Коэффициент корреляции для больших выборок Составление корреляционной решетки

Заключается в группировке данных в сопряженные между собой взвешенные ряды. Перед началом группировки следует выбрать независимую переменную (аргумент “X”) и зависимую переменную (функцию “Y”). Выбор аргумента и функции является довольно условным, так как иногда сложно установить, какой признак является причиной взаимного влияния, а какой следствием. Например, в корреляционной связи диаметра и высоты ствола, длины подземной части сеянцев и высоты их надземной части тот и другой признак парной связи может служить и аргументом, и функцией.

В случае затруднений в выборе аргумента и функции ориентируются по корреляционному отношению прямой и обратной связи двух коррелируемых признаков. Если обратное корреляционное отношение больше прямого, то за аргумент принимают другой признак. Вариационный ряд, принимаемый за аргумент, располагается в горизонтальном ряду графика, а принятый за функцию – в вертикальном.

Необходимо иметь ввиду, что корреляционные связи, не слишком отклоняющиеся от прямолинейных, могут быть удовлетворительно оценены коэффициентом корреляции, вычисление которого значительно проще вычисления корреляционного отношения; допустимая степень отклонения корреляционной связи от прямолинейной определяется с помощью критерия криволинейности.

Рассмотрим особенности парной корреляционной связи на примере измерений длины надземной и подземной частей однолетних сеянцев сосны, произведенных студентами лесохозяйственного факультета на лесопитомнике учебно-опытного лесхоза УГЛТУ. Было измерено 100 сеянцев, результаты занесены в корреляционную решетку (Табл. 12).

Таблица 12

Корреляционная решетка распределения подземной части (x) и надземной части (y) однолетних сеянцев сосны и расчет показателей для вычисления коэффициента их корреляции

Высота сеянцев, см.	Длина подземной части сеянцев, см.
	4	6	8	10	12	14	16	18	Итого ny	ay	ayny	a2y	a2yny
12				0	6 1				1	+6	6	36	36
11			–5 1	0	5 1			20 1	3	+5	15	25	75
10				0					—	+4	—	16	0
9				0		12 2	9 1	12 1	4	+3	12	9	36
8	–6 1			0 2		4 1		8 1	5	+2	10	4	20
7	–3 1	–2 1	–2 2	0 3	1 1	12 6	3 1		15	+1	15	1	15
6	0 1	0 6	0 8	0	0 6	0 4	0 2		27	0	0	0	0
5	6 2	12 6	2 2	0 1	– 4 4	– 6 3	– 6 2		20	–1	–20	1	20
4	12 2	24 6	6 3	0 5	–10 5	–12 3		–8 1	25	–2	–50	4	100
Итого nx	7	19	16	11	18	19	6	4	100	–	–12	–	302
ax	–3	–2	–1	0	+1	+2	+3	+4	–
ax nx	–21	–38	–16	0	18	38	18	16	15
a2x	9	4	1	0	1	4	9	16	–
a2x nx	63	76	16	0	18	76	54	64	367
nxy·ax· ay	9	34	1	0	–2	10	6	32	90

После построения корреляционной решетки необходимо установить степень криволинейности изучаемой связи. Это можно сделать визуально, построив на корреляционной решетке график эмпирической зависимости, или аналитическим путем. Построенный от руки график свидетельствует о наличии кривизны связи, хотя и слабо выраженной. В этом случае допускается вычисление коэффициента корреляции вместо корреляционного отношения, так как, во-первых, значительно упрощаются вычисления, и, во-вторых, значение коэффициента корреляции будет незначительно отличаться от значения корреляционного отношения и достаточно точно оценивать тесноту связи изучаемых признаков.

При проведении вычислений произвольно выбирают условную средину горизонтального и вертикального рядов распределения. Условная средина должна быть по возможности ближе к средине ряда и совпадать с клеткой, в которой содержится наибольшая частота. Условные отклонения (в нашем примере по горизонтали а_х изменяются от–3 до + 4, по вертикали а_уот + 6 до– 2). Далее условные отклонения умножают на частоты горизонтального и вертикального рядов, затем квадраты условных отклонений также умножают на частоты; полученные произведения суммируют.

Находят произведения условных отклонений между собой и на совместную для них частоту:

В первом столбце: (–3)·1·2=–6; (–3)·1·1=–3; (–3)·2·(–1) = 6;

(–3)·2·(–2)=12. И так по каждому столбцу. Полученные произведения суммируют в столбцах с соблюдением знаков, получая значенияn_xy·a_x·a_y, которые суммируют (в нашем примере сумма = 90).

В итоге вычислений получают суммы по строкам (х) и по столбцам (у):

∑n_x = N_x = 100; ∑ a_x n_x = 15; ∑ a²_x n_x = 367

∑n_y = N_y = 100; ∑ a_y n_y = –2; ∑ a²_y n_y = 302

∑ n_xy·a_x·a_y= 90.

Далее находят стандартное отклонение горизонтального и вертикального коррелируемых рядов распределения по формуле (__):

σ_х === 1,910

σ_у = == 1,738

Коэффициент корреляции находят по формуле:

r_xy = (44)

r_xy 0,276

Ошибка достоверности коэффициента корреляции определяется по формуле:

t=, (45)

где t– критерий Стьюдента при числе степеней свободы У=N-2=

= 100 – 2 = 98.

t== (0,5ln1,767)·9,849 =

Объем выборки, достаточный для достоверности коэффициента корреляции, определяют по таблице 13П (Зайцева). На уровне значимости 0,05 коэффициент корреляции 0,277 достоверен при объеме выборки N, равном 50 (в нашем примереN= 100, следовательно,r= 0,276 статистически достоверен).

Полученное значение коэффициента корреляции 0,276 свидетельствует о слабой связи длины корней и высоты надземной части однолетних сеянцев сосны – лишь 27,7% числа признаков (факторов) являются общими для длины корней и высоты надземной части сеянцев. Возведя коэффициент корреляции в квадрат, получают коэффициент детерминации r², свидетельствующий о силе связи, о взаимообусловленности изменчивости двух показателей.

r²=0,276²=0,077=7,7%. Только 7,7% изменчивости высоты надземной части однолетних сеянцев сосны вызываются (обуславливаются) изменчивостью длины их корневой системы; остальная доля изменчивости обусловлена действием других, неизвестных факторов.

Коэффициент детерминации является более важным показателем связи в сравнении с коэффициентом корреляции.

Таблица 13

Объем выборки, достаточный для достоверности коэффициента корреляции на трех доверительных уровнях (по Г.Н. Зайцеву, 1984)