Мессиа том 1

Предисловие к русскому переводу

10

Предисловие

11

ЧАСТЬ I. ФОРМАЛИЗМ И ЕГО ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

ГЛАВА I. ИСТОКИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

15

1.

Введение

15

Раздел I. Конец классического периода

16

2.

Классическая теоретическая физика

16

3.

Успехи в изучении микроскопических явлений и появление квантов в

19

физике

Раздел II. Световые кванты, или фотоны

22

4.

Фотоэлектрический эффект

23

5.

Эффект Комптона

24

6.

Световые кванты и явления интерференции

28

7.

Заключение

31

Раздел III. Квантование в атомных системах

32

8.

Атомная спектроскопия и трудности классической модели Резерфорда

32

9.

Квантование энергетических уровней атомов

33

10.

Другие примеры квантования: пространственное квантование

35

Раздел IV. Принцип соответствия и старая квантовая теория

37

11.

Недостаточность классической корпускулярной теории

37

12.

Принцип соответствия

39

13.

Применение принципа соответствия при вычислении постоянной

40

Ридберга

14.

Лагранжева и гамильтонова формы уравнений классической механики

41

15.

Правила квантования Бора--Зоммерфельда

44

16.

Достижения и ограниченность старой теории квантов

49

17.

Заключение

50

Задачи и упражнения

52

ГЛАВА II. ВОЛНЫ ВЕЩЕСТВА И УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

54

1.

Исторический обзор и общий план последующих глав

54

Раздел I. Волны вещества

58

2.

Введение

58

3.

Свободный волновой пакет, фазовая и групповая скорости

59

4.

Волновой пакет в медленно меняющемся поле

62

5.

Квантование уровней энергии атомов

63

6.

Дифракция волн вещества

64

7.

Корпускулярная структура вещества

66

8.

Универсальный характер дуализма волна-частица

67

Раздел II. Уравнение Шредингера

68

9.

Закон сохранения числа частиц вещества

68

10.

Необходимость волнового уравнения и условия, которым оно должно

69

удовлетворять

11.

Понятие оператора

70

12.

Волновое уравнение для свободной частицы

71

13.

Частица в области действия скалярного потенциала

73

14.

Заряженная частица в электромагнитном поле

74

15.

Общее правило построения уравнения Шредингера по принципу

75

соответствия

Раздел III. Стационарное уравнение Шредингера

79

16.

Исследование стационарных состояний

79

17.

Общие свойства уравнения. Структура энергетического спектра

79

Задачи и упражнения

81

ГЛАВА III. КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ

84

1.

Введение

84

Раздел I. Прямоугольные потенциалы

85

2.

Общие свойства

85

3.

Скачок потенциала. Отражение и прохождение волн

87

4.

Бесконечно высокий потенциальный барьер

92

5.

Бесконечно глубокая потенциальная яма. Дискретный спектр

93

6.

Конечная потенциальная яма. Резонансы

94

7.

Прохождение прямоугольного потенциального барьера. Туннельный

101

эффект

Раздел II. Общие свойства одномерного уравнения Шредингера

103

8.

Свойства вронскиана

103

9.

Асимптотическое поведение решений

105

10.

Структура спектра собственных значений

108

11.

Состояния непрерывного спектра: отражение и прохождение волн

109

12.

Число узлов связанных состояний

112

13.

Соотношения ортогональности

113

14.

Замечание по поводу четности

115

Задачи и упражнения

116

ГЛАВА IV. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

118

КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОГО ДУАЛИЗМА И СООТНОШЕНИЯ

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

1.

Введение

118

Раздел 1. Статистическая интерпретация волновых функций в волновой

119

механике

2.

Вероятности результатов измерения координаты и импульса частицы

119

3.

Сохранение нормы во времени

122

4.

Понятие потока

124

5.

Средние значения функций от r и от p

125

6.

Системы многих частиц

128

Раздел II. Соотношения неопределенности Гейзенберга

132

7.

Соотношения неопределенности координата-импульс квантовой частицы

132

8.

Точное выражение соотношений неопределенности координата-импульс

135

9.

Обобщение: соотношения неопределенности для сопряженных

137

переменных

10.

Соотношение неопределенности время-энергия

137

11.

Соотношения неопределенности для фотонов

140

Раздел III. Соотношения неопределенности и механизм измерения.

141

12.

Неконтролируемое возмущение в процессе измерения

141

13.

Измерения положения в пространстве

144

14.

Измерения импульса

146

Раздел IV. Описание явлений в квантовой теории. Дополнительность и

149

причинность

15.

Проблемы статистической интерпретации

149

16.

Описание микроскопических явлений и дополнительность

153

17.

Дополнительные переменные. Совместные переменные

153

18.

Корпускулярно-волновой дуализм и дополнительность

155

19.

Дополнительность и причинность

156

Задачи и упражнения

159

ГЛАВА V. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ И ЕГО

162

ИСТОЛКОВАНИЕ

1.

Введение

162

Раздел I. Эрмитовы операторы и физические величины

163

2.

Пространство волновых функций

163

3.

Определение средних значений

166

4.

Отсутствие флуктуации и проблема собственных значений

168

Раздел II. Исследование дискретного спектра

171

5.

Собственные значения и собственные функции эрмитового оператора

171

6.

Разложение волновой функции в ряд по ортонормированным собственным 173

функциям

7.

Статистическое распределение результатов измерений величины,

176

оператор которой обладает полной системой собственных функций с

конечной нормой

Раздел III. Статистика измерений в общем случае

179

8.

Трудности описания непрерывного спектра. Введение δ-функции Дирака

179

9.

Разложение по собственным функциям в общем случае. Условие

184

замкнутости

10.

Статистическое распределение результатов измерения в общем случае

188

11.

Другие методы исследования непрерывного спектра

190

12.

Комментарии и примеры

193

Раздел IV. Определение волновой функции

195

13.

Операция измерения и редукция волнового пакета. Идеальные измерения

195

14.

Коммутирующие наблюдаемые и совместные переменные

198

15.

Полные наборы коммутирующих наблюдаемых

201

16.

Чистые и смешанные состояния

203

Раздел V. Алгебра коммутаторов и ее приложения

204

17.

Алгебра коммутаторов и основные свойства коммутаторов

204

18.

Соотношения коммутации для момента импульса

207

19.

Изменение статистического распределения во времени. Интегралы

208

движения

20.

Примеры интегралов движения. Энергия. Четность

209

Задачи и упражнения

210

ГЛАВА VI. КЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И МЕТОД ВКБ

212

Раздел I. Классический предел волновой механики

212

1.

Общие соображения

212

2.

Теорема Эренфеста

214

3.

Движение и расплывание волновых пакетов

216

4.

Классический предел уравнения Шредингера

219

5.

Кулоновское рассеяние. Формула Резерфорда

224

Раздел II. Метод ВКБ

226

6.

Основная идея метода

226

7.

Решения ВКБ в одном измерении

227

8.

Условия применимости приближения ВКБ

229

9.

Граничные точки и формулы согласования

230

10.

Прохождение потенциального барьера

233

11.

Уровни энергии в потенциальной яме

234

Задачи и упражнения

236

ГЛАВА VII. ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

А. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ

238

1.

Принцип суперпозиции и представление динамических состояний

238

векторами

Раздел I. Векторы и операторы

240

2.

Векторное пространство. Кет-векторы

240

3.

Дуальное пространство. Бра-векторы

241

4.

Скалярное произведение

243

5.

Линейные операторы

245

6.

Тензорное произведение двух векторных пространств

247

Раздел II. Эрмитовы операторы, проекторы и наблюдаемые

249

7.

Сопряженные операторы и правила сопряжения

249

8.

Эрмитовы (самосопряженные) операторы, положительно определенные

251

операторы, унитарные операторы

9.

Проблема собственных значений и наблюдаемые

252

10.

Проекторы (или операторы проектирования)

255

11.

Алгебра проекторов

258

12.

Наблюдаемые, обладающие только дискретным спектром

261

13.

Наблюдаемые в общем случае и обобщенное соотношение замкнутости

263

14.

Функции наблюдаемых

265

15.

Операторы, коммутирующие с наблюдаемой. Коммутирующие

267

наблюдаемые

Раздел III. Теория представлений

268

16.

Общее понятие о конечных матрицах

268

17.

Квадратные матрицы

270

18.

Бесконечные матрицы

274

19.

Представление векторов и операторов матрицами

275

20.

Преобразования матриц

278

21.

Смена представления

281

22.

Унитарные преобразования операторов и векторов

283

Задачи и упражнения

285

ГЛАВА VIII. ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

Б. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ

287

1.

Введение

287

Раздел I. Динамические состояния и физические, величины

289

2.

Определение вероятностей. Постулаты измерения

289

3.

Наблюдаемые квантовой системы и соотношения коммутации

291

4.

Соотношения неопределенности Гейзенберга

292

5.

Определение состояний и построение пространства E

294

6.

Квантовая одномерная система, обладающая классическим аналогом

295

7.

Построение пространства состояний путем тензорного умножения более

299

простых пространств

Раздел II. Уравнения движения

301

8.

Оператор эволюции и уравнение Шредингера

301

9.

"Представление" Шредингера

304

10.

"Представление" Гейзенберга

306

11.

"Представление" Гейзенберга и принцип соответствия

308

12.

Интегралы движения

309

13.

Уравнение эволюции средних значений и соотношение

310

неопределенности время-энергия

14.

Промежуточные "представления"

311

Раздел III. Различные представления теории

313

15.

Определение представления

313

16.

Волновая механика

314

17.

Представление {p}

316

18.

Пример: движение свободного волнового пакета

318

19.

Другие представления. Представление, в котором диагональна энергия

319

Раздел IV. Квантовая статистика

320

20.

Системы с неполной информацией и смешанные состояния

320

21.

Матрица плотности

321

22.

Эволюция смешанного состояния во времени

323

23.

Характеристические свойства матрицы плотности

324

24.

Чистые состояния

325

25.

Классическая статистика и квантовая статистика

326

Задачи и упражнения

328

ЧАСТЬ II. ПРОСТЫЕ СИСТЕМЫ

ГЛАВА IX. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА МЕТОДОМ

333

РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ. ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЙ

ПОТЕНЦИАЛ

1.

Введение

333

Раздел I. Частица в центрально-симметричном потенциальном поле. Общее

334

рассмотрение проблемы

2.

Гамильтониан частицы в сферических координатах

334

3.

Отделение угловых переменных. Сферические функции

337

4.

Радиальное уравнение

339

5.

Собственные решения радиального уравнения. Структура спектра

341

6.

Заключение

342

Раздел II. Центрально-симметричный прямоугольный потенциал. Свободная

344

частица

7.

Сферические функции Бесселя

344

8.

Свободная частица. Свободные плоские и сферические волны

345

9.

Разложение плоской волны по сферическим функциям

346

10.

Сферическая прямоугольная яма

348

Раздел III. Задача двух тел. Отделение движения центра масс

349

11.

Отделение движения центра масс в классической механике

349

12.

Отделение движения центра масс квантовой системы двух частиц

351

13.

Система многих частиц

352

Задачи и упражнения

354

ГЛАВА X. ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ. ЦЕНТРАЛЬНЫЙ

356

ПОТЕНЦИАЛ И МЕТОД ФАЗОВЫХ СДВИГОВ

1.

Введение

356

Раздел I. Эффективные сечения и амплитуды рассеяния

356

2.

Определение эффективных сечений

356

3.

Стационарная волна рассеяния

358

4.

Описание рассеяния при помощи пучка волновых пакетов

359

5.

Рассеяние волнового пакета на потенциале

362

6.

Вычисление эффективных сечений

364

7.

Столкновение двух частиц. Лабораторная система и система центра масс

365

8.

Разложение по парциальным волнам. Метод фазовых сдвигов

370

9.

Квазиклассическое представление рассеяния. Прицельный параметр

372

Раздел III. Потенциал ограниченного радиуса действия

374

10.

Сдвиг фазы и логарифмическая производная

374

11.

Сдвиги фаз при низких энергиях ( D → ∞)

376

12.

Парциальные волны более высокого порядка. Сходимость ряда ( l → ∞)

377

13.

Рассеяние на твердой сфере

377

Раздел IV. Резонансное рассеяние

380

14.

Рассеяние глубокой прямоугольной потенциальной ямой

380

15.

Общий закон резонансного рассеяния. Метастабильные состояния

382

16.

Наблюдение времени жизни метастабильных состояний

385

Раздел V. Различные формулы и свойства

387

17.

Интегральные представления фазовых сдвигов

387

18.

Зависимость фазовых сдвигов от формы потенциала

388

19.

Приближение Борна

389

20.

Теория эффективного радиуса действия. Формула Бете

389

Задачи и упражнения

392

ГЛАВА XI. КУЛОНОВСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

394

1.

Введение

394

Раздел 1. Атом водорода

395

2.

Уравнение Шредингера для атома водорода

395

3.

Порядок величины энергии связи основного состояния

396

4.

Решение уравнения Шредингера в сферических координатах

397

5.

Спектр энергии. Вырождение

399

6.

Собственные функции связанных состояний

401

Раздел II. Кулоновское рассеяние

403

7.

Кулоновская функция рассеяния

403

8.

Формула Резерфорда

405

9.

Разложение по парциальным волнам

407

10.

Разложение ψc по сферическим функциям

408

11.

Модификация кулоновского потенциала короткодействующим

410

взаимодействием

Задачи и упражнения

412

ГЛАВА XII. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

414

1.

Введение

414

Раздел I. Собственные состояния и собственные векторы гамильтониана

415

2.

Проблема собственных значений

415

3.

Введение операторов а, а+ и N

416

4.

Спектр и базисная система оператора N

417

5.

Представление {N}

419

6.

Операторы рождения и уничтожения

420

7.

Представление {Q}. Полиномы Эрмита

422

Раздел II. Приложения и различные свойства

423

8. Производящая функция собственных функций un(Q)

423

9. Интегрирование уравнений Гейзенберга

425

10. Классический и квантовый осцилляторы

426

11. Движение минимизирующего волнового пакета и классический предел

427

12. Гармонические осцилляторы в термодинамическом равновесии

429

Раздел III. Изотропные многомерные гармонические осцилляторы

432

13. Общее исследование изотропного осциллятора в р измерениях

432

14. Изотропный осциллятор в двух измерениях

434

15. Изотропный осциллятор в трех измерениях

437

Задачи и упражнения

440

Дополнение А. Обобщенные функции, "функция" δ и преобразование Фурье

443

Дополнение Б. Специальные функции и связанные с ними формулы

457

Предметный указатель

473

Предметный указатель

Абсолютно интегрируемые функции

Атомная спектроскопия 32

450

Атомный спектр 32

- черное тело 21

Базисная система функций 201

Алгебра коммутаторов 204

- - наблюдаемой 267

- проекторов 258

Барн 358

Амплитуда рассеяния 359

Барьер потенциальный 92, 101, 233

- - кулоновская 406

Бра-вектор 242

Антилинейное соответствие 242

Вакуум 421

Атом Бора 33

Вектор базисный 241

- водорода 32, 395

- волновой 25

- Резерфорда 20, 32

- плотности потока вероятности 124

Атомизм действия 51, 118

- правый, левый 268

Атомная спектроскопия 32

Векторное пространство 240

Атомный спектр 32

Вероятность 58, 119, 178, 189, 289,

Базисная система функций 201

322

- - наблюдаемой 267

- перехода 38

Абсолютно интегрируемые функции

Взаимности свойство 92, 112

450

ВКБ метод 226

- черное тело 21

Водородоподобные атомы 396

Алгебра коммутаторов 204

Волновая механика 55, 314

- проекторов 258

- теория излучения 17

Амплитуда рассеяния 359

- функция 68, 119

- - кулоновская 406

- - в импульсном пространстве 122

Антилинейное соответствие 242

Волновое уравнение 68, 76, 303, 395

Атом Бора 33

- - для свободной частицы 71

- водорода 32, 395

Волновой пакет 59, 89

- Резерфорда 20, 32

- - гауссовый 133

Атомизм действия 51, 118

- - и его расплывание 83, 218

Комптоновская длина волны 25

Модель атома Резерфорда 20, 32

Координаты обобщенные 41

Момент импульса 335

- параболические 397

Наблюдаемые 188, 254

- сферические 397

- коммутирующие 198

Корпускулярная теория вещества 17,

Невырожденный спектр 96

37

Некоммутативная алгебра 270

Корпускулярно-волновой дуализм

Непрерывный спектр 96, 190, 254

118

Неравенство Шварца 165, 243

- - - и дополнительность 155

Несвязанные состояния 80, 348

Коэффициент прохождения 92, 112

Норма вектора 243

Кратность вырождения 85

- функции 164

Кулоновское взаимодействие 394

Обобщенная функция 442

Лабораторная система 366

- - медленного роста 451

Лапласиан 71

Обобщенной функции

Лармора частота 52

дифференцирование 446

Лауэ пятна 65

- - преобразование Фурье 451

Левый вектор 268

Обобщенные импульсы Лагранжа 42

Линейная суперпозиция 288

- координаты 41

Линейное пространство 164

Обратный оператор 246

Линейно независимые векторы 241

Оператор 70

Линейные операторы 245

- антиэрмитов 251

Линии спектральные 32

- Даламбера 73

Логарифмическая производная 87

- дифференциальный 70

Лоренца теория электронов 19, 33

- Лапласа 71

Магнитное квантовое число 48

- линейный 70

Матрица 268

- положительно определенный 324

- бесконечная 274

- присоединенный 249

- диагональная 271

- проектирования 255

- единичная 270

- рождения 421, 435

- квадратная 270

- самосопряженный 251

- комплексно сопряженная 268

- унитарный 252, 284

- ортогональная 271

- уничтожения 421, 435

- плотности 321

- эволюции 302

- постоянная 270

- эрмитов 123, 251

- сингулярная 271

- эрмитово сопряженный 249

- транспонированная 268

Определитель Вронского 103, 463

- унитарная 271

- матрицы 271

- эрмитово сопряженная 269

Опыт Франка и Герца 34

Матричная алгебра 269

- Штерна и Герлаха 35

- механика 54

Опыты Мейера и Герлаха 24

Метастабильные состояния 384, 385

Орбита квантованная 47, 403

Метод ВКБ 226

Ортогональные проекторы 259, 260

- - условия применимости 229

- функции 113, 164