Совместное вычисление коэффициента корреляции и корреляционного отношения между взвешенными рядами

Совместное вычисление производят в случае, когда требуется дать количественную оценку степени криволинейности корреляционной связи, при этом определяют коэффициент детерминации r²и точки эмпирической линии (табл. 13).

Для вычисления в табл. 13 составляют корреляционную решетку, суммируют частоты по столбцам (n_x) и по строкам (n_у). Условные отклонения а_хи а_уберутся от начала рядов, начиная с 0. Далее в столбцах получают суммы произведений частот на соответствующие им условные отклонения у (для первого столбца: 1 · 4 + 1 · 3 + 1 · 2 + 2 · 1 + 2 · 0 = 11). Полученные суммы произведений ∑f·a_yвозводят в квадрат и делят на сумму частот в столбце: (∑f·a_y )·n_x =11²/7=17,29, и т.д.

Необходимо получить точки корреляционной связи (регрессии). Для этого вначале суммы произведений частот на а_уделят на соответствующие им в столбцахn_x: для первого столбца ∑f·a_y/n_x=11/7=1,57, и т.д.

Каждое из полученных значений умножают на величину классового интервала k (у насk= 1) и к каждому полученному значению прибавляют минимальное значение ряда У (в нашем примере оно равно 4): 1,57 · 1 + 4 = 5,57, и т.д.

Таблица 13

Расчет показателей для совместного вычисления коэффициента корреляции и корреляционного отношения

Х У	4	6	8	10	12	14	16	18	∑ny	ay	∑ny ay	∑ny a2y
12					1				1	8	8	64
11			1		1			1	3	7	21	147
10									—	6	0	0
9						2	1	1	4	5	20	100
8	1			2		1		1	5	4	20	80
7	1	1	2	3	1	6	1		15	3	45	135
6	1	6	8		6	4	2		27	2	54	108
5	2	6	2	1	4	3	2		20	1	20	20
4	2	6	3	5	5	3		1	25	0	0	0
∑nx	7	19	16	11	18	19	6	4	100		188	654
∑f·ay	11	21	31	18	34	43	14	16	188
(∑f·ay)2/nx	17,29	23,21	60,61	29,45	64,22	97,32	32,67	64,00	388,22
ax	0	1	2	3	4	5	6	7
(∑f·ay)/nx	1,57	1,11	1,94	1,64	1,89	2,26	2,33	4,00
y/x	5,57	5,11	5,94	5,64	5,89	6,26	6,33	8,00
∑nx·ax	0	19	32	33	72	95	36	28	315
∑nx·a2x	0	19	64	99	288	475	216	196	1357
∑ax(∑f·ay)	0	21	62	54	136	215	84	112	684

Здесь f– частота,n– сумма частот, а – условное отклонение,N– число наблюдений.

Полученные значения 5,57; 5,11; 5,94 и т.д.являются точками регрессии у/x(у по х). С использованием точек строится эмпирическая линия регрессии (рис.13 ).

Суммы частот в столбцах n_xумножают на условные отклонения:

7 · 0² + 19 · 1²+ 16 · 2² ...+ 4 · 7²= 315

Далее получают сумму n_x·a²_x:

7 · 0² + 19 · 1² + 16 · 2² +…+ 4 · 7² = 1357. Аналогично этим действиям получают суммыn_ya_y иn_ya²_y:

∑n_ya_y = 25 · 0 + 20 · 1 + 27 · 2 +…+ 1 · 8 = 188

∑n_ya²_y= 25 · 0² + 20 · 1² + 27 · 2² +…+ 1 · 8² = 654

Далее получают сумму а_х·∑f·a_y:

∑(а_х·∑f·a_y) = 0 · 11 + 1 · 21 + 2 · 31 +…+ 7 · 16 = 684

Используя полученные в таблице суммы, рассчитывают коэффициент корреляции (r)и корреляционное отношение (η).

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

r= (46)

r==== 0,276

Корреляционное отношение вычисляется через его квадрат по формуле:

η²=(47)

η²==== 0,116

Отсюда η == 0,340

Оценку достоверности коэффициента детерминации r² производят по критерию ФишераF.

Оценка степени криволинейности связи осуществляется несколькими способами. Наиболее простые из них два способа:

а) η²_у/x – r² ≥ 0,1 (48)

Связь считается криволинейной, если разность квадратов η²иr² равна или превышает 0,1.

Рис. 13. Эмпирическая и теоретическая линии связи высоты однолетних сеянцев сосны (у) и длины их корневых систем (х).

В нашем примере показатель криволинейности равен 0,340² –0,276² = 0,040, следовательно, связь не является криволинейной.

б) N(η²_у/x – r²) ≥ 11,37, (49)

где 11,37 – критерий криволинейности Блэкмана.

В нашем примере 100 · (0,340² – 0,276²) = 100 · 0,040 = 4 < 11,37.

С помощью критерия Блэкмана подтверждена прямолинейность связи высоты надземной части однолетних сеянцев сосны с длиной их корневых систем (рис. 13).

В заключение отметим некоторые особенности, имеющие важное значение для анализа корреляционной связи, результаты которого получены в нашем примере:

Коэффициент корреляции, рассчитанный двумя способами, имеет одно и то же значение (r = 0,276).

Предпочтение следует отдать второму способу совместного вычисления коэффициента корреляции и корреляционного отношения, так как этот способ позволяет: 1) определить ординаты связи и построить эмпирический график регрессионной связи; 2) определить степень кривизны связи; 3) рассчитать коэффициент детерминации и корреляционное отношение; 4) оценить уровень статистической достоверности коэффициента детерминации (r²) прямолинейной связи.

Не подтвердилось высказанное первоначальное мнение о наличии криволинейной зависимости высоты однолетних сеянцев сосны от длины их корневой системы.