Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

матан Бесов - весь 2012

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

16.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2917 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

A B

μA

A = Pk, Pi ∩ Pk = i = k,

k=1

μA μPk.

k=1

! " μA# A

0 0

A = Pk = Qj , Pi ∩ Pk = , Qj ∩ Ql = j = l,

Pk Qj $



μPk =	μ(Pk ∩ Qj ) =	μQj .
k	k,j	j

% P # & P =

=Pk ' (

k=1

! A ) *

# int A A *

μ(int A) = μA = μA.

A B

&◦

0 μA μB, A B;	+
(◦
μ(A B) μA + μB;	,

§
+◦
μ(A B) = μA + μB,							A ∩ B = .	-
μ(A \ B) = μA − μB,							B A.	.
) # +							/ -
0 A B & 1
m			r
0			0
A = Pk,	B =		Qj ,		Pk, Qj
k=1			j=1	Qi ∩ Qk = i = k,
Pi ∩ Pk = i = k,				Qi ∩ Qk = i = k,
			m			r
A B =			m			r
A B =		0 Pk 0 Qj ,
		k=1				j=1
' Pk ∩ Qj = k, j
$
			m			r

μ(A B) =				μPk +		μQj ,
			k=1			j=1
	m					r

μA =	μPk,			μB =		μQj ,
k=1						j=1
- 2# -			+ , 3
μ(A B) = μ(A \ (A ∩ B)) + μB μA + μB.
2# - .	! E
	! E
Rn 4
μ E = sup μA,				μ E = inf μB,
A E						B E

A B A E B E #

E Rn

μ E = μ E

μE

E μ E = μ E = μE.

!	" #
	n = 2

n = 3 $

! & ' ( %) *

( + * + ( *

(+ * + (

, ( E $ ,

( μE > 0 ( E

' (

# R

# E R -(

[0, 1] μ E = 0 μ E = 1

# E ×{0} R2 E

% % , ( {rj }∞1 $

( ( -( (0, 1) 0 < ε < 12

D = 0∞ rj − 2εj , rj + 2εj R1,

j=1

G = (D × [0, 1)) ((0, 1) × (−1, 0)) R2.

G ( , G

/ (

( G+ = D × (0, 1)

μ G+ = 1, μ G+ ∞ 2ε = 2ε < 1.

j=1 2j

/ (

E Rn

ε > 0 Fε Gε

Fε E Gε μ(Gε \ Fε) < ε

/ ( E, FRn

"◦ E F E ∩ F

μ(E F ) + μ(E ∩ F ) = μE + μF ;

&◦ E \ F

μ(E \ F ) = μE − μF, F E.

0 , (

! -(

1 (2

E F

E Rn x(0) E y(0) E

x(0) y(0)

z(0) ∂E

x(0) y(0)

E z(0)

! " " #

U (z(0)) E

E $ z(0) ∂E

E Rn

D Rn ∂E D

B E D

% Q E D # Q \ D

		l		m
Q \ D =		0	0	0
Q \ D =		Pk		Pk	,
		k=1		k=l+1
Pk &k = 1 m' !
E ∩ Pk =	1 k l,
		E ∩ Pk =			l + 1 k m.
( Pk E 1 k l " )
%	Pk * P E P D
l
P =

k=1

B = E D = P D,

E Rn

μ∂E = 0

% 1◦ E

# ! ε > 0 ! "

Aε Bε

Aε E Bε, μBε − μAε < ε.

+ Aε " "

Bε " & ), ) )'

# ∂E Bε \ Aε - "

&), ) .'

μ ∂E μ(Bε \ Aε) = μBε − μAε < ε.

+ μ ∂E = 0 $ ∂E

μ∂E = 0

2◦	E μ∂E = 0
ε > 0	# Dε
∂E Dε μDε < ε
	Bε = E Dε, Aε = Bε \ Dε.

/ Bε Aε " 0 ), ) ) 1

Aε E Bε,

μAε μ E μ E μBε = μAε + μDε < μAε + ε.

2 !

0 μ E − μ E < ε.

$ μ E = μ E E

! " #

" #$ % #

E F

E F E ∩ F E \ F

∂(E F ) ∂E ∂F, ∂(E ∩F ) ∂E ∂F, ∂(E \F ) ∂E ∂F.

x(0) ∂(E F )

U (x(0))

E F E F !

U (x(0)) E " x(0) ∂E# ! F " x(0)∂F # x(0) ∂E ∂F ∂(E F ) ∂E

∂F

$ " %# μ∂E = 0

μ∂F = 0 ε > 0 B1 B2 & ! '

∂E B1 μB1 < ε ∂F B2 μB2 < ε

∂(E F ) ∂E ∂F B1 B2 $ ' %( % )

μ ∂(E F ) μ(B1 B2) μB1 + μB2 < 2ε.

μ∂(E F ) = 0 *

!+ E F

, E ∩

∩ F E \ F

E, F Rn


%◦
	0 μE μF, E F ;	"%#
)◦
	μ(E F ) μE + μF ;	")#
-◦
	μ(E F ) = μE + μF, E ∩ F = .	"-#

. E F

) "%# ")# /

' %( % )

0 "-# A1 A2 & ! '

A1 E, A2 F.

A1 ∩ A2 = , A1 A2 E F.

$ "%( % 1# "%# ")#

μA1 + μA2 = μ(A1 A2) μ(E F ) μE + μF.

A1 E A2 F *

μE + μF μ(E F ) μE + μF,

"-#

E Rn

E int E μE =

=μ(int E) = μE

. E *

μ∂E = 0

E = E ∂E, int E = E \ ∂E,

2 ) -

' /

f F → R

F Rn x = (x1, . . . , xn) (x, xn+1) = (x1, . . . , xn, xn+1)

E = {(x, xn+1) Rn+1 : x F, xn+1 = f (x)}

f (n + 1)

μn+1E E f !

! " #

ε > 0 δ = δε > 0 : |f (x) − f (y)| < ε

x, y E, |x − y| < δ.

$ ˜ ˜ n %$"

P F P R

& $ ! !' ( δ

$ P1 Pm ' !

F ) Pj " $ x(j) Pj

Qj Pj × [f (x(j)) − ε, f (x(j)) + ε] Rn+1.

* f F ∩Pj

	# E	m
Q	# E	% Q
j		j
		j=1
' + !
	m
		˜
		˜
	μn+1E	2εμPj 2εμP .
	j=1
)		ε > 0 μn+1E = 0
μn+1E = 0

F Rn μF = 0

E = F × [a, b] Rn+1 μn+1E = = 0

ε > 0 Bε

$ Rn

F Bε, μBε < ε.

, Bε × [a, b] $ Rn+1

E Bε × [a, b],

μ +1E μn+1(Bε × [a, b]) < ε(b − a).

) ε > 0 μn+1E = 0 μn+1E = = 0

F = {(x, y) R2 : a x b, 0 y f (x)},

f ! [a, b] f 0 [a, b]

! . ! /

! 0

E Rn μE = 0

Uδ (E) {x Rn : inf |x − y| < δ}

y E

δ E δ > 0

μ Uδ (E) → 0 δ → 0

μE = 0 ε > 0

Bε = Pk $

k=1

E Bε, μBε < ε.

$ Pk $ P k $

& + Pk $ $

$ Pk 1 $ ! ,
˜	n	˜	n	˜		%	˜
μP k = 2 μPk μBε < 2 ε				Bε		m	P k 2
μP k = 2 μPk μBε < 2 ε				Bε			P k 2
						k=1
				˜	δ		(0, δ(Bε)),
	δ(Bε) > 0 : Uδ (E) Bε				δ		(0, δ(Bε)),

˜ n

μ Uδ (E) μBε < 2 ε

E Rn

τ = {Ei}i1τ

◦	μ(Ei ∩ Ej ) = 0 i = j
◦	%
	iτ
	Ei = E
	i=1
\|τ \| =		max diam(Ei)
	1 i iτ
τ
! " # $ τ = {Ei}1iτ
			iτ

		μE =		μEi.
% μE μE			i=1
% μE μE
		iτ
		i # &
		i=1
		iτ	iτ	iτ
	μE μ	0(int Ei) =		μ(int Ei) = μEi.
	i=1		i=1	i=1
τ				τ ' $ (
E Rn		) # τ τ

$ τ τ τ

*$# Ej τ + Ei τ , Ej Ei - $ # E $* *+

& ,

◦ τ1 τ2 τ2 τ3 τ1 τ3◦ *$ τ1 τ2 + " τ τ τ1

τ τ2

& ! " #

" $ τ (

& Ei(1) ∩ Ej(2) # Ei(1) τ1

Ej(2) τ2

ERn . "/ f τ = {Ei}i1τ

' $ E 0 " Ei " " *(
$ " ξ(i) E
i 1 #
	iτ
Sτ (f ; ξ(1), . . . , ξ(iτ ))
Sτ (f ; ξ(1), . . . , ξ(iτ ))	f (ξ(i))μEi
	i=1

. "/ f

E Rn " I

" #
	iτ
	iτ
			< ε
ε > 0 δ = δ(ε) > 0 :		f (ξ(i))μEi − I	< ε

i=1

*$ $ τ E " * |τ | < δ

*$ $ "

2 . "/ * f *

3 # . "/ f E $

	!!	!
!	!!	!
f (x) dx	. . .	f (x1, . . . , xn) dx1 . . .dxn.
E	E
	E

	f (x) dx lim Sτ (f ; ξ1(1), . . . , ξ(iτ )),
E	\|τ \|→0

" " &

ε, δ( 4

E f (x) dx

n 2 n = 2

n = 3

n = 1

! "#

n 2

$ n = 2 % E "

# &' ()

y				E =			({0} × (0, 2])
y

					U1((0, 3))
				" f ) E → R
	3

2						1	0 < y 1,
2						1
				f (x, y) =		y
				f (x, y) =
				""		0	y > 1.
0		* +, +	x			0	y > 1.
0		* +, +	x
				- f E

E f (x, y) dx dy = 0

. % ERn E /int E0

/ %

1 0 2 %

2◦ § +, 3 "# "#

{τk}∞1 |τk| → 0 k → ∞

f ! E " ! ! # E

4 # %

E = [a, b]

$ % E

int E 4 E

f %

D Rn

ω(f ; D) = sup	\|f (x) − f (y)\| = sup f − inf f.
x,y D	D	D

$ ! f

E R	n # #

ε > 0 δ = δε > 0 :			ωi(f )μEi < ε τ : \|τ \| < δ,	/+0
		1 i iτ
		μEi>0
! ωi(f ) ω(f ; Ei) {Ei}1iτ			%
E
4			% n = 1
E = [a, b] +5 3 +
6 %
)	lim		ωi(f )μEi = 0,
				/30

|τ |→0

1 i iτ μEi>0

/ε, δ0 /+0

$ f

% E Rn τ = {Ei}i1τ 7

E $ %

mi inf f,	Mi sup f.
Ei	Ei

iτ	iτ

Sτ (f ) miμEi, Sτ (f ) MiμEi

i=1

f τ

Sτ (f )

Sτ (f ) Sτ (f ) Sτ (f ).

iτ

Sτ (f ) − Sτ (f ) = ωi(f )μEi.

i=1

! ! "

#$% & "

' ( )

E Rn f

ε > 0 δ = δ(ε) > 0 : Sτ (f ) − Sτ (f ) < ε τ : |τ | < δ.

E !Rn

Sτ (f ) f (x) dx Sτ (f ),

! "

ε > 0 δ = δ(ε) > 0 : Sτ (f ) − Sτ (f ) < ε τ : |τ | < δ.

* & [a, b]

! $+$, #

! + #n = 1 E = [a, b]% -

' !

* f [a, b]

! $+$, . #! "

$+$ $% $+ ,$

ε > 0 {[xj−1, xj ]}k1

[a, b]

ω(f ; [xj−1, xj ])Δxj < ε.

j=1

* τ = {Ei}i1τ / !

[a, b] τ0 / ! ' & Ei τ

! ! 0 "

[xj−1, xj ] 1 Ei τ0 $2 ,$ Ei

U2|τ |(E0) E0 = {xi}k0 μE0 = 0 . !

|f | M [a, b]

iτ

ω(f ; Ei)μEi =	ω(f ; Ei)μEi +	ω(f ; Ei)μEi
i=1	i:Ei τ \τ0	i:Ei τ0

k ω(f ; [xj−1, xj ])Δxj + 2M μ U2|τ |(E0) < ε + 2M ε,

j=1

! 3 ! '

τ |τ | ! $2 , 4 5

# ,% f "

[a, b] ! +

6 ! '

f !

! E Rn f E

( 7 f 5 "

0 8 !

! E . 3 ! E ω(δ, f ) →

→ 0 ! δ → 0
iτ		iτ
ωi(f )μEi	ω(\|τ \|; f )μEi = ω(\|τ \|; f )μE → 0
i=1		i=1	! \|τ \| → 0.
			! \|τ \| → 0.

5 f "

1◦ E ! "

! !

dx 1 dx = μE.

2◦ E E ! # $ E E$

f E "

τ = {E }iτ

i 1 ! %

E |τ | %

τ = {Ei}i1τ E |τ | = |τ | &

$ {E }iτ

i 1 ' # %

% E \E ( %$

) * |τ | "

ωi(f )μEi ωi(f )μEi.

1 i iτ	1 i iτ
μE >0	μEi>0
i

+ f E

$ , ,

( |τ | → 0 '

, ( |τ | → 0 -

f E

3◦ ./ 0

F $ G Rn #$ F ∩G = $ E F

G f 1 E → R ,
F G " f E
!	!	!
f (x) dx =	f (x) dx +	f (x) dx.
E	F	G

τ = {Ei} ! %

E$ τ0 ! ) Ei τ $ #)

Ei ∩ F = $ Ei ∩ G = $

τ (F ) = {Ei ∩ F : Ei τ, Ei ∩ F = },

τ (G) = {Ei ∩ G : Ei τ, Ei ∩ G = }.

Sτ (f ) = f (x(i))μEi !

2 f % τ E

, # , x(i)$ i = 1$ $ iτ Sτ (F )(f )$ Sτ (G)(f ) ! # # f

F G $ #

% τ (F ) τ (G) . 0

, # ,$ , Sτ (f ) "$ ,$ , |f (x)| M

x E$				0
			2M μEi = 2M μ Ei. .0
Sτ (f )− Sτ (F )(f )− Sτ (G)(f )
	3$ , Ei τ0		Ei τ0	Ei τ0
			$
		Ei U2\|τ \|(∂F ).		.0

- $ x Ei ∩F $ y Ei ∩G " $

(* , x y$ 4 , z ∂F " |x − z| |x − y| |τ |

μ∂F = 0 $. 0 # $ , , . 0

( \|τ \| → 0		" , . 0
( "!		Sτ (G)(f ) →	!
Sτ (F )(f ) →	f (x) dx,		f (x) dx,
F	"	"	G
(,$ , Sτ (f ) →		F f (x) dx + G f (x) dx$
3◦

$ , % ,

f E

3◦ %

4◦ f ,

E 4 ,

E0 E

! !		!	!
f (x) dx =	f (x) dx +	f (x) dx =	f (x) dx.
E	E\E0	E0	E\E0

E f (x) dx f E0

E E

!	!			!
f (x) dx,			f (x) dx,	f (x) dx
E		E		int E

5◦ ! " f g

# E $ α β R % &

!	!	!
[αf (x) + βg(x)] dx = α	f (x) dx + β	g(x) dx.
E	E	E

6◦ " f g

E % $ f g inf |g| > 0

f				E
f			E
g			E
	7◦ " f E %
\|f \| E $ '
		!		!
				\|f (x)\| dx.
			f (x) dx	\|f (x)\| dx.
	8◦	E		E
	8◦	( ) f g
E f g E
		!	f (x) dx	!
			f (x) dx	g(x) dx.
	9◦	E		E
	9◦	" $

# " f

# E {Ek}∞1 * $

# Ek E

lim μEk = μE.

k→∞

% lim			f (x) dx =			f (x) dx
	k→∞	Ek			E

!		!
!		!				!
	f (x) dx −				=			sup \|f \|μ(E \ Ek).
	f (x) dx −			f (x) dx	=		f (x) dx	sup \|f \|μ(E \ Ek).
	E		E				E\E	E
				k			k

10◦ " f

# G "" f $

x(0) G f (x(0)) > 0 % G f (x) dx > 0

+ $

f x(0) & Uδ (x(0)) G

f (x) > f (x(0)) 2

! ! !

f (x) dx =

f (x) dx +

x Uδ (x(0)).

f (x) dx f (x(0)) μUδ (x(0)) > 0.

G	G\Uδ (x(0))	Uδ (x(0))
	11◦ % " f g

# E ) g

E m f M E &

λ [m, M!]	!
f (x)g(x) dx = λ	g(x) dx.
E	E

) $ ' E * , f $

E	!	!
	c E :	f (x)g(x) dx = f (c) g(x) dx.
	E	E

+ $ g ≡ 1

f (x) dx = f (c)μE.

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2917 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.08.201977.21 Кб9Лето 10 класс.docx
#
03.06.201562.17 Кб12Линал экзамен.pdf
#
09.11.20191.25 Mб38Логарифм. нерав.9.doc
#
17.07.20192.02 Mб6ман.docx
#
03.06.2015241.78 Кб40Массивы.pdf
#
03.06.201516.85 Mб31матан Бесов - весь 2012.pdf
#
03.06.201584.55 Кб14МатСтатистика. Программа.pdf
#
27.03.20165.39 Mб57Мессиа том 1.pdf
#
08.11.2018434.18 Кб17Метод.реком.по самост.работе -МПОСР-2011.doc
#
27.03.2016656.27 Кб115Методические указания. РТ цепи и сигналы. Озерский.pdf
#
27.11.2019594.94 Кб13Методичка по Деталям машин и ОК исправленная.doc