fisika_samrab

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ОЦЕНКИ СЛУЧАЙНЫХ ОШИБОК ПРЯМОГО ИЗМЕРЕНИЯ

При измерении физических величин в тех случаях, когда основную роль играют случайные ошибки, все оценки точности измерения можно сделать только с некоторой вероятностью.

После представления результата измерения величины х в виде Х = х ср х

можно задать вопрос о вероятности попадания всех последующих измерений данной величины х в определенный нами интервал

х ср – х ≤ х ≤ х ср + х, так как случайные ошибки образуются в результате действия целого ряда причин, которые заранее учесть нельзя. Теория вероятностей дает возможность подсчитать, какова будет вероятность попадания измерений в найденный интервал.

Допустим, сделано n измерений какой-то физической величины. Все измерения проделаны одним и тем же методом.

Нормальный закон распределения ошибок (формула Гаусса) выводится из следующих предположений:

1.Ошибки измерения могут принимать непрерывный ряд значений.

2.При большом числе измерений ошибки одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто.

3.Частота появления ошибок уменьшается с увеличением величины ошибки, т.е. большие ошибки наблюдаются реже, чем малые.

Закон распределения ошибок описывается функцией:

Параметр 2 называется дисперсией измерений.

Форма кривых Гаусса для разных значений представлена на рисунке. Значение Y для данного х дает вероятность нахождения х в интервале

10

х ср – х ≤ х ≤ х ср + х .

Опытная проверка формулы Гаусса показала, что в области, где ошибки не слишком велики, она хорошо согласуется с экспериментом.

Существуют и другие типы распределения случайных величин, но все дальнейшие расчеты сделаны для случая нормального распределения, как наиболее распространенного.

Величину случайной ошибки оценивают следующим образом. Определяют среднее квадратическое отклонение результата отдельного наблюдения

Если число измерений велико, то Sх стремится к некоторой константе

σ im Sx .

n 0

Параметр называется средним квадратическим отклонением или средней квадратической ошибкой. Этот параметр характеризует разброс значений измеряемой величины относительно ее истинного значения: чем больше , тем больше этот разброс.

В действительности, так как число n – конечно, то мы определяем не, а приближенное ее значение Sx. Пусть Р означает вероятность того, что

х ср – х ≤ х ≤ х ср + х.

Вероятность Р носит название доверительной вероятности. Интервал от хср – х до хср + х называется доверительным интервалом. Естественно, величины доверительного интервала и доверительной вероятности взаимосвязаны, так как чем большей надежности мы потребуем (чем больше Р), тем больше и будет доверительный интервал, и наоборот, чем больший интервал мы зададим, тем больше будет вероятность того, что результаты попадут в этот интервал.

Вывод. Для характеристики величины случайной ошибки необходимо задать два числа, а именно, величину самой ошибки (доверительный интервал) и величину доверительной вероятности.

При обычных измерениях можно ограничиться доверительной вероятностью 0,95.

Величина Sx определяет границу случайной погрешности результата каждого отдельного наблюдения. Обычно важнее оценить погрешность среднего арифметического отдельных результатов. Отклонение среднего арифметического хср oт истинного значения Х характеризуется величиной Sх ср , называемой средним квадратическим отклонением среднего

11

арифметического:

Обычно число измерений одной величины невелико (от двух до пяти, не более). Величина же среднего квадратического отклонения Sxcp, вычисленная по формуле (3), совпадает с величиной лишь для большого числа измерений (n > 30). Поэтому для правильной оценки доверительного интервала вводится коэффициент Стьюдента t p, n

Значения коэффициентов Стьюдента для доверительной вероятности Р = 0,95 приведены в прил. I. При однократном измерении какой-либо величины, доверительный интервал х определяется погрешностью отсчитывания данного измерительного средства, т.е. величина х равна половине цены наименьшего деления шкалы прибора.

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ КОСВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ

Пусть некоторая величина y связана функциональной зависимостью с величинами x1, x2, …, xm, которые находят по результатам прямых измерений,

y = f (x1, x2, x3, …, x m).

Наиболее вероятным значением y следует считать величину

y cp = f (x1 cp, x2 cp, …, x m cp).

Оценив доверительные погрешности прямых измерений x1,

где ( n f ) – частная производная от n f по аргументу;x i

х i – доверительный интервал определения величины x i. Из (5) находим доверительный интервал для величины

y = y y cp.

12

Естественно, что все погрешности хi аргументов xi должны соответствовать одной и той же доверительной вероятности Р = 0,95, тогда окончательный результат косвенного измерения можно записать в виде

Такая запись означает, что истинное значение величины y с вероятностью Р = 0,95 заключено в пределах интервала y cp y.

ПРИМЕР. Определяется плотность тела правильной геометрической

где m – масса цилиндра, D – диаметр,

h – высота.

Все эти величины определяются в результате прямых измерений. Можно оценить погрешности m, D, h как доверительные погрешности прямых измерений.

Вывод формулы для расчета погрешности результата определения плотности.

Прологарифмируем расчетную формулу:

n ρ n 4 n m n π 2 n D n h.

Найдем частные производные от этого выражения по всем переменным:

13

СВОДКА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ И ПРАВИЛ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ

1.Для каждой из непосредственно измеряемых величин, входящих в расчетную формулу, вычислить:

1.1.среднее арифметическое *;

1.2.среднее квадратическое отклонение *:

где x i – результат i -го измерения, n – число измерений;

1.3. доверительный интервал:

x = t p, n S x cp,

где t p, n – коэффициент Стьюдента, соответствующий вероятности Р= 0,95. Определяется по таблице в прил. I.

2. Записать результат каждого прямого измерения в виде

3.Вычислить наиболее вероятное значение результата косвенного

измерения у ср по средним значениям результатов прямых измерений. Расчет искомой величины вести в Международной системе единиц

(СИ).

4.Получить выражение для относительной погрешности y косвенного измерения и найти ее числовое значение:

(Расчетную формулу предварительно логарифмируют).

5.Вычислить доверительную границу абсолютной погрешности косвенного измерения:

у = у у cp.

6. Записать окончательный результат измерения:

* Только для многократных измерений.

14

ПРИЛОЖЕНИЕ I

Коэффициенты Стьюдента t p, n для доверительной вероятности Р = 0,95

ПРИЛОЖЕНИЕ II

ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

Отчет оформляется на двойном тетрадном листе (чистовик). Hа первой странице студент записывает название и номер работы, номер группы, свою фамилию и фамилию преподавателя, дату выполнения работы. Далее дается:

1.Краткое описание физической сути явления, положенного в основу работы.

2.Описание метода.

3.Вывод рабочих формул.

4.Схема установки, которая используется для измерений.

5.Таблицы результатов измерений.

6.Расчет искомой величины.

7.Вывод формул для расчета погрешностей физических величин, определяемых в данной работе.

8.Расчет погрешностей.

9.Окончательный результат.

10.Выводы.

15