матан Бесов - весь 2012

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3 "" # " # r4

du +rv dv.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

16.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2920 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

D γ1

D Γ1 = F(γ1) F(D)

γ1 γ2

γ1

D ! "

#Γ2 = F(γ2)$%

v	y		y
γ2		Γ2	Γ1	Γ2
γ2		Γ2		Γ2
	γ1			Γ1
				Γ1
O	u O	J > 0	x O	J < 0	x
		J > 0		J < 0

& '( ) *

+ , -

! ! !

D D!


. ,	- /
0
	x = x(u, v),
	F :

y = y(u, v)

1 --

" G Ouv

0 ! D D G


		∂(x, y)	= 0
	J(u, v)
				D.
				D.
		∂(u, v)
+ !	J(u, v) ,				D
" G
G #	2( 3 )$				D F(D)

" ! Oxy #

2' * )$

0 Γ ∂D !

+ !

ΓF(Γ) = F(∂D) = ∂D

" 1◦ 24 ) '$ "

Γi = {(u(t), v(t)) : ai−1 t ai}

1 ! %ki=1 Γi = Γ + !

Γi F(Γi) = {(x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t))), ai−1 t ai}

-- " -

+ xv

+ yv

∂(x, y)

= 0

∂(u, v)

0 6

> 0

Γi

Γ {(u(t), v(t))% a t

t "

Γ Γ+

D Γ

D Γ±

! "!#

!! b

μD = ±

x dy = ± xyt dt =

Γ±

= ±

∂y du

∂y

dt = ±

∂y

du + x

dv.

∂u dt

∂v dt

∂u

∂v

∂y

= P x

∂y

= Q $%

∂u

∂v

∂Q

∂x ∂y

∂2y

∂P

∂x ∂y

∂2y

+ x

∂u

∂v

∂u∂v

∂v

∂u

∂v∂u

G '( '

(

( '

∂2y ∂2y

∂u∂v

∂v∂u

% )

* ! !# ( (

μD = ± !!	∂Q		−	∂P	du dv = ± !!		∂(x, y)	du dv. "#

D		∂u		∂v		D ∂(u, v)

(

( ( ( ( G


	∂(x, y)		∂(x, y)
	∂(x, y)		∂(x, y)
±		=		> 0.
±	∂(u, v)	=	∂(u, v)	> 0.
	∂(u, v)		∂(u, v)

+ (

Γ Γ + Γ−# ( (

( "# , -. ('(

/ .0 ( ( "# (
	""		∂(x, y)
			∂(x, y)
( μD	=	D	∂(u, v)	du dv $ ',

', # , (

( ) ' "1 2 ""# .-

' (' ) "1 3 !# %

' #

a = (P (x, y, z) Q(x, y, z) R(x, y, z)) G R3 '

( ( G . (

'( )) )								U 4 G → R
	∂U			∂U			∂U
P =		,	Q =		,	R =		G.	"#

	∂x			∂y			∂z

5- U '(-

a a

6 ) U ( a )

U + C % C 7 ( (

(

8 % #4 U V 7 (

a ( G V = U + C G % C 7

9 ( ( "# 4

	∂U		∂U		∂U
a =		ı +		j +		k = grad U = U,	#
	∂x		∂y		∂z

dU = P dx + Q dy + R dz,

% 7 ( (

= ∂x∂ , ∂y∂ , ∂z∂ ,

'( ' "

9 % Γ (a, dr) Γ '(-

a Γ

a = (P, Q, R)

a G

Γ G

(a, dr) = 0.

A B G

! !

(a, dr),

AB ! "

G A B !

IIII Γ1+ Γ2+

G A

B ! Γ+ Γ−
1	2
	!
!	!
(a, dr) +	(a, dr) = 0.
Γ+	Γ−
1	2
" ! # $ Γ−
	2
#
!	!
(a, dr) − (a, dr) = 0,
Γ+	Γ+
1	2

	$
!$ Γ+ G A, B Γ Γ+
			1
	AB	Γ+	BA	# ! Γ+ %

	2

$ $ &

Γ+

§
! Γ+		Γ−
1			2
A B
!	!		!
(a, dr) =			(a, dr) +		(a, dr) =
Γ+	Γ	+	Γ+
	1			2	!	!
					=	(a, dr) − (a, dr) = 0.
					Γ+	Γ−
					1	2
					U AB		=

= {(x(t), y(t), z(t)) a t b}

G !

!					! b
	P dx + Q dy + R dz =				[P (x(t), y(t), z(t))x (t)+
					a
AB					a
	+Q(x(t), y(t), z(t))y (t) + R(x(t), y(t), z(t))z (t)] dt =
!		b
		b	d		b
			d
=				U (x(t), y(t), z(t)) dt = U (x(t), y(t), z(t))		=
	a		dt		a

= U (B) − U (A).

II I A0 "

B(x, y, z) # G $

" %

U (B) = U (x, y, z) P dx + Q dy + R dz, &'(

A0B

A0B G !

" U

&'( # ) B(x, y, z) * x

y z + % &'( # %

" B P dx + Q dy + R dz U

a % &,( # *

) B0 = B0(x0, y0, z0) G -

∂U	(x0, y0, z0) = P (x0, y0, z0)	&.(
∂x

∂U

∂x

U (x0, y0, z0)

U (x0 + x, y0, z0)

A0B0 A0B A0B0

B0 B

B0B

U U (x0 + x, y0, z0) − U (x0, y0, z0) =

! x0+Δx

P dx + Q dy + R dz =

P (x, y0, z0) dx.

BB0

$ x

xx = 1 yx = 0 zx							= 0 !

	U
	U
		(x0	, y0, z0) − P (x0				, y0, z0)	=
	x				!
					!	x
				1		x
				1
	=			x		[P (x0 + ξ, y0, z0) − P (x0, y0, z0)] dξ
				x		0
						0
max				\|P (x0 + ξ, y0, z0) −P (x0, y0, z0)\| → 0					x → 0,
	\|ξ\| \| x\|

% & P (x0, y0, z0)

! $ ' "

( ) & "

a ** $

& + "

a %

** & a , # "

rota ×a =

∂

∂x

∂y

∂z

∂R

∂Q

∂P

∂R

∂Q

∂P

−

ı +

−

j +

−

∂y

∂z

∂x

∂y

/ # $ G

rota = 0 G

a = (P, Q, R)

G R3

)◦

0◦

a rota = 0

!G R2 R ≡ 0 P = P (x, y)

Q = Q(x, y)"

rota = 0 G a

1 1 + 1◦

∂R

−

∂Q

= 0,

∂P

−

∂R

= 0,

∂Q

−

∂P

= 0.

∂z

∂y

∂z

∂x

∂y

∂2U

−

∂2U

= 0.

∂x∂y

∂y∂x

1 $

%% & +

4
2	2◦ 5
1 +	2◦ 5

# $

! G

" # "

$"
			y					x
a = (P (x, y), Q(x, y)) = −			y		,			x

	x	2	+ y	2			2	+ y	2
	x		+ y			x		+ y

∂Q	=	∂P	=		y2 − x2	(x, y) = (0, 0),

∂x		∂y		(x2 + y2)2


rota = 0 & # "
# # !
!		CR = {(R cos θ, R sin θ), 0 θ 2π} :
!
	(a, dr) =
CR	!2π						!2π
	!2π						!2π
=	−	R sin θ	R(− sin θ) +		R cos θ	R cos θ	dθ = dθ = 2π.
=	−		R(− sin θ) +			R cos θ	dθ = dθ = 2π.
		R2			R2
	0						0
				$ " G

D # ∂D

∂D G D G

& " G " G

a =

=(P, Q) ∂Q∂x − ∂P∂y = 0 G

a G


§
' " '"		( )
+ ), "	Γ (a, dr) = 0
Γ G $"
Γ # D (∂D = Γ,

$ -		!!
!				∂Q	−	∂P
	P dx + Q dy =						dx dy = 0.
				∂x		∂y
∂D	+		D

. * / 0

! " /

*+ * ) #

0 !

" 0

" # E R2

r$ E → R3# (u, v) E

r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) R3. &! ' R2# R3 ( )

x# y# z *

+ " *

" "

# #

a r

&! (u, v) → (u0, v0) E# (u0, v0) (

ε > 0 δ = δ(ε) > 0 : \|r(u, v) −a\| < ε
˚	, v0).
(u, v) E ∩ Uδ (u0	, v0).

, - .

lim r(u, v) = a,

E (u,v)→(u0,v0)

- ˚		, v0) E δ > 0#
	Uδ (u0
.	lim r(u, v) = a.

(u,v)→(u0,v0)

/ * r *

(u0, v0) E#

lim r(u, v) = r(u0, v0).

E (u,v)→(u0,v0)

	§
ru(u0, v0) (u0, v0)


		r∂		dr(u, v0)
		r∂		dr(u, v0)
ru(u0	, v0) ≡		(u0, v0) =		.
ru(u0	, v0) ≡	∂u	(u0, v0) =	du	.
		∂u		du	u=u0
					u=u0

+ " * rv ≡ ∂v∂r

, # #

" -

§ 0 &!

) E R2

&! *

! - " #

ru D D#

D ru

" " ∂D

D 1 "

2 S R3
"
S = {(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) : (u, v)		},
	D		3!

" D R2# x# y# z

	x	y	z
	x	y	z
rang	u	u	u	= 2 D,
rang	x	y	z	= 2 D,	4!
	v	v	v

" # $ D D%

& $ '

u v

S = {r(u, v) : (u, v) D} S = {rˆ(u, v) : (u, v) D},

r(u, v) (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) {(u, v) rˆ(u, v)}

S u, v

! " # $ $ %$ rˆ(u, v) R3 % $

& ' $% % % $

%$ M R3 ( ) %

$ (u1, v1), (u2, v2) D

rˆ(u1, v1) = rˆ(u2, v2) = M.

* rˆ(u, v)+ D → S %

S = {r(u, v) : (u, v) D} ,

$ (u0, v0) D - %

% D " v = v0 $ %

(u0, v0) D $" $

%$ (u0, v0)

{r(u, v0) : (u, v0) D}

v = v0 &$ ru = ∂ur∂ =

= (xu, yu, zu)									/
% u = u0+
		{r(u0, v) : (u0, v)						}
		{r(u0, v) : (u0, v)					D	}
$ $
		rv =		r∂	= (xv , yv , zv ).

				∂v
- %				' $ $
			ı	j
			ı	j	k
									0
ru	×rv = xu			yu	zu	= Aı + Bj + Ck,			0
		x		y	z
			v	v	v

A =	∂(y, z)	, B =	∂(z, x)	, C =	∂(x, y)	,
	∂(u, v)		∂(u, v)		∂(u, v)

1 A2 + B2 + C2 > 0


ru ×rv =	0

Sε = {(R cos ϕ cos ψ, R sin ϕ cos ψ, R sin ψ) :
0 ϕ 2π, −		π	+ ε ψ	π	− ε}, R > 0, 0 < ε <	π	,
0 ϕ 2π, −		2	+ ε ψ	2	− ε}, R > 0, 0 < ε <	2	,
		2		2		2

2 %$" $" %$

3 * $ %$

$% % $ "

$ 4 %

%$ {(u0, v0), rˆ(u0, v0)} $" ' ' ,

$ ru(u0, v0) rv(u0, v0)

$ ! " %$
(u0, v0) D {(u(t), v(t))+ a t b}	$

$ u(t0) = u0 v(t0) = v0 $ t0 a < t0 < b

{r(u(t), v(t)) : (u(t), v(t)) D, a t b} '

$ $ 4 4

% %$ {(u0, v0) rˆ(u0, v0)} 5

" $ ! " $" %$ {t0, rˆ(u0, v0)}

rt(t0) = ru(u0, v0)ut(t0) +rv (u0, v0)vt(t0),

" " $* 6 " $ ru rv

% $" $

7 $ $ $ '

%$ {t0, rˆ(u0, v0)} $" $ $

%$ {(u0, v0), rˆ(u0, v0)}

(r −r0,ru,rv) = 0.

r0 = (x0, y0, z0) ! r = = (x, y, z) " !

# $

& ru


	− x0
x	− x0
	x
	x	u
		u
	x
		v

= (xu, yu, zu) rv


y − y0	z − z0
y − y0	z − z0	= 0,
y	z	= 0,	%
u	u
yv	zv

= (xv , yv , zv )#

' " ! !

(

)

! #

) " ! ( !

) * ! #

+ ( & ,#,#- !

ru ×rv =

0 # ,#,#. #

' * (

x − x0

y − y0

z − z0

y − y0

z − z0

x − x0

z =

y ,

& x0 = x(u0, v0) y0 = y(u0, v0) z0 = z(u0, v0)

) xu xv yu yv zu zv )! ) ! (u0, v0)# '

S = {(x, y, f (x, y)) : (x, y) D}, .

& 0 f ) 0

/ D )

# 1 ) ! ) ! &

! ,#,# # 2 !

3 r(x, y) = (x, y, f (x, y))

rx = (1, 0, fx),

ry = (0, 1, fy ),

rx ×ry = 1

= −fxı − fyj + k =

5 % ! (x0 y0

f (x0

, y0))

− x0

− y0

z − z0

(x0, y0)

= 0,

(x0, y0)

z − z0 = (x − x0)fx(x0

, y0) + (y − y0)fy (x0, y0),

! (x0, y0, f (x0, y0))

x − x0		=	y − y0		= −(z − z0).
	, y0)			, y0)		7
fx(x0			fy (x0

8 & !

) / ! &

y z z x#

! /

& # ' D /

S = {r(u, v) : (u, v) D} , & ! !

0 r ) 0 D


ru ×rv =	0#

u= ϕ(u , v ),

Fv = ψ(u1, v1) : D1 → D,

D1 1 1

˜	, v1) : (u1, v1) D1},
S = {ρ(u1

ρ(u1, v1) = r(ϕ(u1, v1), ψ(u1, v1))

S S

! ! !

#◦

F $ !

1 ↔

D1 ↔ D ∂D1 ↔ ∂D%

◦

F $ && '

& (

' ϕ ψ $ && '$

1 (

F−1 $ && ' (

)◦

∂(u, v)

= 0 D1

∂(u1, v1)

= 0 D

∂(u1, v1)

∂(u, v)

* !

ρu

1 = ruϕu

1 +rvψu1 , ρv1 = ruϕv1 +rv ψv1 ,

×ρ

= r ×r

∂(u, v)

)

v ∂(u1, v1)

+ $

! 3◦

∂(u, v)

∂(u1, v1)

= 1 # ) , ! (

∂(u1, v1)

∂(u, v)

∂(u1, v1) = 0 D1 +- .-

! ! ! (

$ / )

0 ! ! (

1 ! ! ! ! (

! !

* ! (

! . $

u, v x, y y, z z, x 2 (

! Sε # # #

! !

. 4 D

\|ru ×rv \|2 = A2 + B2 + C2 =			2		2
	2
	∂(y, z)		∂(z, x)		∂(x, y)
=		+		+			> 0,
	∂(u, v)
			∂(u, v)			∂(u, v)

(u0, v0) D - ! (

	∂(x, y)
! +		=
	∂(u, v)
		(u0,v0)

= 0

U (u0, v0) U (x0, y0)


x0		= x(u0, v0) y0 = y(u0, v0)
	x = x(u, v),		!
	y = y(u, v)

U (u0, v0) ↔ U (x0, y0) " U (x0, y0)

u = u(x, y),
v = v(x, y)		! ##$
		= 0
	∂(x, y)			(x0, y0) %
			U
	∂(u, v)

& ! '

& ' (

S(0) = {(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) : (u, v) U (u0, v0)}

& ! (u, v) (x, y)

S(0) = {(x, y, f (x, y)) : (x, y) U (x0, y0)},

f (x, y) = z(u(x, y), v(x, y))

! !

	ru	×rv
n =	\|r	×r	\|
	u	v

! " # ! D$

−n

% " # & n −n &

%
! ! S
S
S $ &'

# ±n$

( ) # !

$ * +

, & # & !

S $ ! "

+ # !$ &

( & S , !

# ! - - S+$ # !

# ! S−

! !

- 1◦$ 2◦$ 3◦ & '+ -

	.◦ ∂(u, v)		> 0 D1

	∂(u1, v1)

$ $

! & ! /$ 0$ '+ !

1 # ,

+ ,

!$ # +

# !

S= {r(u, v) : (u, v) D}

rv&$ ru$

|dr|2 = |ru du +rv dv|2 = |ru|2du2 + 2(ru,rv ) du dv + |rv |2dv2.

% -

E = \|ru\|2,	F = (rur,v ),		G = \|rv \|2,
\|dr\|2 = \|ru du +rv dv\|2 = E du2 + 2F du dv + G dv2.
	5 " Edu2 +
+ 2F du dv + Gdv2
$ E$ F $ G +
" ,
+$ \|dr\|2 = 0 du = 0$ dv = 0 6
$ + , 4 EG − F 2 > 0
5 $ E > 0$ G > 0
7$
EG − F 2 = \|ru ×rv			\|2,
ω , ru		rv $
EG − F 2 = \|ru\|2\|rv \|2 − \|ru\|2\|rv		\|2 cos2 ω =
		= \|ru\|2\|rv \|2 sin2 ω = \|ru ×rv \|2.
8 ' & )"" # ! "

, ' $

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2920 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.08.201977.21 Кб7Лето 10 класс.docx
#
03.06.201562.17 Кб12Линал экзамен.pdf
#
09.11.20191.25 Mб37Логарифм. нерав.9.doc
#
17.07.20192.02 Mб6ман.docx
#
03.06.2015241.78 Кб40Массивы.pdf
#
03.06.201516.85 Mб31матан Бесов - весь 2012.pdf
#
03.06.201584.55 Кб14МатСтатистика. Программа.pdf
#
27.03.20165.39 Mб56Мессиа том 1.pdf
#
08.11.2018434.18 Кб17Метод.реком.по самост.работе -МПОСР-2011.doc
#
27.03.2016656.27 Кб115Методические указания. РТ цепи и сигналы. Озерский.pdf
#
27.11.2019594.94 Кб13Методичка по Деталям машин и ОК исправленная.doc