Nechepurenko_ФТИ
.pdf
АНАЛИЗ БОЛЬШИХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
Ю.М. НЕЧЕПУРЕНКО
МФТИ ФИВТ, кафедра ФТИ
2012
СОДЕРЖАНИЕ
1.Компьютерные вычисления
2.Линейные системы управления
3.Анализ соединений в СБИС
4. Крыловские методы редукции
5. Сбалансированное усечение
6. Методы решения уравнений Ляпунова
7. Решение задач оптимального управления
8.Граничное уравнение уравнением теплопроводности
9.Управление течениями жидкости и газа
10.Задача управления течением в канале
11.Анализ нестационарных моделей ядерных реакторов, учитывающих запаздывающие нейтроны
12.Расширенный список литературы
|
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ |
|
ПК (10Gflops) |
|
|
|
процессор |
|
|
|
|
Рабочие станции (100Gflops)
регистры
Кластеры (10Tflops)
|
• |
точность |
кэш |
|
|
|
|||
MATLAB |
• |
скорость |
|
|
ОП |
||||
|
||||
FORTRAN |
• |
память |
||
|
||||
C++ |
|
|||
|
|
диск |
||
|
|
|
||
|
|
|
|
101
100b
Kb Mb
Gb
Tb
|
|
|
n |
10000 |
|||
Умножение n |
n матриц |
||||||
12 |
|
|
|||||
|
|
n |
|
|
|||
C A B, cij |
aik bkj |
2 10 |
операций (2 3минуты) |
||||
и 2.4 10 |
9 |
b памяти |
|||||
|
|
k 1 |
|
||||
2n3операций |
подкачка с диска |
||||||
|
|||||||
3n2 |
8b памяти |
замедление в 100 раз |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РАБОТА С ПАМЯТЬЮ |
102 |
||||||||
n pm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
C11 |
|
C1 p |
A11 |
A1 p |
|
B11 |
B1 p |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Cp1 |
|
Cpp |
Ap1 |
App |
Bp1 |
Bpp |
|
|||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cij |
Aik Bkj |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПК |
|
S |
0; |
Bkj (k 1, , p) (2m |
3 |
|
|
|||||||
|
S : |
S Aik |
операций ) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cij |
|
|
|
Aik , Bkj (2m |
2 |
чисел) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
диск |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
A, B,C |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
При m>100 замедления не будет |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВЫСОКОПРОИЗВОДИТЕЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ 103
• параллельные вычисления
Sij |
: |
0 (i |
1,..., p; j |
1,..., p) |
|
||
Sij |
: |
Sij |
Aik Bkj (i |
1,..., p; j 1,..., p) |
|||
|
|
|
|
|
|||
S11 : S11 |
A1k Bk1 |
Sij : Sij Aik Bkj |
|||||
Spp : Spp Apk Bkp
A, B,C
• конвейерные вычисления
(Sij , Aik , Bkj ) 
S S AB
ТОЧНОСТЬ |
104 |
|
1 2 54 1 2... 8 |
0. 1 2 54 2 1 |
2 ... 8 |
64 |
|
|
0.1...1 211111111 (бинарное) |
2512 (десятичное) |
машинная |
0.1 2 11111111 (бинарное) |
2 512 (десятичное) |
машинный 0 |
|
fl a |
b |
a |
b (1 |
), | |
| |
2 54 |
10 16 |
10 17 |
|
|
/ |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
fl( fl( x y) y) |
(( x y)(1 |
1 ) |
y)(1 |
2 ) |
x |
x( 1 2 ) y 1 |
|||
Если |
| x | |
| y |, |
относитель ная погрешност ь будет большой , |
||||||
если |
| x | |
| y |10 |
17 , |
то можно ожидать полную чушь! |
|||||
Довольно часто используют 128 разрядную арифметику
|
|
|
|
|
ТОЧНОСТЬ |
105 |
||||
или режим накопления: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
s |
0; |
|
|
|
|
s |
ak bk |
|
|
|
|
|
||||
s : s ak bk (k 1, , n) |
|
|
|
|||||||
|
k 1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
| sˆ s | |
n | ak || bk | |
|
|
||||
|
|
|
|
|
k |
1 |
|
|
|
|
Многие процессоры имеют 80 разрядные регистры и |
|
|
||||||||
80 разрядную арифметику . На них |
|
|
||||||||
|
|
|
|
ˆ |
s | |
s |
|
|
||
|
|
|
|
| s |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Но |
|
sij |
|
0; sij : sij |
|
ai,( 2k 1)b(3k 2), j (k 1, , n) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
sij | n | ai,( 2k 1) || b(3k 2), j | |
|
|
|||||
| sij |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТОЧНОСТЬ |
|
106 |
||||
Более аккуратные вычисления: |
|
|
|
||||||||||
|
s a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fl( fl( fl( fl(a1 |
a2 ) a3 )) a4 ) s |
|
|
|
||||||||
|
(((a1 |
a2 )(1 |
1 ) |
|
a3 )(1 2 ) |
a4 )(1 |
3 ) |
s |
|||||
|
(a1 |
a2 )( 1 |
2 |
|
|
3 ) a3 ( 2 |
3 ) a4 4 |
|
|
||||
|
|
|
В случае |
|
| a1 | | a2 | |
| a3 | | a4 | погрешност ь |
|||||||
|
|
|
больше, |
чем в случае | a1 | | a2 | |
| a3 | | a4 | |
||||||||
|
|
|
слагаемые желательно упорядочив ать! |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
c |
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
c |
| a | 1 |
(b / a)2 , | a | | b | |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| b | 1 |
(a / b)2 , | b | | a | |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
МАТРИЦЫ |
107 |
|||||
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x |
|
Cn |
|
x y, ax |
0x |
0 |
||||
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
( x, y) |
|
x j |
y j , |
|
|
2 |
( x, x) |
| x j |2 |
|
|
|
|
x |
|
||||||
|
|
j |
1 |
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a11 a1n
A |
|
Cm n , A B, aA |
am1 |
|
ann |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax |
|
|
|
2 |
|
* 1/ 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
A : C |
|
C |
|
, |
|
A |
|
2 |
sup |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
( A A) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
МАТРИЧНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ |
108 |
|
|
aA, AB, AT , |
|
|
|
A*, |
A 1 |
||
Матричные операции: A |
B, |
|
A, |
||||||
Квадратные матрицы: |
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
0 |
0 |
0 |
r1n |
r1n |
|||
I |
, O |
|
, R |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
rnn |
|
A |
AT |
|
|
|
|
|
|
|
|
AAT |
AT A |
I |
|
|
|
|
|
|
|
A A* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AA* |
A* A |
I |
|
|
|
|
|
|
|