4.6. Принцип гарантированного результата в задачах линейного программирования

В предыдущем разделе мы рассмотрели случай, когда лицо, принимающее решение, может выбирать параметры задачи в некотором диапазоне. Однако на практике часто встречаются случаи, когда ЛПР не знает в точности некоторых параметров задачи, причем они от него не зависят. В этом случае при определении параметров при постановке задачи многое зависит от характера ЛПР, от типа его личности. Встречаются ЛПР азартные, которые надеются на наилучший расклад, сулящий наибольший выигрыш, бывают ЛПР осторожные, ориентирующиеся на наихудшие условия, некоторые рассчитывают на усредненные параметры. Многое также зависит и от характера решаемой задачи – насколько допустим риск.

Здесь мы рассмотрим случай осторожного ЛПР, стремящегося в наихудших условиях получить наилучший в этих условиях результат. Такой тип ЛПР исповедует так называемый принцип гарантированного результата. В данном разделе мы ограничимся рассмотрением задач линейного программирования, в которых некоторые параметры заданы интервалами в которых лежат "истинные", но неизвестные ЛПР значения. Цель ЛПР (или его помощника-аналитика) при постановке задачи линейного программирования состоит в том, чтобы выбрать в некотором смысле наихудшие значения параметров из заданных интервалов (обычно это крайние значения) так, чтобы найденный при таких условиях оптимум был гарантированным, т.е. при любых других значениях параметров он не оказался бы хуже. Иными словами, если вдруг окажется, что истинные параметры отличаются от выбранных для решения задачи, то неприятной неожиданности не произойдет: результат окажется по крайней мере не хуже рассчитанного.

В качестве иллюстрации рассмотрим следующую задачу.

Задача

Предприятие планирует выпуск продукции на следующий год. Производственные возможности предприятия позволяют выпускать продукцию трех видов: А, В и С. Для производства этих видов продукции предприятию требуется закупить сырье, стоимость единицы которого в следующем году прогнозируется в интервале от 0,8 до 1 тыс. руб.. На закупку сырья предприятие может истратить не более 770 тыс. рублей. На производство единицы продукции вида А требуется от 70 до 80 единиц сырья, вида В – от 40 до 50 единиц, вида С – от 15 до 20 единиц. Производственные мощности предприятия ограничены 550 единицами, причем на производство единицы продукции указанных видов требуется 40, 80 и 120 единиц соответственно. Прогнозируемая цена выпускаемой продукции колеблется в пределах [320; 350], [400; 430], [240; 280] тыс. руб. соответственно.

Составить оптимальный план выпуска продукции, гарантирующий максимально возможную прибыль в предположении независимости неопределенных факторов, и значение этой прибыли. Издержками считать затраты на сырье.

Решение

Представим данные в табличном виде:

	А	В	С	Запас ресурсов
Сырье	7080	4050	1520	770/(0,81)
Пр. мощности	40	80	120	550
Цена продукции	320350	400430	240280
План пр-ва	х1	х2	х3

Из диапазона значений параметров выберем наихудшие для производителя (уменьшающие прибыль). Для расхода и стоимости сырья это, очевидно, максимальные значения. Для цены произведенной продукции – минимальные. Составим таблицу с выбранными значениями:

	А	В	С	Запас ресурсов
Сырье	80	50	20	770
Пр. мощности	40	80	120	550
Цена продукции	320	400	240
План пр-ва	х1	х2	х3

Далее задача решается как обычная задача линейного программирования.

Составляем целевую функцию – прибыль от реализации продукции (с учетом или без учета издержек – не важно, поскольку они фиксированы) и ограничения на ресурсы:

Поскольку имеем три переменные и два ограничения, решаем задачу графически путем перехода к двойственной:

Изобразим допустимую область и линию уровня целевой функции – см. рис. 4.20. Очевидно, решение будет находиться в точке пересечения линий 1 и 2. Поскольку в этой точке ограничение 3 не активно, то в оптимальной точке прямой задачи . Поскольку эта точка не лежит на осях координат (координаты положительны), то оба ограничения в прямой задаче в оптимальной точке должны выполняться как равенства:

Ответ: . Максимальный гарантированный доход равен 3.680 тыс руб., а прибыль, соответственно 3.680 – 770 = 2.910 тыс. руб.