- •7.Система линейных алгебраических уравнений. Запись в матричной форме. Кронекера-Капелли.
- •8. . Однородная система линейных алгебраических уравнений. Структура общего решения
- •Структура общего решения неоднородной системы
- •12. Линейный оператор, Матрица линейного оператора.
- •Линейный оператор
- •Матрица линейного оператора
- •Примеры.
- •18. Смешанное произведение векторов Условие компланарности. Смешанное произведение в координатной форме.
- •Смешанное произведение в координатах
4. Обратная матрица .Условие существования обратной матрицы. Единственность обратной матрицы
Обратная матрица
Определение. Если существует квадратная матрица X той же размерности, что и матрица A, удовлетворяющая соотношениям A·X=X·A=E, то матрица A называется обратимой, а матрица X называется обратной к матрице A и обозначается A-1.
Здесь E — единичная матрица соответствующей размерности.Т.е. A·A-1= A-1·A=E.
Пример.
Теорема о существовании обратной матрицы. Если , то матрицаA обратима и
.
Здесь — алгебраическое дополнение элемента матрицы A.
5. Приведение матрицы к ступенчатому виду и гауссовой форме .Линейная зависимость системы столбцов.
Линейная зависимость и линейная независимость в Rn
Определение. Линейной комбинацией векторов называется выражение , где коэффициенты линейной комбинации — некоторые числа.
Определение. Говорят, что вектор пространства Rn линейно выражается через векторы , если его можно представить в виде линейной комбинации этих элементов , т.е. представить в виде .
Определение. Система векторов из Rn называется линейно независимой если из следует равенство нулю всех коэффициентов , .
Иными словами, линейная комбинация векторов равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты линейной комбинации равны нулю.
Определение. Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейно независимой.
Иными словами, существуют такие коэффициенты линейной комбинации , не все равные нулю , что .
Или: линейная комбинация векторов может обратиться в нуль, хотя не все коэффициенты линейной комбинации равны нулю.
Пример. Исследуем на линейную зависимость векторы из R3.
Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее нулю:
Т.е. линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда все ее коэффициенты нулевые — векторы линейно независимы.
Пример. Исследуем на линейную зависимость систему векторов из R3.
Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее нулю:
Пусть, например, , тогда , т.е. существует нулевая линейная комбинация с отличными от нуля коэффициентами — векторы — линейно зависимы.
Приведение матрицы к ступенчатому виду Гауссовым исключением
Утверждение. Любую прямоугольную матрицу можно с помощью элементарных преобразований привести к ступенчатой форме.
Это утверждение на лекции доказано.
Пример. Приведем к ступенчатой форме матрицу .
Алгоритм приведения матрицы к ступенчатой форме с помощью элементарных преобразований называют Гауссовым исключением или методом Гаусса
6. Теорема о ранге матриц. Теорема о базисном миноре.
Ранг матрицы
Определение. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк матрицы. Обозначаем RgA, rgA.
Т.е., если ранг матрицы равен r, то среди строк матрицы есть r линейно независимых строк, а любые r +1 строки — линейно зависимы.
Определение. Матрицы, имеющие одинаковый ранг, называются подобными.
Утверждение. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.
Базис в Rn. Координаты вектора в заданном базисе. Линейные операции в координатной форме
Определение. Система векторов из Rn образует базис в Rn если:
система векторов упорядочена;
система векторов линейно независима;
любой вектор из Rn линейно выражается через векторы системы.
Иными словами, линейно независимая упорядоченная система векторов
Образует базис в Rn если любой вектор из Rn может быть представлен в виде .
Определение. Выражение называется разложением вектора в базисе , а числа называются координатами вектора в базисе .
Пример. Нетрудно доказать, что система арифметических векторов
линейно независима (см. пример с ) и что для любого из Rn система векторов линейно зависима, поскольку любой вектор линейно выражается через : . Т.е. в Rn существует базис, состоящий из n векторов. Базис называется естественным базисом в Rn, и компоненты вектора — его координаты в естественном базисе.
Справедливо следующее утверждение.
7.Система линейных алгебраических уравнений. Запись в матричной форме. Кронекера-Капелли.
Фундаментальная система решений однородной системы. Структура общего решения однородной системы
Вспомним, что решения однородной системы — векторы из Rn. Вспомним также, что в силу свойств решений линейной однородной системы множество L ее решений — линейное подпространство в Rn. Действительно: если и — два решения однородной системы , то при любых действительных числах α и β вектор — решение системы , иначе говоря, для любых и и любого числах α и . Доказано также, что если ранг r матрицы системы меньше числа неизвестных n, то система имеет ненулевые решения.
Определение. Выражение, позволяющее вычислить все (любое) решения системы, называется общим решением системы.
Теорема (теорема Кронекера-Капелли). Для того, чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы совпадал с рангом матрицы системы.
матричная система
Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия
Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных :
Определение. Решением системы называется совокупность n значений неизвестных , при подстановке которых все уравнения системы
обращаются в тождества.
8. . Однородная система линейных алгебраических уравнений. Структура общего решения
Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений.
Если ранг r матрицы однородной системы линейных уравнений меньше числа неизвестных n, то общее решение системы можно записать в виде линейной комбинации решений фундаментальной системы: .
Пример 1. Исследуем однородную систему линейных алгебраических уравнений
Исследовать однородную систему — ответить на вопрос является ли система нетривиально совместной, и если является, то найти ее общее решение.
Решение. Решим задачу методом Гаусса-Жордана.
Приведем матрицу системы к ступенчатому виду, выполняя элементарные преобразования строк (прямой ход метода Гаусса):
Ранг матрицы системы равен r = 2, число неизвестных n =4, r < n — система нетривиально совместна. Кроме того, очевидно, множества решений исходной системы и системы с преобразованной матрицей совпадают.
Продолжим преобразование матрицы системы, выполняя элементарные операции со строками так, чтобы базисный минор матрицы стал единичным (обратный ход метода Гаусса):
.
Запишем эквивалентную систему уравнений:
Главный минор матрицы этой системы — .
Следовательно, переменные — базисные переменные, а — свободные.
Перенесем свободные переменные вправо:
Получили выражение базисных переменных через свободные. Такое выражение — общее решение однородной системы, записанное «на языке систем».
Найдем базис в подпространстве решений системы (фундаментальную систему). Для этого положим значения свободных переменных равными и вычислим базисные переменные:
Тогда вектор — решение однородной системы.
Затем положим значения свободных переменных равными и вычислим базисные переменные:
Тогда вектор — решение однородной системы.
Векторы — линейно независимые решения однородной системы размерность пространства решений которой d = n– r = 4 – 2 = 2, т.е. — базис пространства решений.
Запишем общее решение системы:
.
9. Неоднородная система линейных алгебраических уравнений. Структура общего решения