качестве вспомогательных секущих поверхностей можно использовать плоскости, сферы, цилиндрические и конические поверхности, эллипсоиды, па-

раболоиды и другие поверхности вращения.

Для того чтобы правильно соединить построенные точки, необходимо представить, какой вид должна иметь искомая линия. Ее характер зависит от характера пересекающихся поверхностей. Разобьем пары поверхностей на три группы.

5

1.Пересекаются два многогранника. В общем случае получается про-

странственная замкнутая ломаная линия, состоящая из отрезков прямых.

В частном случае она может распадаться на плоские многоугольники.

2. Пересекаются многогранник и криволинейная поверхность второго по-

рядка. В общем случае получается пространственная замкнутая ломаная линия,

состоящая из дуг кривых второго порядка. В частном случае она может распа-

даться на плоские кривые или отрезки прямых линий.

3. Пересекаются две криволинейные поверхности. В общем случае полу-

чается пространственная кривая, порядок которой равен произведению поряд-

ков пересекающихся поверхностей. Так, две поверхности второго порядка пе-

ресекаются по кривым четвертого порядка. В частном случае она может распа-

даться на плоские кривые второго порядка.

Начинать построение линии пересечения поверхностей необходимо с на-

хождения характерных точек, т.е. точек, лежащих на ребрах, очерках и очерко-

вых образующих, высшей и низшей, крайних правой и левой.

3.2. Метод вспомогательных плоскостей

Вспомогательные секущие плоскости применяются в следующих случа-

ях:

1)хотя бы одна из заданных поверхностей является многогранником;

2)заданы две криволинейные поверхности, которые можно рассечь од-

новременно по простейшим линиям некоторой совокупностью проецирующих

плоскостей.

Пример 1. Построить линию пересечения поверхностей конуса и сферы

(рис. 2).

6

Вспомогательные секущие плоскости выбираем параллельно основанию

конуса. Обе поверхности пересекаются секущими плоскостями по окружно-

стям, параллельным π2.

Рис. 2

7

Определяем характерные точки. Очерк сферы и очерковая образующая конуса первого поля лежат в одной плоскости Σ, являющейся плоскостью сим-

метрии поверхностей. Следовательно, точки А1, В1 их пересечения будут не только точками видимости, но и высшей и низшей точками. Точки видимости

С2 и С2′ определены при помощи плоскости β, проходящей через центр сферы.

Она пересекает сферу по очерку q, конус – по окружности n. В первом поле n1≡q1≡β1, во втором n2∩q2=С2,С2′. Промежуточные точки определены при по-

мощи плоскостей α, γ, δ, τ. В первом поле проекции сечений совпадают со сле-

дом плоскости. Во втором поле это две окружности, которые, пересекаясь, да-

ют точки, принадлежащие искомой линии.

Соединив последовательно построенные точки, получим кривую четвер-

того порядка, по которой пересекаются конус и сфера.

Определяем видимость участков построенной линии. Так как плоскость симметрии Σ параллельна π1, то в первом поле невидимая и видимая ветви про-

екции линии пересечения совпадают. Во втором поле видимость линии зависит только от сферы, поскольку в отсутствие сферы поверхность конуса при взгля-

де сверху полностью видима. Следовательно, участок, расположенный на верх-

ней половине сферы от А2 до С2 и С2′, видим.

Очерки поверхностей в первом поле обводим только до точек их пересе-

чения А1, В1. Во втором – очерк q2 обводим до С2 и С2′. Основание конуса в пе-

ресечении не участвует, но перекрывается сферой. Поэтому его участки, закры-

тые сферой, показываем штриховой линией.

Решение задачи значительно упрощается, если одна из поверхностей за-

нимает проецирующее положение. Одна из проекций искомой линии совпадает с основанием проецирующей поверхности. Это будет та его часть, которая рас-

положена в пределах изображения другой поверхности. Задача сводится к по-

строению совокупности недостающих проекций точек, лежащих на второй по-

верхности.

8

Пример 2. Построить линию пересечения призмы с цилиндром (рис. 3).

Задан многогранник и криволинейная поверхность. Линия их пересечения будет состоять из дуг кривых второго порядка. Поскольку призма проецирую-

щая, то горизонтальная проекция искомой линии пересечения уже есть. Она попадает на часть основания призмы, расположенную в пределах изображения цилиндра. Построим фронтальную проекцию этой линии. В качестве секущих выбираем горизонтально проецирующие плоскости, параллельные образующим цилиндра.

Рис. 3

9

Начинаем с грани АС. В плоскости π2 отмечаем характерные точки С2, F2, M2, и находим соответственные им фронтальные проекции C1, F1, M1. Посколь-

ку очерковая образующая цилиндра а1 и ребро призмы с1 расположены в од-

ной плоскости α, то они пересекаются: а1∩с1=С1; F1 лежит на основании, а М1

– на оси цилиндра. При помощи плоскости δ находим две промежуточные точ-

ки. Соединив последовательно все точки этой грани, получаем дугу эллипса.

Так как она находится в видимой грани АС и на видимой части цилиндра, то

дуга полностью видима.

Переходим в грань ВС. Характерные точки – С2, В2, К2. Точка К1 лежит на основании цилиндра. Проекции В1 и В1′ определены при помощи плоскости β,

проведённой через ребро b призмы и пересекающей цилиндр по образующей l:

В1=l1∩b1, B1′=l1′∩b1. Промежуточные точки находим при помощи плоскости γ.

Линия пересечения состоит из двух дуг эллипса. Грань ВС невидима. Поэтому построенные в ней дуги эллипса невидимы.

В грани АВ характерными являются точки B2, D2, E2. Проекции B1 и В1′

были построены ранее, D1 и D1′ лежат на очерковых цилиндра, Е1 – на его оси.

Промежуточные точки найдены при помощи вспомогательных плоскостей δ и γ. На π1 точки D 1 и D1′ являются точками видимости и отделяют видимую часть дуги эллипса от невидимой. Часть эллипса, расположенная на π2 ниже оси ци-

линдра, в первом поле видима.

Построив дуги эллипсов в каждой грани, получаем пространственную замкнутую ломаную линию. Решение задачи завершаем обводкой ребер призмы и образующих цилиндра до пересечения с другой поверхностью с учетом ви-

димости их участков.

10

3.3. Метод вспомог ательных сфер

В основу построения линии пересечения поверхностей способом вспомо-

гательных сфер положено свойство соосных поверхностей в ращения (т.е. по-

верхностей с общей осью).

Соосные поверхно сти вращения пересекаются по ок ружности, лежа-

щей в плоскости, перпендикулярной их общей оси (рис. 4). Если общая ось по-

верхностей вращения параллельна какой-либо плоскости про екций, то окруж-

ность проецируется на эт у плоскость в виде отрезка прямо й, соединяющего точки пересечения очерковых линий поверхностей.

Рис. 4

Построить линию пересечения поверхностей с помощью вспомогатель-

ных секущих сфер можно двумя способами. В одном из них п ользуются сфера-

ми, проведенными из общего для всех сфер центра, а в другом – сферами, про-

веденными из разных цент ров. В первом случае имеем способ концентрических сфер, во втором – способ эксцентрических сфер.

Способ концентрических сфер применяется в следующ их случаях:

1)заданы две поверх ности вращения;

2)оси поверхностей пересекаются;

11

3) плоскость осей параллельна одной из плоскостей проекций.

Пример 3. Построить линию пересечения конуса с цилиндром (рис. 5).

Имеем две поверхности вращения с пересекающимися осями i и j, лежа-

щими в плоскости Σ║π1. Следовательно, можно использовать вспомогательные концентрические сферы. Они проводятся в том поле, которому параллельна плоскость осей. Каждая сфера пересечет поверхности по окружностям, проеци-

рующимся на π1 в виде хорд, перпендикулярных осям конуса и цилиндра. При этом проводятся те проекции окружностей, которые расположены в пределах изображения другой поверхности.

12

Рис. 5

Определим центр сфер. Поскольку они должны быть соосны с каждой из заданных поверхностей, то центр О1 сфер находится в точке пересечения осей конуса и цилиндра.

Очерковые образующие первых проекций конуса и цилиндра лежат в од-

ной плоскости Σ. Следовательно, точки A1, B1, С1, D1 их пересечения принадле-

жат искомой линии. A2, B2, C2, D2 Σ2.

13

Определим максимальный и минимальный радиусы сфер. Очевидно,

очерк сферы радиусом Rmax пройдет через самую удаленную от О1 характерную точку А1. Очерк сферы радиусом rmin должен касаться очерковых образующих одной поверхности, пересекая одновременно очерковые другой поверхности.

Опустим из центра О1 перпендикуляры на очерковые образующие обеих по-

верхностей. Больший из этих перпендикуляров и будет rmin. Так как сфера кос-

нулась конуса, то конус шире цилиндра. Тогда цилиндр пройдет сквозь конус, и

в пересечении получатся две линии – линия входа цилиндра в конус и линия выхода его из конуса. А характерные точки E1 и F1, найденные при помощи сферы радиусом rmin, являются крайними правой и левой этих линий.

Проводя сферы радиусами rmin< R < Rmax, получим промежуточные точки искомых линий пересечения конуса и цилиндра. На рис. 5 использованы четыре промежуточные сферы.

Во второе поле точки искомых линий переносим через окружности кону-

са, по которым он пересекается со сферами. Но в первую очередь определим точки видимости К2, К2′, М2, М2′ на очерковых образующих с2 и d2 цилиндра. Их проекции в первом поле совпадают с осью цилиндра: с1≡d1≡j1. Отмечаем точки

К1 и М1 пересечения построенных линий с осью j1 и переносим их во второе по-

ле на с2 и d2. Видимость линии во втором поле зависит только от цилиндра, так как поверхность конуса при взгляде сверху в отсутствие цилиндра была бы полностью видна. Следовательно, на π2 участки линий, проходящие через В2 и

С2 между очерковыми цилиндра, будут видны.

В рассмотренном примере сфера с минимальным радиусом коснулась од-

ной заданной поверхности и пересекла одновременно другую поверхность. А

каков будет результат, если она коснется одновременно обеих поверхностей? Ответ на этот вопрос дает теорема Монжа.

Если две поверхности вращения описаны около третьей поверхности вращения или вписаны в нее, то линия их пересечения распадётся на две кривые

14

второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания (рис. 6).

Рис. 6

Через основания перпендикуляров, опущенных из центра сферы на очер-

ковые конуса и цилиндра, проведены линии касания поверхностей со сферой.

При их пересечении получены совпавшие характерные точки Е1≡F1, которые расположены на одной прямой с А1, С1 и В1, D1. Это проекции двух эллипсов, на которые распалась кривая четвёртого порядка.

Если оси поверхностей вращения пересекаются, но лежат в профильной плоскости, то либо проекции вспомогательных секущих сфер необходимо про-

водить в двух полях (и в π1, и в π2), либо выполнить сначала построения на до-

полнительной профильной проекции.

Пример 4. Построить линию пересечения конуса с тором (рис. 7).

Ось конуса i2π1, ось тора j2π2. Оси пересекаются, но лежат в плоскости

Σ2π3. Будем проводить вспомогательные сферы в двух проекциях.

Сначала определим, какая поверхность шире, чтобы выяснить вид иско-

мой линии. Построим сечение профильной плоскостью Σ. Если сечение тора

15

(окружность) пересекает о черковые конуса, то тор шире конуса и конус прой-

дет через тор (линия входа вверху, линия выхода внизу). Если же сечение тора

не пересечет очерковые к онуса, то конус шире тора и тор пройдет через конус

(линия входа слева, линия выхода справа). В нашем примере имеет место пер-

вый вариант.

Отмечаем характерные точки F3, Е3 и переносим их в первое поле. F1 –

низшая точка верхней ли нии, Е1 – высшая точка нижней линии. Общая плос-

кость симметрии α2π1, поэтому в первом поле очерковые лин ии пересекаются и дают характерные точки А1, В1, С1, D1. Итак, линия входа кону са в тор проходит через А1, F1 В1, , линия вых ода – через С1 Е1,D1. В этом случае будет по две сфе-

ры максимальным и мини мальным радиусом.

Рис. 7

16

Промежуточные точки верхней линии строим при помощи сфер радиуса-

ми R1, меньше радиуса верхнего очерка тора (R1max), но больше радиуса сферы,

пересекающей конус по окружности, проходящей через F1 (r1min). Центр сфер находится в точке О(О1, О2) пересечения осей тора и конуса. Проводим сферу 1

произвольным радиусом в указанных выше пределах в двух проекциях. С кону-

сом она пересекается по окружности m, лежащей в плоскости, перпендикуляр-

ной π1. Поэтому на π1 окружность проецируется в виде отрезка m1, соединяю-

щего точки пересечения очерков сферы и конуса. Ось тора параллельна π2. По-

этому окружности l и k, по которым сфера пересекается с тором, проецируются на π2 в виде отрезков l2 и k2, соединяющих точки пересечения очерка сферы с окружностями основания тора. Чтобы получить общие точки, одну из этих ок-

ружностей необходимо перенести в другое поле. На рис. 7 перенесена окруж-

ность m конуса. При пересечении m2 с l2 и k2 получаем четыре точки, принад-

лежащие искомой линии. По линиям связи переносим их на m1. Вследствие симметрии их проекции на π1 попарно совпадут. Выбираем еще несколько сфер и повторяем построения.

Для нижней линии используем сферы радиусами R2, меньше радиуса сферы, пересекающей тор по окружности, проходящей через Е1 (R2max), но больше радиуса нижнего очерка тора (r2min). Промежуточные точки нижней ли-

нии определены при помощи сферы 2.

Поскольку в первом поле ни одна из построенных линий не пересекла осевую линию тора, то во втором поле на его очерке характерных точек нет.

Обе линии там невидимы.

Способ эксцентрических сфер применяется в следующих случаях:

1) хотя бы одна из заданных поверхностей является поверхностью враще-

ния, а другая может пересекаться плоскостями по семейству окружностей; 2) обе поверхности имеют общую плоскость симметрии;

17

3) плоскость симметрии поверхностей параллельна одной из плоскостей проекций.

Сферы проводятся в том поле, которому параллельна плоскость симмет-

рии.

Пример 5. Построить линию пересечения поверхности тора с поверхно-

стью конуса (рис. 8).

Заданы две поверхности вращения, оси которых i и j не пересекаются и не лежат в одной плоскости: i π1, j π2, следовательно, использовать концентри-

ческие сферы в данном случае нельзя. Но расположение поверхностей таково,

что они имеют общую плоскость симметрии Σ, параллельную π1.Тор можно пе-

ресечь по семейству окружностей плоскостями, проходящими через его ось i.

Решаем задачу методом эксцентрических сфер.

Очерки a, b конуса и c тора лежат в плоскости симметрии Σ и потому пе-

ресекаются: a∩c = A; b∩c = B. Их проекции А1 и В1 являются характерными в первом поле. Они крайние и одновременно высшая и низшая точки искомой линии пересечения заданных поверхностей.

Построение сферами выполняем в плоскости π1. Для нахождения проме-

жуточных точек проводим через ось тора между А1 и В1 вспомогательную плос-

кость α. Она пересечет тор по окружности, проекция которой p1 совпадает со следом α1, заключенным между очерками тора. Теперь определим центр и ра-

диус сферы, пересекающей тор по этой окружности. Центр должен быть равно-

удален от концов отрезка р1. Геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка, является срединный перпендикуляр. Серединой отрезка р1 бу-

дет точка пересечения его с осью тора. Срединный перпендикуляр пойдет из этой точки по касательной к оси тора. Сфера должна быть соосна с конусом,

следовательно, центр сферы получится при пересечении срединного перпенди-

куляра с осью конуса. Радиус сферы равен расстоянию от найденного центра до точки пересечения α1 с очерком тора. Из полученного

18