Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

матан Бесов - весь 2012

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

16.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 2926 27 28 29 > Следующая >>>

J(y) = F (y, ϕ(y), ψ(y)).

! " " #

[c, d] × [a, b] × [a, b]		$
Fu(y, u, v) = −f (u, y), Fv (y, u, v) = f (v, y),
Fy (y, u, v) =		!	v ∂f
					(x, y) dx.
		u		∂y
%$ F	F

u	v

%$ Fy & "

' (#) $ $

Fy (y, u, v) = ! 1 ∂f (u + (v − u)t, y)(v − u) dt

0 ∂y

! 1

h(y, u, v, t) dt. *

% $

# h

["c,1 d] × [a, b] × [a, b] × [0, 1] + )

0 h(y, u, v, t) dt [c, d] × [a, b] × [a, b] %

# (#)

		! 1
!	1	! 1

	h(y + y, u + u, v + v, t) dt −
	h(y + y, u + u, v + v, t) dt −		h(y, u, v, t) dt
	0! 1	0

|h(y + y, u + u, v + v, t) − h(y, u, v, t)| dt ω(δ; h),

ω(δ; h) , # h (Δy)2 + + (Δu)2 + (Δv)2 δ2

§ ! " #

X R Y R y0

Y y0 = −∞ +∞ ∞

f X × Y → R ϕ X → R !

f X

ϕ Y y → y0 "

f (x, y) ϕ(x)	Y	y → y0,
X

sup \|f (x, y) − ϕ(x)\| → 0		Y y → y0.	#
x X

$ % #

& f ϕ

| − | ∩ ˚

ε > 0 U (y0) : f (x, y) ϕ(x) < ε y Y U (y0).

'( U (y0)

Uδ (y0) & δ = δ(ε) > 0

f [a, b]×[c, d] y0 [c, d] ) &

f (x, y) f (x, y0) [c, d] y → y0.

[a,b]

f [a, b] × [c, d]

ε > 0 δ = δ(ε) > 0 : |f (x, y)−f (x, y0)| < ε |y−y0| < δ.

'Y = N y0 = +∞ f X ×Y

fn(x) f (x, n) ) &

& f (x, n) ϕ(x) n → ∞

( X *

{fn(x)}∞n=1

fn(x) ϕ(x) n → ∞.

M (X) = {g : g X ,

g M = sup |g|}.

f (x, y) ϕ(x) Y

y → y0 ! !

f (·, y) − ϕ(·) M → 0 Y y → y0,

" fn(x) ϕ(x) # "

fn − ϕ M → 0 n → ∞.

$ % X = [a, b]! f (x, y) [a, b]

x % y Y ! M ([a, b]) % & " C([a, b])

% !

" ! & ' '(

X × YR × R f X

Y y → y0

ε > 0 δ = δε > 0 : sup |f (x, y ) − f (x, y )| < ε

x X		, y	˚
	y		Y ∩ Uδ (y0).
X × Y R × R
f y Y
x x0 X X!

f (x, y) ϕ(x) Y y → y0.

" ϕ x0 X!#

f $ [a, b] × Y → R

y Y [a, b] x

			y → y0.
f (x, y) ϕ(x)		Y	y → y0.
[a,b]	! b
"
! b			Y y → y0.
f (x, y) dx →	ϕ(x) dx		Y y → y0.
a	a

) & '

!		" % !
	! b		! b
lim	f (x, y) dx =		lim f (x, y) dx.
Y y→y0	a		a Y y→y0
*		" +,
& )

-" ! +! )

, ! , ) ! &

, ) +

- " & "

, ) )

. " /

! b

I(y) = f (x, y) dx, −∞ < a < b +∞, y Y 0 1

/ "' !

f : [a, b) × Y → R, [a, b) R, Y Rm.

2 ( / "! m = 1 Y = [c, d]

"ab f (x, y) dx

f (x, y)

x [a, η] [a, b)

I(y, η)	! η
I(y, η)	f (x, y) dx, [a, η] [a, b)
	a

! "# I(y)

y Y "

	! η
I(y) = lim	f (x, y) dx,
η→b−0	a

# $

% "# I(y)

& "#

I(y) ' Y

'◦ I(y) ( ! Y y Y
	!		b
◦			b
◦						→ 0 η → b − 0
ysupY			η	f (x, y) dx		→ 0 η → b − 0
) " 1◦
!	b

					→ 0 η → b − 0		y Y,
		f (x, y) dx			→ 0 η → b − 0		y Y,	*

$ + !

$ y , ! 2◦ "

* - # " .

! Y

! +


		! ∞
	I(y) =		y e−xy dx,
	!	0
/$	!	∞
		∞		−xy
				−xy
	ysupY	η	y e		dx	=

Y = (δ, +∞) (0, +∞).

!	∞
	∞	−u			−ηδ
	e	−u		= e	−ηδ	.
sup	e		du	= e		.
y Y	ηy

) δ > 0	lim e−ηδ = 0 I(y) (
η→+∞
(δ, +∞)
) δ = 0	e−η0 → 0 η → +∞ I(y)
( (0, +∞)				2◦
/		'	,	2◦	'
! $			η → b − 0.
I(y, η) I(y)			η → b − 0.
	Y


' Y

			η
		!	η
ε > 0 ηε
ε > 0 ηε	[a, b) : sup		f (x, y) dx < ε
	y Y		η
				η , η [ηε, b).	0
1 $ ( "
		! b		! b
! η		! b		! b
f (x, y) dx =		f (x, y) dx −		f (x, y) dx,
η		η		η

2 3 4 (

'0 5 ' $

( | "ηη f (x, y) dx| < ε η → b − 0

/ 1$ " ' ! $ " 6 '

$ '

1$ "#

! ∞

I(y) = e−yx sin x dx, Y = Yδ = (δ, +∞)

( ! Yδ δ > 07

( Y0

[a, b) × Y


	! ∞		sin x
I(y) =	e−yx			dx, y 0,

	0		x
		= [0, +∞)
Y

f, g [a, b) × Y	→ R	Y Rm M > 0

\|f (x, y)\| M g(x, y) (x, y) [a, b) × Y
	! b
	! b
J(y) =	g(x, y) dx
	a

I(y) =	f (x, y) dx
	a
Y

ε > 0

Y J(y)

			!
ηε [a, b)				η			< ε η , η [ηε, b).
ηε [a, b)		: sup		η	g(x, y) dx		< ε η , η [ηε, b).
			y Y	η

	!
		η				< M ε	η , η [ηε, b).
sup		η	f (x, y) dx			< M ε	η , η [ηε, b).
y Y		η

I(y) Y

! " # $%

[a, b) × Y → R ϕ [a, b) → R |f (x, y)| ϕ(x) (x, y) "ab ϕ(x) dx

"ab f (x, y) dx

	! ∞
I(y) =		cos yx	dx
	0	1 + x2

(−∞, +∞)

& "

I(y) #'% (

)) * " " "

f [a, b) × Π Π = [c1, d1] × . . . × [cm, dm]

! b
I(y) = f (x, y) dx, y Π,	#+%
a

I(y) Π

ε > 0 " ηε [a, b)

!	b
!	b


ysupΠ	ηε	f (x, y) dx	< ε.

y y + y Π

|I(y + y) − I(y)| ! ηε |f (x, y + y) − f (x, y)| dx+

!		a	!
!	b		!	b


+	ηε	f (x, y + y) dx	+	ηε	f (x, y) dx

(ηε − a)ω(| y|; f ; Πε) + ε + ε,

ω(δ; f ; Πε) , " ) * f

" Πε [a, ηε] × Π "- ω(δ; f ; Πε)

#" ) ε > 0% . " δ → 0

/ 0 δε > 0 |I(y + y) − − I(y)| ε + ε + ε = 3ε | y| δε

I(y) y Π

I Π

y(0)
Y Rm m = 1 y(0)								= −∞
+∞ ∞	f [a, b) × Y						→ R [a, b) R
y Y		[a, b)
x							y → y(0).
	f (x, y) ϕ(x)				Y		y → y(0).
			[a,η]
!			[a, η] [a, b)
I(y) " Y
#	"ab ϕ(x) dx "					! b
			! b			! b
		lim	f (x, y) dx =				ϕ(x) dx.
	Y y→y(0) a					a

$ " m = 1 Π = [c, d]
! d	! d ! b				! b ! d
I(y) dy =			f (x, y) dx dy =				f (x, y) dy	dx.
c		c	a			a	c
! " #
f [a, η] × [c, d] a < η < b
	! d ! η			! η ! d
		f (x, y) dx dy =				f (x, y) dy dx.		$
	c	a		a	c

% & ' ( η → b − 0 ) *

+ $ + &			! d
!	d !	b	! d
		f (x, y) dx dy =	I(y) dy
c		a	c

, " # & [c, d]

!	d!! b	! d ! η

	f (x, y) dx dy −
	f (x, y) dx dy −	c a	f (x, y) dx dy
c	a	c a		! b
				! b
			(d − c) sup				→ 0
			(d − c) sup			f (x, y) dx	→ 0
			y [c,d]		η

η → b − 0 & I(y) -

* + $ + &

& *

% * $ η → b − 0
+
	% + m = 1
+ &	. . . . . / 0

16.3.1

16.3.2

I(y) = "ab f (x, y) dx f

∂f

[a, b) × [c, d]

∂y

y0 [c, d] " I(y0)

"ab f (x, y0) dx

" b ∂f

(x, y) dx " [c, d]

∂y

# I(y) [c, d]

! b ∂f

I(y) =

(x, y) dx.

∂y

y [c, d]

! y ! b

! b

fy(x, t) dx dt =

(f (x, y) − f (x, y0)) dx =

! b

f (x, y) dx − f (x, y0) dx.

% & & +

! b	d	! b
fy (x, y) dx =	d	f (x, y) dx,

	dy
a		a

! ∞			π
I =	sin x
		dx =		.

0	x	2

! " #

! ∞	sin x
I(α) = e−αx		dx, α > 0,

0	x

$ dαd I(α) %$

(

) *$% + (


! ∞			1	cos yx dx, Y = (y0, +∞),
I(y) =						y0 > 0.

1			x
, ( $
-. / 0 1" ∞
	1	sin yx			dx ( % $
1 x2
			y
1 *					Y

" 2 # 1

∞

sup

cos yx dx

y y0

∞

1 sin yx

sin yx

= sup

y y0

y x=η

x2 y

sup

→ 0

η → +∞.

y y0

ηy

ηy0

3 I(y) ( Y

( 4 (

	! ∞
I(y) =	f (x, y)g(x, y) dx, y Y, a R.		5
	a

f, g [a, +∞) × Y → R f		∂g

		∂x

x y Y g x

y Y				! η
-◦

				a	f (x, y) dx
				a
	Y
	M > 0
	!	η

				M	η [a, +∞),	y Y,
		f (x, y) dx		M	η [a, +∞),	y Y,
		a
'◦	g(x, y) 0 x → +∞
		Y
! 5			" Y

a < η			< η			< ∞ !
	! η
I(η , η , y) f (x, y)g(x, y) dx =
	! x	η	! η ! x
	! x	η	! η ! x
= g(x, y)			−
= g(x, y)	η	f (ξ, y) dξ	−	η		η	f (ξ, y) dξ gx(x, y) dx.
	η	x=η		η		η
"					! η
					! η
\|I(η , η , y)\| \|g(η , y)\|2M + 2M						\|gx(x, y)\| dx =
						η

			!
					η
	= 2M \|g(η , y)\| +				η	gx(x, y) dx
					η
					2M [2\|g(η , y)\| + \|g(η , y)\|].
#$ ε > 0 ηε [a, ∞)%
	sup \|I(η , η , y)\| < ε,						η , η > ηε,

y Y

f, g [a, +∞) × Y → R f ∂x∂g x

y Y g x y Y

◦		! ∞
		! ∞
		f (x, y) dy
		a
&◦	Y
&◦	g
	M > 0
	\|g(x, y)\| M x [a, ∞),		y Y.

! I(y) ' Y

$ !$

$ I(η , η , y)

( )

& * )

# * ) +

, , &$

-. /

1 1 )

+ 2 2 ) *

1 1 ) ,

-. /

* 1 1

-. 3

! b

I(y) = f (x, y) dx, −∞ a < b +∞, y Y,

k	k	!	ci
			ci
I(y) = Ii(y) =			f (x, y) dy,
i=1	i=1		ci−1

−∞ a = c0 < c1 < . . . < ck = b +∞,

, 1 Ii(y) 1

) ,

4 I(y) 1

Y $ , 1 Ii(y)

! +∞

Γ(s) =

xs−1e−x dx, s > 0.

s > 0

Γ(s)

	! 1	! +∞
Γ(s) =	xs−1e−x dx +	xs−1e−x dx.
	0	1

s >

>0 s 0 s > 0

! s > 0

! " #

[s0, s1] (0, +∞) # $

# % $

& " # ' ( ϕ0(x) = = xs0−1 ϕ1(x) = xs1−1e−x

$)% * Γ(s) s > 0 +

& "

Γ(s + 1) =						!
!	+∞					!	+∞
	+∞	−x		+∞			+∞	s−1		−x
	s	−x	s	−x	+ s		x	s−1	e	−x	dx = sΓ(s).
= x e			dx = −x e		+ s		x		e		dx = sΓ(s).
	0				0		0

, s > 0

Γ(s + n) = (s + n − 1) . . .(s + 1)sΓ(s).

# - ) % # $)% *

% (0, 1] . #

" % s > 1

% Γ(1) = 1 # ( %$

Γ(n + 1) = n!, n N,

)% * Γ(s + 1) )% * s → s! * * s $

% {s/ s > −1}

! 1
B(p, q) = xp−1(1 − x)q−1dx	0

# % p q $

-%
!	1/2	!	1
B(p, q) =		xp−1(1 −x)q−1dx+	xp−1(1 −x)q−1dx. 1
	0		1/2

# 1 p > 0 $

p 0 q > 0

q 0 $)% * B(p, q) $

{(p, q)/ p > 0 q > 0} = (0, +∞) ×

× (0, +∞)

{(p, q) : p p0, q q0} p0, q0 > 1,

- #

1 % #

' ( ϕ(x) = xp0−1(1 − x)q0−1 $

+ $)% * B(p, q)

2% * B(p, q) Γ(s) # %

B(p, q) = Γ(p)Γ(q) , p > 0, q > 0.

Γ(p + q)

%& %" " # "&

# $ $)% * # #

3 #%" $

& - )% *

−∞ a < b +∞ f

(a, b)

{ci} a = c0 < c1 < . . . < ck = b

◦ f

[α, β] (a, b) ! "" ci#

◦ ! $ ab |f (x)| dx

$ $

c0 c1 ck

(a, b)

RL((a, b)) !

"ab |f (x)| dx" #

(a, b) ϕ (a, b) × [c, d]

% !

◦ $
		! b
		I(y) =	f (x)ϕ(x, y) dx
		a	! b ! d
[c, d]
! d	!	b
◦		f (x)ϕ(x, y) dx dy =		f (x)ϕ(x, y) dy dx
		f (x)ϕ(x, y) dx dy =		f (x)ϕ(x, y) dy dx
c		a	a	c
$		% 1◦	& % \|ϕ\| M (a, b) ×

× [c, d] & % ε > 0" a < ξ < η < b" '( ξ = ξ(ε)

	§
η = η(ε) " '		! b
! ξ		! b	\|f (x)\| dx < ε.
\|f (x)\| dx < ε,			\|f (x)\| dx < ε.
a		η
) y" y +	y [c, d]
I I(y + y) − I(y) =
! ξ	! η ! b
=	+ +	f (x)[ϕ(x, y + y) − ϕ(x, y)] dx,
a	ξ	η
		! b
\| I\| 2M ε + ω(Δy; ϕ; Π)			\|f (x)\| dx + 2M ε,	* +
			a
ω(δ; ϕ; Π) , % ϕ				!
-% Π = [ξ, η] × [c, d]
& % - ϕ Π"
% δ = δ(ε) > 0 " ' ω(δε; ϕ; Π) < ε
) * + ' " '
\|		! b
\|	I\| 4M ε + ε		\|f (x)\| dx.

. % " I(y) [c, d]

2◦ & ε > 0 ' fε/ (a, b) → R ' !

[α, β]+ " '

! b

|f (x) − fε(x)| dx < ε.

$ - ε > 0 - - fε 0

)

! d ! b	! b	! d
fε(x)ϕ(x, y) dx dy =	fε(x)	ϕ(x, y) dy dx. * +
c a	a	c

&- 1 ε → 0" '

2◦

!	d !	b


			[f (x) − fε(x)]ϕ(x, y) dx dy

c a	! b
	! b
	M (d − c) \|f (x) − fε(x)\| dx M (d − c)ε.
	a

! "! f

! (−∞, +∞) "! f #

! +∞

S(x) = S(x, f )

a(y) b(y)

			[a(y) cos xy + b(y) sin xy] dy,					$
0	!
				+∞		cos yt
=	1				f (t)		dt.	%
		π		−∞		sin yt

(−∞, +∞)

&◦ a(y) b(y) % [0, +∞)

◦ a(y) b(y) → 0 y → +∞

' # ! # &

% & & (

)# ! * S(x) # $

+ * $

,! * a(y)* b(y) # % - ."" ,!

/ ,! S(x)

+∞ !

+∞

S(x) =

−∞ f (t)(cos ty cos xy + sin ty sin xy) dt dy =

! ∞ !

+∞

f (t) cos y(x − t) dt dy.

−∞

)#! ,! /

' .

! η

+∞

Sη (x)

f (t) cos y(x − t) dt dy,

η > 0,

−∞

! ,!

! &*

! +∞

! η

Sη (x) =

f (t)

cos y(x − t) dy dt =

−∞

! +∞

+∞

sin η(x − t)

sin ηu

−∞

f (t)

x − t

dt =

f (u + x)

du =

! 0

−∞

! +∞

sin ηu

f (u + x)

du,

−∞

∞

Sη (x) =

[f (x + t) + f (x − t)]

sin ηt

dt.

! ∞

∞

sin ηt

sin t

η > 0.

dt =

' #

. #

! 2 1 $ 1

% &

4 x0

"! f *

! !

f (x0 + 0)* f (x0 − 0)*

f (x0 + h) − f (x0 + 0)

f+(x0) lim

h→0+0

f−(x0) lim

f (x0 − h) − f (x0 − 0)

h→0+0

−h

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 2926 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.08.201977.21 Кб9Лето 10 класс.docx
#
03.06.201562.17 Кб12Линал экзамен.pdf
#
09.11.20191.25 Mб39Логарифм. нерав.9.doc
#
17.07.20192.02 Mб6ман.docx
#
03.06.2015241.78 Кб40Массивы.pdf
#
03.06.201516.85 Mб31матан Бесов - весь 2012.pdf
#
03.06.201584.55 Кб14МатСтатистика. Программа.pdf
#
27.03.20165.39 Mб58Мессиа том 1.pdf
#
08.11.2018434.18 Кб17Метод.реком.по самост.работе -МПОСР-2011.doc
#
27.03.2016656.27 Кб115Методические указания. РТ цепи и сигналы. Озерский.pdf
#
27.11.2019594.94 Кб13Методичка по Деталям машин и ОК исправленная.doc