- •9)Вычислите .
- •10) Найдите размерность и какой-нибудь базис пространства решений уравнения
- •12) Определите ранг матрицы
- •13) Найдите матрицу X из уравнения
- •14) Является ли система векторов a1=(1,1,1,1), a2=(1,2,3,4), a3=(5,6,7,8), a4=(4,3,2,1), a5=(1,1,-1,-1) линейно зависимой?
- •15) Запишите квадратичную форму, имеющую данную матрицу
- •16) С помощью правила Крамера решите систему уравнений
- •17) Найдите матрицу перехода от базиса e1=(3, 2), e2=(2, 1) к базису e1’=(2, −2), e2’=(−1, 6)
- •20) Найдите размерность и базис линейной оболочки системы столбцов
- •23) Найдите общее решение системы линейных уравнений
- •24) Выясните, являются ли векторы a1=(2, −3, 1), a 2=(3, −1,5), a3=(1, −4, 3) линейно зависимыми.
- •27) Найдите фундаментальную систему решений системы линейных уравнений
- •30) Найдите размерность пространства решений уравнения
- •42) Найдите какие-нибудь матрицы A и В второго порядка, для которых rang (AB)≠rang(BA), или докажите, что таких матриц не существует.
- •43) Является ли линейным пространством множество всех матриц второго порядка (с обычными операциями), у каждого из которых линейно зависимые строки?
- •59) Найдите собственные векторы и собственные значения оператора дифференцирования в пространстве бесконечно дифференцируемых функций.
- •79) Является ли линейным пространством множество всех квадратичных форм с обычными операциями сложения и умножения на вещественные числа?
- •81) Укажите какой-нибудь базис пространства всех симметричных матриц второго порядка.
- •86) Найдите собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей
- •91) Запишите в матричном виде квадратичную форму
- •93) Образует ли линейное пространство множество всех невырожденных матриц второго порядка с обычными операциями сложения матриц и умножения матриц на вещественные числа?
- •95) Найдите матрицу линейного функционала, который каждой строке чисел из R3 ставит в соответствие сумму этих чисел.
- •101) Всегда ли произведение симметричных матриц является симметричной матрицей?
- •102) Решите матричное уравнение
- •103) Приведите пример матрицы A размера 3х3, у которой все элементы разные и rang(A)=1, или докажите, что такой матрицы не существует.
- •118) Определите координаты концов A и B отрезка, который точками C(2, 2) и D(1, 5) разделён на три равные части.
- •121) Отрезок с концами в точках А(3, −2) и В(6, 4) разделен на три равные части. Найдите координаты точек деления.
- •122) Даны две смежные вершины параллелограмма А(-2, 6), В(2,8) и точка пересечения его диагоналей М(2, 2). Найдите две другие вершины.
- •123) Разложите вектор v(3,−2) по векторам e1(1, 3), e2(2, −1).
- •124) Даны вершины треугольника: А(1,1), В(4,1), С(4,5). Найдите косинусы углов треугольника.
- •125) Найдите все значения параметра a, при которых точки А(1, а), В(3, 2−а), С(а, −5) лежат на одной прямой.
- •130) Вычислите площадь треугольника ABC с вершинами А(1,1,1), В(2,3,4), С(4,3,2).
- •131) Вычислите объём тетраэдра с вершинами А(1,1,1), В(2,0,2), С(2,2,2), D(3,4,−3).
- •135) При каком значении параметра a точки А(1, 2, 3), В(2, -1,5) и С(-1, а, -1) расположены на одной прямой?
- •По следствию 9.10 теоремы 9.19 эти плоскости не являются параллельными. Следовательно, они пересекаются не под прямым углом, поскольку также 1*1+2*0+3*3 отлично от нуля.
- •144) Нарисуйте параллелепипед и укажите те его диагонали, которые соответствуют векторам a+b-c и a-b+c, если векторы a, b, c соответствуют ребрам этого параллелепипеда.
- •145) Нарисуйте параллелепипед и укажите те его диагонали, которые соответствуют векторам a+b-c и a-b+c, если векторы a, b, c соответствуют ребрам этого параллелепипеда.
- •152) Начало координат перенесено в точку (2, 1), а оси координат повернуты на угол 60 градусов. Как в такой системе координат будут записываться координаты прежнего начала координат?
- •165) Найдите какой-нибудь базис в пространстве всех векторов их R3, перпендикулярных вектору {1,2,3}.
- •166) При параллельном переносе точка А(1, 2, 3) переходит в точку А’(3,1,2). В какую точку переходит точка В(2, 3, 1)?
- •189) Укажите какой-нибудь базис в пространства всех квадратичных матриц на R2 (с обычными операциями).
- •194) Образует ли линейное пространство множество всех ступенчатых матриц третьего порядка с обычными операциями?
Решебник по линейной алгебре
Издание второе, дополненное
Москва, 2012
ОГЛАВЛЕНИЕ
1)
A
ПРОВЕРЬТЕ СПРАВЕДЛИВОСТЬ РАВЕНСТВА DET(AB)=DET(A)·DET(B) ДЛЯ |
|
|||||||
1 |
2 |
5 |
6 |
|
||||
|
|
|
|
B |
|
|
....................................................................................................................................... |
14 |
|
3 |
4 |
|
|
7 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
2) КАКИЕ НЕИЗВЕСТНЫЕ СЛЕДУЮЩЕЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МОЖНО ОБЪЯВИТЬ
ГЛАВНЫМИ:
x |
3x |
2 |
3x |
3 |
x |
4 |
8 |
||
|
1 |
|
|
|
|
||||
x |
3x |
|
3x |
|
x |
|
2 |
||
|
2 |
3 |
4 |
||||||
1 |
|
|
|
|
? ......................................................................................................... |
15 |
3) НАЙДИТЕ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ И ОДНО ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
5x |
3x |
2 |
5x |
3 |
12x |
4 |
8 |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2x1 |
2x2 |
3x3 |
5x4 |
4 |
|
|
|
|
|
|||||
УРАВНЕНИЙ |
|
|
|
|
16 |
|||||||||
|
x |
7x |
|
9x |
|
4x |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4) КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА |
Q( X ) 25 x 2 |
14 x x |
2 |
2x 2 |
ЗАДАНА В БАЗИСЕ E1, E2. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
ЗАПИШИТЕ ЭТУ КВАДРАТИЧНУЮ ФОРМУ В БАЗИСЕ E1’=E1+E2, E2’=E1−E2. .................................. |
17 |
5) |
ПРОВЕРЬТЕ ТОЖДЕСТВО (AB)*=B*A* ДЛЯ A 4 5 6 И |
6) |
НАЙДИТЕ ВСЕ ВЕКТОРЫ, ПЕРЕХОДЯЩИЕ В ВЕКТОР 1, |
B
0,
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
................................... |
18 |
||
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
1 ПОД ДЕЙСТВИЕМ |
|
1 |
|
|
2 |
ОПЕРАТОРА, ЗАДАННОГО МАТРИЦЕЙ |
|
|
5 |
|
7) ВЫЧИСЛИТЕ РАНГ МАТРИЦЫ AB, ЕСЛИ
5 |
|
4 |
||
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
8 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
2 |
|
, |
B |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
............................................................ |
|
19 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
6 . .............................................. |
20 |
8) НАЙДИТЕ СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО |
|
|||||||
|
|
|
|
|
4 |
0 |
|
|
ОПЕРАТОРА, ЗАДАННОГО МАТРИЦЕЙ |
|
. ................................................................................... |
21 |
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
3 |
3 |
4 |
3 |
|
|
|
||
|
0 |
6 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
||||
9)ВЫЧИСЛИТЕ det |
5 |
4 |
2 |
1 |
. ........................................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
3 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10) НАЙДИТЕ РАЗМЕРНОСТЬ И КАКОЙ-НИБУДЬ БАЗИС ПРОСТРАНСТВА РЕШЕНИЙ
УРАВНЕНИЯ
|
1 |
|
|
|
2 |
|
3 x |
|
|
|
1 |
|
6 |
|
|
x2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
................................................................................................................23
11) НАЙДИТЕ ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС, В КОТОРОМ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА |
|
||||
Q( X ) 4x 2 |
10 x x |
2 |
4x 2 |
ИМЕЕТ КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД.............................................................. |
24 |
1 |
1 |
2 |
|
|
2
1 |
|
|
|
12) ОПРЕДЕЛИТЕ РАНГ МАТРИЦЫ A |
4 |
|
7 |
|
13) НАЙДИТЕ МАТРИЦУ X ИЗ УРАВНЕНИЯ
2 5 8
21
3 |
|
6 |
|
|
|
9 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
3 |
................................................................................. |
|
|
25 |
2 |
1 |
|
|
X |
|
.......................................................... |
26 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
14) ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ A1=(1,1,1,1), A2=(1,2,3,4), A3=(5,6,7,8), A4=(4,3,2,1), A5=(1,1,- |
|
1,-1) ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМОЙ?.......................................................................................................................... |
27 |
15) ЗАПИШИТЕ КВАДРАТИЧНУЮ ФОРМУ, ИМЕЮЩУЮ ДАННУЮ МАТРИЦУ
1 |
2 |
3 |
||
|
|
|
|
|
A |
2 |
4 |
5 |
|
|
3 |
5 |
6 |
|
|
|
.....................................................................................................................................................................................28
16) С ПОМОЩЬЮ ПРАВИЛА КРАМЕРА РЕШИТЕ СИСТЕМУ УРАВНЕНИЙ
3x |
|
5x |
2 |
2 |
|||
|
1 |
|
|
|
|||
x |
9x |
|
4 |
||||
|
2 |
||||||
1 |
|
|
|
|
........29
17) НАЙДИТЕ МАТРИЦУ ПЕРЕХОДА ОТ БАЗИСА E1=(3, 2), E2=(2, 1) К БАЗИСУ E1’=(2, −2), E2’=(−1,
6) .................................................................................................................................................................................30
3 |
5 |
|
||
18) ВЫЧИСЛИТЕ A-1, ЕСЛИ A |
|
|
......................................................................................................... |
31 |
|
5 |
9 |
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
19) ЗАДАНЫ МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА В НЕКОТОРОМ БАЗИСЕ A |
|
|
|
И |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
МАТРИЦА ПЕРЕХОДА К ДРУГОМУ БАЗИСУ T |
|
|
. НАЙДИТЕ МАТРИЦУ ОПЕРАТОРА В |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
НОВОМ БАЗИСЕ. ................................................................................................................................................... |
|
|
32 |
20) НАЙДИТЕ РАЗМЕРНОСТЬ И БАЗИС ЛИНЕЙНОЙ ОБОЛОЧКИ СИСТЕМЫ СТОЛБЦОВ
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
1 |
A |
|
|
2 |
|
A |
|
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
1 |
2 |
|
2 |
3 |
|
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
21) МОГУТ ЛИ МАТРИЦЫ
A4
1
2
1 |
||
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
.............................................................................................................. |
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1
ИБЫТЬ МАТРИЦАМИ ОДНОГО ОПЕРАТОРА В
2 2
РАЗЛИЧНЫХ БАЗИСАХ? .................................................................................................................................... |
34 |
22) РЕШИТЕ МАТРИЧНОЕ УРАВНЕНИЕ
2 |
1 |
3 |
2 |
2 |
||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
41
, ГДЕ X −
МАТРИЦА РАЗМЕРА 2 Х 2. ................................................................................................................................. |
35 |
23) НАЙДИТЕ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
x |
2x |
2 |
x |
3 |
||
|
1 |
|
|
|||
x |
2x |
|
x |
|
||
|
2 |
3 |
||||
1 |
|
|
1
1
......36
24) ВЫЯСНИТЕ, ЯВЛЯЮТСЯ ЛИ ВЕКТОРЫ A1=(2, −3, 1), A 2=(3, −1,5), A3=(1, −4, 3) ЛИНЕЙНО |
|
ЗАВИСИМЫМИ...................................................................................................................................................... |
37 |
3
|
|
x |
2x |
2 |
x |
3 |
1 |
|
|
25) ПОЛУЧИТЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ |
1 |
|
|
|
В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ |
||||
x |
2x |
|
x |
|
1 |
||||
|
|
|
2 |
3 |
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
X A |
1 |
B |
|
|
|
|
|
|
38 |
|
|
|
|
|
|
|
26) НАЙДИТЕ РАНГ МАТРИЦЫ
1 |
2 |
1 |
|
|
2 |
3 |
2 |
|
|||
|
3 |
1 |
3 |
|
. СКОЛЬКО НЕЗАВИСИМЫХ СТРОК
СОДЕРЖИТ ЭТА МАТРИЦА? СКОЛЬКО НЕЗАВИСИМЫХ СТОЛБЦОВ СОДЕРЖИТ ЭТА |
|
||||
МАТРИЦА? .............................................................................................................................................................. |
|
|
|
|
39 |
27) НАЙДИТЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНУЮ СИСТЕМУ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ |
|
||||
x |
2x |
|
x |
0 |
|
УРАВНЕНИЙ 1 |
|
2 |
3 |
....................................................................................................................... |
40 |
x1 x2 x3 0 |
|
1 |
2 |
3 |
5 |
|
|
28) РЕШИТЕ МАТРИЧНОЕ УРАВНЕНИЕ X |
|
|
41 |
||
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
29)
X
НАЙДИТЕ РАЗМЕРНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА РЕШЕНИЙ МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ |
|
||||||
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, ГДЕ X − МАТРИЦА РАЗМЕРА 2 Х 2...................................................................................... |
42 |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30) НАЙДИТЕ РАЗМЕРНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ |
|
|||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
X |
0 |
.............................................................................................................................. |
43 |
|
|
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31) КАК ЗАВИСИТ РАНГ МАТРИЦЫ А |
1 |
|
1 |
|
ОТ ЧИСЛА Λ? .................................................. |
44 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32) |
ВЫЧИСЛИТЕ РАНГ МАТРИЦЫ AB, ЕСЛИ A |
2 |
, B 4 5 6 .............................................. |
45 |
|||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33) |
КАКОВА РАЗМЕРНОСТЬ ЯДРА И ОБЛАСТИ ЗНАЧЕНИЙ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА С |
|
|||||
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ МНОГОЧЛЕНОМ ( ) ( 1)( 2) .............................................. |
46 |
||||||
34) |
ОПЕРАТОР ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ПЕРЕВОДИТ ПРОСТРАНСТВО С БАЗИСОМ |
|
|||||
e1 |
cos x , e2 |
sin x В СЕБЯ. НАЙДИТЕ МАТРИЦУ ЭТОГО ОПЕРАТОРА. ....................................... |
47 |
||||
35) |
НАЙДИТЕ СИММЕТРИЧНУЮ БИЛИНЕЙНУЮ ФОРМУ В, О КОТОРОЙ ИЗВЕСТНО, ЧТО |
|
|||||
B(x, x) x 2 6x x |
2 |
3x 2 ПРИ ВСЕХ x R3 .............................................................................................. |
|
|
48 |
||
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
36) |
ПУСТЬ |
|
|
− ОДНА ИЗ МАТРИЦ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА. ЕСТЬ ЛИ СРЕДИ |
|
||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
МАТРИЦ ЭТОГО ОПЕРАТОРА ДИАГОНАЛЬНАЯ? .................................................................................... |
49 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
37) ПРОВЕРЬТЕ, ЧТО ФОРМУЛА Q( X ) det x1 |
x2 |
x3 |
ОПРЕДЕЛЯЕТ НА ПРОСТРАНСТВЕ |
|
x2 |
x1 |
|
x3 |
|
||
R3 КВАДРАТИЧНУЮ ФОРМУ, И НАЙДИТЕ ЕЕ МАТРИЦУ |
......................................................................50 |
4
38) ПРОВЕРЬТЕ, ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ЛИ ФОРМУЛА
x |
y |
|
x |
|
|
||
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
det |
1 |
2 |
3 |
|
|||
|
y |
x |
|
y |
|
|
|
|
2 |
3 |
|
||||
1 |
|
|
НА ПРОСТРАНСТВЕ R3
БИЛИНЕЙНУЮ ФОРМУ, И В СЛУЧАЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ОТВЕТА НАЙДИТЕ ЕЕ МАТРИЦУ. |
|||
..................................................................................................................................................................................... |
|
|
51 |
39) НАЙДИТЕ КАКУЮ-НИБУДЬ СИСТЕМУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С МНОЖЕСТВОМ |
|
||
РЕШЕНИЙ C,2C,3C : C . ...................................................................................................................... |
52 |
||
40) |
НАЙДИТЕ КАКУЮ-НИБУДЬ СИСТЕМУ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДЛЯ |
|
|
КОТОРОЙ СТРОКИ (1, 2, 3) И (4, 5, 6) ЯВЛЯЮТСЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ СИСТЕМОЙ |
|
||
РЕШЕНИЙ (Т.Е. БАЗИС В ПРОСТРАНСТВЕ РЕШЕНИЙ ЭТОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ), ИЛИ |
|
||
ДОКАЖИТЕ, ЧТО ТАКОЙ СИСТЕМЫ НЕ СУЩЕСТВУЕТ. ...................................................................... |
53 |
||
41) |
СОВПАДАЮТ ЛИ ЛИНЕЙНЫЕ ОБОЛОЧКИ lin(a1 , a2 ) И lin(b1 ,b2 ) , ГДЕ |
|
|
a1 |
1, 2, 3 , a2 4, 5, 6 , b1 3, 2, 1 , b2 6, 5, 4 ?................................................................................ |
54 |
|
42) |
НАЙДИТЕ КАКИЕ-НИБУДЬ МАТРИЦЫ A И В ВТОРОГО ПОРЯДКА, ДЛЯ КОТОРЫХ RANG |
||
(AB)≠RANG(BA), ИЛИ ДОКАЖИТЕ, ЧТО ТАКИХ МАТРИЦ НЕ СУЩЕСТВУЕТ. ................................ |
55 |
||
43) |
ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ ЛИНЕЙНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ МНОЖЕСТВО ВСЕХ МАТРИЦ ВТОРОГО |
|
|
ПОРЯДКА (С ОБЫЧНЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ), У КАЖДОГО ИЗ КОТОРЫХ ЛИНЕЙНО |
|
||
ЗАВИСИМЫЕ СТРОКИ? ...................................................................................................................................... |
56 |
||
44) |
НАЙДИТЕ КАКОЙ-НИБУДЬ БАЗИС В ПРОСТРАНСТВЕ ВСЕХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА |
||
(С ОБЫЧНЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ), У КАЖДОЙ ИЗ КОТОРЫХ СУММА ДИАГОНАЛЬНЫХ |
|
||
ЭЛЕМЕНТОВ РАВНА НУЛЮ, И ВЫЧИСЛИТЕ КООРДИНАТЫ МАТРИЦЫ |
|
||
|
1 |
2 |
|
A |
ОТНОСИТЕЛЬНО ЭТОГО БАЗИСА. ....................................................................................... |
57 |
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
45) НАЙДИТЕ РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОЙ ОБОЛОЧКИ СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ
1 |
2 |
3 |
4 |
|
A |
|
|
|
|
|
6 |
7 |
8 |
9 |
|
5 10
........................................................................................................................................58
48) НАЙДИТЕ ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС, В КОТОРОМ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
Q x |
2 |
|
|
1 |
|
4x x |
2 |
1 |
4x |
2 |
|
2 |
||
|
ИМЕЕТ КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД. ............................................................................ |
61 |
50) НАЙДИТЕ КАКУЮ-НИБУДЬ СИСТЕМУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ, ВСЯКОЕ РЕШЕНИЕ
КОТОРОЙ МОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ В ВИДЕ (3+С, 2−2С, 1−3С) ПРИ НЕКОТОРОМ
C R
............63
|
2 |
1 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
51) НАЙДИТЕ A-1 |
ДЛЯ A |
0 |
2 |
1 . ................................................................................................... |
64 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
5 |
|
1 |
1 |
3 |
4 |
|
|
53) ДОКАЖИТЕ, ЧТО МАТРИЦЫ |
|
, |
|
|
|
, |
|
|
, |
|
ОБРАЗУЮТ БАЗИС В |
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
3 |
|
1 |
5 |
7 |
|
||
ПРОСТРАНСТВЕ ВСЕХ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА, И НАЙДИТЕ |
|||||||||||
|
|
5 |
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
КООРДИНАТНЫЙ СТОЛБЕЦ МАТРИЦЫ |
|
|
|
|
. .................................................................................. |
|
|
|
|
66 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
55) ОТОБРАЖЕНИЕ |
: L1 L2 |
ПРОСТРАНСТВА ДВУХМЕРНЫХ СТРОК В ПРОСТРАНСТВО |
||
|
|
x |
y |
|
КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА ЗАДАНО ФОРМУЛОЙ ((x, y)) |
|
. |
||
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
ДОКАЖИТЕ ЛИНЕЙНОСТЬ ЭТОГО ОТОБРАЖЕНИЯ И НАЙДИТЕ ЕГО МАТРИЦУ В КАКИХ- |
|
НИБУДЬ БАЗИСАХ. .............................................................................................................................................. |
68 |
5
56) ОТОБРАЖЕНИЕ |
: L1 |
L2 |
ПРОСТРАНСТВА КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО |
ПОРЯДКА В СЕБЯ ПЕРЕВОДИТ ВСЯКУЮ МАТРИЦУ А В ТРАНСПОНИРОВАННУЮ МАТРИЦУ |
|||
А*, Т.Е. ( A) A*. НАЙДИТЕ МАТРИЦУ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА В КАКОМ-НИБУДЬ |
|||
БАЗИСЕ..................................................................................................................................................................... |
|
|
69 |
57) ОТОБРАЖЕНИЕ |
: L1 |
L2 |
ПРОСТРАНСТВА КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО |
ПОРЯДКА В СЕБЯ ЗАДАНО ФОРМУЛОЙ
( A)
A B
, ГДЕ
1 |
2 |
||
B |
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
− ЗАДАННАЯ
МАТРИЦА. НАЙДИТЕ МАТРИЦУ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА В КАКОМ-НИБУДЬ БАЗИСЕ....... |
70 |
59) НАЙДИТЕ СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ОПЕРАТОРА |
|
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ |
|
ФУНКЦИЙ. .............................................................................................................................................................. |
72 |
60) ЯВЛЯЮТСЯ ЛИ ЭЛЕМЕНТЫ ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ [−Π, Π] |
|
ФУНКЦИЙ SIN(X) И COS(X) ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ОТНОСИТЕЛЬНО СКАЛЯРНОГО |
|
ПРОИЗВЕДЕНИЯ
|
|
f , g |
|
|
|
f
(x)g(x)dx
?..................................................................................................... |
73 |
61) |
НАЙДИТЕ ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС, В КОТОРОМ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА |
|
||||||||||
|
2 |
4x1 x2 4x2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q x1 |
|
ИМЕЕТ КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД. ........................................................................... |
74 |
|||||||||
62) |
ЛИНЕЙНОЕ ПОДПРОСТРАНСТВО R3 В НЕКОТОРОМ ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ |
|
||||||||||
ЗАДАНО УРАВНЕНИЕМ x1 x2 x3 0 . НАЙДИТЕ КАКОЙ-НИБУДЬ |
|
|||||||||||
ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС ЭТОГО ПОДПРОСТРАНСТВА. ........................................................ |
75 |
|||||||||||
64) |
НАЙДИТЕ ОРТОГОНАЛЬНУЮ ПРОЕКЦИЮ xM |
|
И ОРТОГОНАЛЬНУЮ |
|
||||||||
|
|
|||||||||||
СОСТАВЛЯЮЩУЮ xM |
|
ВЕКТОРА x (7, 3, |
1) |
НА ПОДПРОСТРАНСТВО М, |
|
|||||||
|
|
|||||||||||
ПОРОЖДЕННОЕ ВЕКТОРАМИ a1 |
(1, 1, 1) |
И a1 |
(4, 0, 5) . .................................................................... |
77 |
||||||||
65) |
ПУСТЬ x (x1 , x2 |
, |
x3 ) , y ( y1 |
, y2 , y3 ) |
. МОЖЕТ ЛИ ФУНКЦИЯ |
|
F (x, y) x y |
2x y |
2 |
2x |
2 |
y |
5x |
2 |
y |
2 |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
2x y |
3 |
1 |
2x |
3 |
y |
|
1 |
7x |
3 |
y |
3 |
|
|
СЛУЖИТЬ СКАЛЯРНЫМ
ПРОИЗВЕДЕНИЕМ?.............................................................................................................................................. |
|
|
|
|
|
78 |
66)???ПУСТЬ СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕКОТОРОГО |
||||||
БАЗИСА ЗАДАНО ФОРМУЛОЙ x |
y x y |
x y |
2 |
. НАЙДИТЕ ФОРМУЛУ ДЛЯ СКАЛЯРНОГО |
||
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 |
' (1, 2) |
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО НОВОГО БАЗИСА |
.......................................................79 |
|||||
|
|
|
|
|
e2 |
' (2, 1) |
67) НАЙДИТЕ ДЛИНУ ВЕКТОРА x (1, 1) |
ОТНОСИТЕЛЬНО СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ |
x |
y x y |
x y |
2 |
x y |
3x y |
2 . ................................................................................................................ |
|
|
|
|
80 |
||
|
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||
68) ПОСТРОЙТЕ ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС В ПОДПРОСТРАНСТВЕ R3, |
|||||||||||||
ПОРОЖДЕННОМ ВЕКТОРАМИ a1 1, 3, 1 , a2 |
4, 5, 3 . .............................................................. |
|
|
81 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
69) ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ САМОСОПРЯЖЕННЫМ ОПЕРАТОР С МАТРИЦЕЙ |
|
|
, ЕСЛИ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
МАТРИЦА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ |
|
?.......................................................................... |
|
|
82 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
70) НАЙДИТЕ МАТРИЦУ ОПЕРАТОРА, ПЕРЕВОДЯЩЕГО ВЕКТОРЫ ПЛОСКОСТИ В ИХ ПРОЕКЦИИ НА ПРЯМУЮ С УРАВНЕНИЕМ x y 0 , ОТНОСИТЕЛЬНО БАЗИСА ИЗ
ЕДИНИЧНЫХ ВЕКТОРОВ КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ. ................................................................................ |
83 |
6
71) НАЙДИТЕ ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА С МАТРИЦЕЙ
1 |
2 |
|
|
4 |
5 |
|
||
|
7 |
8 |
|
3 |
|
6 |
|
|
|
9 |
|
|
. ....................................84
72) НАЙДИТЕ ОБРАЗ ЕДИНИЧНОГО КВАДРАТА ПРИ ЛИНЕЙНОМ ОТОБРАЖЕНИИ С
|
|
|
|
|
y |
|
x 2x |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ФОРМУЛОЙ |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85 |
||||||||
y |
|
x x |
|
1 . ....................................................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
73) |
НАЙДИТЕ КООРДИНАТЫ МНОГОЧЛЕНА |
|
p(x) x |
3 |
3x |
2 |
1 ОТНОСИТЕЛЬНО БАЗИСА |
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
1, x, x |
2 |
, x |
3 |
И ОТНОСИТЕЛЬНО БАЗИСА 1, x, |
x |
2 |
, x |
3 |
x |
2 |
|
|
|
|
86 |
|||||||
|
|
|
|
|
. ....................................................................... |
|
|
|
||||||||||||||
74) |
НАЙДИТЕ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА Х ОТНОСИТЕЛЬНО БАЗИСА E1’ , E2’, ЕСЛИ ИЗВЕСТНЫ |
|||||||||||||||||||||
ЕГО КООРДИНАТЫ {1;4} ОТНОСИТЕЛЬНО БАЗИСА E1 , E2, ПРИЧЁМ E1’ =Е1+Е2, E2’=2Е1−Е2........87 |
||||||||||||||||||||||
75) |
НАЙДИТЕ УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ С ЗАДАННЫМИ В ОРТОНОРМИРОВАННОМ |
|||||||||||||||||||||
БАЗИСЕ КООРДИНАТАМИ a 4, 0, 2, 0, 4 И b 1, 3, 1, 3, 4 .................................................... |
|
88 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
76) |
НАЙДИТЕ БАЗИС, В КОТОРОМ ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР С МАТРИЦЕЙ |
БУДЕТ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
8 |
ИМЕТЬ ДИАГОНАЛЬНУЮ ФОРМУ. ............................................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
89 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
77) |
ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА |
Q 25 x1 |
|
14 x1 x2 2x2 |
ПОЛОЖИТЕЛЬНО |
|||||||||||||||||
ОПРЕДЕЛЕННОЙ ФОРМОЙ? ............................................................................................................................ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90 |
78) ПУСТЬ
1 |
2 |
|
A |
|
|
|
4 |
5 |
|
3 |
|
|
|
6 |
|
|
,
B 7 |
8 |
9
. НАЙДИТЕ
AB, A* B, A* B* , BA, B* A, B* A* ,
AB |
|
, BA |
|
|
|
В ТЕХ СЛУЧАЯХ, КОГДА УМНОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕНО. ........................................................................ |
91 |
|
79) |
ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ ЛИНЕЙНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ МНОЖЕСТВО ВСЕХ КВАДРАТИЧНЫХ |
|
ФОРМ С ОБЫЧНЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ НА ВЕЩЕСТВЕННЫЕ |
|
|
ЧИСЛА? .................................................................................................................................................................... |
92 |
|
80) |
ПРОВЕРЬТЕ, ЧТО СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА С МАТРИЦЕЙ |
|
5 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
8 |
|
|
ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ (ЭТО ОБЩЕЕ
СВОЙСТВО СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЦ).................................................................................................... |
93 |
81) УКАЖИТЕ КАКОЙ-НИБУДЬ БАЗИС ПРОСТРАНСТВА ВСЕХ СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЦ |
|
ВТОРОГО ПОРЯДКА. ........................................................................................................................................... |
94 |
|
1 |
2 |
5 |
6 |
|
|
|||
82) ПРОВЕРЬТЕ СПРАВЕДЛИВОСТЬ РАВЕНСТВА (AB)C=A(BC) ДЛЯ |
A |
|
|
|
, B |
|
|
|
, |
|
|
3 |
4 |
|
|
7 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
C |
|
.............................................................................................................................................................. |
95 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
83) |
ЛИНЕЙНОЕ ПОДПРОСТРАНСТВО R3 В НЕКОТОРОМ ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ |
||||||||||
ЗАДАНО УРАВНЕНИЕМ x1 2x2 |
x3 0 . НАЙДИТЕ КАКОЙ-НИБУДЬ |
|
|||||||||
ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС ЭТОГО ПОДПРОСТРАНСТВА. ........................................................ |
96 |
||||||||||
84) |
ОПРЕДЕЛИТЕ РАЗМЕРНОСТЬ И НАЙДИТЕ КАКОЙ-НИБУДЬ БАЗИС ЛИНЕЙНОЙ |
||||||||||
ОБОЛОЧКИ СИСТЕМЫ МНОГОЧЛЕНОВ p 3x2 2x 1, |
p |
2 |
4x2 3x 2 |
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
p |
3 |
3x2 2x 3 , p |
4 |
x2 x 1 |
, p |
5 |
4x2 3x 3. ............................................................................... |
|
|
|
97 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
85) |
ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ e x , e2 x , e3 x ИЗ ПРОСТРАНСТВА C ( ) ЛИНЕЙНО |
||||||||||
ЗАВИСИМОЙ? ........................................................................................................................................................ |
|
|
|
|
|
|
|
|
98 |
7
86) НАЙДИТЕ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ОПЕРАТОРА, |
|
ЗАДАННОГО МАТРИЦЕЙ................................................................................................................................... |
99 |
3 |
1 |
||
|
|
|
|
A |
0 |
2 |
|
|
0 |
1 |
|
|
|||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
..................................................................................................................................................99
87) НАЙДИТЕ ВЕКТОР, ДОПОЛНЯЮЩИЙ ДО ОРТОНОРМИРОВАННОГО БАЗИСА СИСТЕМУ
ВЕКТОРОВ
|
2 |
, |
1 |
, |
|
|
|
||
|
3 |
|
3 |
|
2 3
,
|
1 |
, |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
, |
|
3 |
||
|
2 3
.....................................................................................................100
88) ЗАПИШИТЕ В ВЕКТОРНОЙ ФОРМЕ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ
x |
2x |
2 |
x |
3 |
1 |
|
|
1
. ......................................101
89) ПРОВЕРЬТЕ, ЧТО ФОРМУЛА
x |
x |
2 |
x |
3 |
1 |
|
|
||
y |
y |
2 |
y |
3 |
1 |
|
|
||
1 |
2 |
3 |
ОПРЕДЕЛЯЕТ НА ПРОСТРАНСТВЕ R3
БИЛИНЕЙНУЮ |
ФОРМУ, И НАЙДИТЕ ЕЕ МАТРИЦУ. ............................................................................ |
102 |
|
90) |
ВЫЯСНИТЕ, |
ЯВЛЯЮТСЯ ЛИ ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫМИ ВЕКТОРЫ a1 |
1, 2, 3 , |
a2 |
4, 5, 6 , a3 |
7, 8, 9 . .............................................................................................................................. |
103 |
91) |
ЗАПИШИТЕ В МАТРИЧНОМ ВИДЕ КВАДРАТИЧНУЮ ФОРМУ |
|
Q(X ) 6x |
2 |
4x x |
|
4x x |
5x |
2 |
|
|
2 |
|
|||||
1 |
|
1 |
1 |
3 |
2 |
|
7x |
2 |
|
|
3 |
|
...................................................................................................104
92) ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННОЙ БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА
B( X ,Y ) 25x y |
7x y |
2 |
|
1 |
1 |
1 |
7x |
2 |
y |
|
1 |
2x |
2 |
y |
2 |
|
|
? ................................................................................................. |
105 |
93) ОБРАЗУЕТ ЛИ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО МНОЖЕСТВО ВСЕХ НЕВЫРОЖДЕННЫХ |
|
МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ОБЫЧНЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ СЛОЖЕНИЯ МАТРИЦ И |
|
УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ НА ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА? ...................................................................... |
106 |
94) ОСТАНЕТСЯ СТРОК a1 , . . . , a
ЛИ МНОЖЕСТВО RN ЛИНЕЙНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ, ЕСЛИ СУММОЙ |
|
n И b1 , . . . ,bn СЧИТАТЬ СТРОКУ a1b1 , . . . , an bn ? .............................................. |
107 |
95) |
НАЙДИТЕ МАТРИЦУ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА, КОТОРЫЙ КАЖДОЙ СТРОКЕ |
|
||||||||
ЧИСЕЛ ИЗ R3 СТАВИТ В СООТВЕТСТВИЕ СУММУ ЭТИХ ЧИСЕЛ..................................................... |
108 |
|||||||||
96) |
МОГУТ ЛИ ФОРМУЛЫ x 2 |
4x 2 |
И 4x |
2 x 2 БЫТЬ ФОРМУЛАМИ ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ |
||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ ДЛЯ РАЗНЫХ БАЗИСОВ? ............................................................................. |
109 |
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
97) |
МОЖЕТ ЛИ МАТРИЦА |
БЫТЬ МАТРИЦЕЙ ПЕРЕХОДА ОТ ОДНОГО |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
ОРТОНОРМИРОВАННОГО БАЗИСА К ДРУГОМУ ОРТОНОРМИРОВАННОМУ БАЗИСУ?.......... |
110 |
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
1 |
|
|
98) |
МОГУТ ЛИ МАТРИЦЫ |
И |
|
|
БЫТЬ ПОЛУЧЕНЫ ОДНА ИЗ ДРУГОЙ В |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
2 |
|
|
РЕЗУЛЬТАТЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ?.......................................................................... |
111 |
|||||||||
99) |
ОПРЕДЕЛИТЕ РАЗМЕРНОСТЬ МНОЖЕСТВА ЗНАЧЕНИЙ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА С |
|
||||||||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
МАТРИЦЕЙ |
. ................................................................................................................................... |
|
|
|
|
112 |
||||
|
|
7 |
8 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
100) НАЙДИТЕ КАКУЮ-НИБУДЬ МАТРИЦУ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА, КОТОРЫЙ КАЖДОМУ МНОГОЧЛЕНУ Р(Х) НЕ ВЫШЕ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ СТАВИТ В СООТВЕТСТВИЕ
ЧИСЛО
1
0
p(x)dx
. .................................................................................................................................................113
101) ВСЕГДА ЛИ ПРОИЗВЕДЕНИЕ СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЦ ЯВЛЯЕТСЯ СИММЕТРИЧНОЙ |
|
МАТРИЦЕЙ? ......................................................................................................................................................... |
114 |
102) РЕШИТЕ МАТРИЧНОЕ УРАВНЕНИЕ
|
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
|||
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
4 |
1 |
5 |
|
|
|
|
|
......................................115
103) ПРИВЕДИТЕ ПРИМЕР МАТРИЦЫ A РАЗМЕРА 3Х3, У КОТОРОЙ ВСЕ ЭЛЕМЕНТЫ РАЗНЫЕ
И RANG(A)=1, ИЛИ ДОКАЖИТЕ, ЧТО ТАКОЙ МАТРИЦЫ НЕ СУЩЕСТВУЕТ. .............................. |
116 |
104) НАЙДИТЕ КАКОЙ-НИБУДЬ БАЗИС В ПРОСТРАНСТВЕ ВСЕХ СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА (С ОБЫЧНЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ) И ВЫЧИСЛИТЕ КООРДИНАТЫ
1 |
2 |
|
|
|
|
A= |
|
|
|
ОТНОСИТЕЛЬНО ЭТОГО БАЗИСА. ......................................................................................... |
117 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
105) СОСТАВЬТЕ УРАВНЕНИЕ ВЫСОТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ABC, ПРОВЕДЕННОЙ ИЗ
ВЕРШИНЫ С, ГДЕ
A(0,1) ,
B(6,5)
, C
(12, 1)
. ..............................................................................................118
106) НАЙДИТЕ ДЛИНУ МЕДИАНЫ, ПРОВЕДЕННОЙ ИЗ ВЕРШИНЫ А, В ТРЕУГОЛЬНИКЕ ABC
С ВЕРШИНАМИ
A(3, 1,5)
, B
(4,2, 5)
, C
( 4,0,3)
.....................................................................................119
107) В КАКОЙ ТОЧКЕ ПРЯМАЯ, ПРОХОДЯЩАЯ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ
A( 1, 3,1)
, B(2,1, 4)
ПЕРЕСЕКАЕТ ПЛОСКОСТЬ x 2y z 8 0 ?....................................................................................... |
120 |
||||||||||||
108) НАПИШИТЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ |
|
||||||||||||
ПРЯМЫЕ |
x 3 |
|
y |
|
z 1 |
И |
x 1 |
|
y 1 |
|
z |
121 |
|
2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 . ..................................................................................... |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
109) НАПИШИТЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ
A( 4,3,0)
x 2 y z 4 |
|
|
|
|
|
|
|
ПАРАЛЛЕЛЬНО ПРЯМОЙ ................................................................................................. |
|
|
|
|
|
122 |
|
2x y z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
110) ОПРЕДЕЛИТЕ ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ |
x 1 |
|
y 3 |
|
z |
И ПЛОСКОСТИ |
|
2 |
4 |
3 |
|||||
|
|
|
|
||||
3x 3y 2z 5 0 ............................................................................................................................................ |
|
|
|
|
|
123 |
111) НАЙДИТЕ ПРОЕКЦИЮ ТОЧКИ
A(3, 5,7)
НА ПЛОСКОСТЬ
x y z
0
............................124
112) НАЙДИТЕ ПРОЕКЦИЮ ТОЧКИ
A(1,2)
НА ПРЯМУЮ
3x
y 9 0
.......................................125
113) |
ДОКАЖИТЕ, ЧТО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК С ВЕРШИНАМИ A( 3,5,6) , B(1, 5,7) , |
|
C(8, 3, 1) , D(4,7, 2) ЯВЛЯЕТСЯ КВАДРАТОМ.................................................................................... |
126 |
|
114) |
НАЙДИТЕ КООРДИНАТЫ ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ 2x y 3z 9 0 |
, |
x 2 y 2z 3 0 , 3x y 4z 6 0 . ...................................................................................................... |
127 |
|
|
2x 3y 3z 9 0 |
|
115) |
ПРИВЕДИТЕ ПРЯМУЮ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ: . ........................ |
128 |
|
4x 2y z 8 0 |
|
116) |
ДАНЫ ТРИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ВЕРШИНЫ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА |
|
A(11, 4) , B( 1, 1) , C(5, 7) . ОПРЕДЕЛИТЕ КООРДИНАТЫ ЧЕТВЁРТОЙ ВЕРШИНЫ. ................ |
129 |
|
117) |
НАЙДИТЕ РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ |
|
6x 3y 2z 5 0 И 6x 3y 2z 9 0. ............................................................................................... |
130 |
9
118) ОПРЕДЕЛИТЕ КООРДИНАТЫ КОНЦОВ A И B ОТРЕЗКА, КОТОРЫЙ ТОЧКАМИ C(2, 2) И |
|
D(1, 5) РАЗДЕЛЁН НА ТРИ РАВНЫЕ ЧАСТИ. .............................................................................................. |
131 |
119) СОСТАВЬТЕ КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
|
x y z 1 0 |
|
|
x 5y 2z 11 |
0
. .....................132
120) НАЙДИТЕ УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ
L |
: |
|
x 3t |
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
y 1 2t |
И L2
:
x 1 2t |
|
|
3t |
y 5 |
. .........................133
121) |
ОТРЕЗОК С КОНЦАМИ В ТОЧКАХ А(3, −2) И В(6, 4) РАЗДЕЛЕН НА ТРИ РАВНЫЕ ЧАСТИ. |
|
НАЙДИТЕ КООРДИНАТЫ ТОЧЕК ДЕЛЕНИЯ............................................................................................ |
134 |
|
122) |
ДАНЫ ДВЕ СМЕЖНЫЕ ВЕРШИНЫ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА А(-2, 6), В(2,8) И ТОЧКА |
|
ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ЕГО ДИАГОНАЛЕЙ М(2, 2). НАЙДИТЕ ДВЕ ДРУГИЕ ВЕРШИНЫ........................ |
135 |
|
123) |
РАЗЛОЖИТЕ ВЕКТОР V(3,−2) ПО ВЕКТОРАМ E1(1, 3), E2(2, −1). .................................................. |
136 |
124) |
ДАНЫ ВЕРШИНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА: А(1,1), В(4,1), С(4,5). НАЙДИТЕ КОСИНУСЫ УГЛОВ |
|
ТРЕУГОЛЬНИКА. ................................................................................................................................................ |
137 |
|
125) |
НАЙДИТЕ ВСЕ ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРА A, ПРИ КОТОРЫХ ТОЧКИ А(1, А), В(3, 2−А), С(А, |
|
−5) ЛЕЖАТ НА ОДНОЙ ПРЯМОЙ................................................................................................................... |
138 |
126) НАЙДИТЕ ДЛИНУ ВЫСОТЫ BD В
ABC
, ГДЕ А(-3, 0), В(2, 5), С(3, 2). ....................................... |
139 |
|
|
|
127) ОСИ КООРДИНАТ ПОВЕРНУТЫ НА УГОЛ 60 |
|
. КООРДИНАТЫ ТОЧКИ |
A( 3, 1) ОПРЕДЕЛЕНЫ В НОВОЙ СИСТЕМЕ. ВЫЧИСЛИТЕ КООРДИНАТЫ ЭТО ЖЕ ТОЧКИ В |
||
СТАРОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ. ................................................................................................................ |
|
140 |
128) НАЙДИТЕ ТОЧКУ, СИММЕТРИЧНУЮ ТОЧКЕ А(1, 2) ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЯМОЙ
3x
y 9
0
. ......................................................................................................................................................141
129) НАЙДИТЕ ЦЕНТР И РАДИУС КРУГА, ОПИСАННОГО ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА ABC С
ВЕРШИНАМИ
A(2,
2)
,
B( 5, 1)
, C
(3, 5)
....................................................................................................142
130) |
ВЫЧИСЛИТЕ ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА ABC С ВЕРШИНАМИ А(1,1,1), В(2,3,4), С(4,3,2). |
|
................................................................................................................................................................................... |
|
143 |
131) ВЫЧИСЛИТЕ ОБЪЁМ ТЕТРАЭДРА С ВЕРШИНАМИ А(1,1,1), В(2,0,2), С(2,2,2), D(3,4,−3). ...... |
144 |
|
132) СОСТАВЬТЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТРИ ТОЧКИ M1 (2, 3, 1) , |
||
M 2 |
(3, 1, 4) , M 3 (2, 1, 5) . ................................................................................................................................... |
145 |
133) ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ЛИ ПРЯМЫЕ
|
x 3 t |
|
|
|
|
y 1 2t |
||
|
z 4 |
|
|
||
|
И
x 2 y z 0
2x y 2z 0
?............................................ |
146 |
134) НАПИШИТЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ (3, 5, 1)
ПАРАЛЛЕЛЬНО ПРЯМОЙ
x 2 4t
y 3t
z 3
.........................................................................................................147
135) |
ПРИ КАКОМ ЗНАЧЕНИИ ПАРАМЕТРА A ТОЧКИ А(1, 2, 3), В(2, -1,5) И С(-1, А, -1) |
|
РАСПОЛОЖЕНЫ НА ОДНОЙ ПРЯМОЙ?..................................................................................................... |
148 |
|
136) |
НАЙДИТЕ КОСИНУС УГЛА МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ x 3y z 1 0 И x z 1 0 .. |
149 |
137) |
НАЙДИТЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ A(2, 1, 2) И B( 3, 2, 1) . |
|
................................................................................................................................................................................... |
|
150 |
10
138) ЗАПИШИТЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
x 1 |
|
y 2 |
|
z 1 |
|
2 |
1 |
1 |
|||
|
|
В ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ВИДЕ.
...................................................................................................................................................................................151
139) ОПРЕДЕЛИТЕ ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ:
x 2 y 3z 6
0
И
x 3z 6
0
........................................................................................................................................................152
ПО СЛЕДСТВИЮ 9.10 ТЕОРЕМЫ 9.19 ЭТИ ПЛОСКОСТИ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ. |
|
СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ОНИ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ НЕ ПОД ПРЯМЫМ УГЛОМ, ПОСКОЛЬКУ ТАКЖЕ |
|
1*1+2*0+3*3 ОТЛИЧНО ОТ НУЛЯ. .................................................................................................................. |
152 |
140) НАПИШИТЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ |
|
( 2, 1, 1)
ПАРАЛЛЕЛЬНО ВЕКТОРУ
P(1, 2,
3)
. .....................................................................................153
141) ПОКАЖИТЕ, ЧТО ТОЧКИ
A(2,
1, 2)
,
B(1,
2,
1)
,
C(2, 3,
0)
,
D(5, 0, 6)
ЛЕЖАТ В ОДНОЙ
ПЛОСКОСТИ. ....................................................................................................................................................... |
154 |
142) ПОКАЖИТЕ, ЧТО ВЕКТОРЫ a i 3 j
КОМПЛАНАРНЫ, И РАЗЛОЖИТЕ ВЕКТОР С
2k , b 2i 3
ПО ВЕКТОРАМ
j 4k |
, c 3i 12 j 6k |
A И B. |
.................................................155 |
143) ВЫЧИСЛИТЕ ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА, СТОРОНЫ КОТОРОГО - ВЕКТОРЫ
a k j
И b
i
j
k
...................................................................................................................................156
144) НАРИСУЙТЕ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД И УКАЖИТЕ ТЕ ЕГО ДИАГОНАЛИ, КОТОРЫЕ СООТВЕТСТВУЮТ ВЕКТОРАМ A+B-C И A-B+C, ЕСЛИ ВЕКТОРЫ A, B, C СООТВЕТСТВУЮТ
РЕБРАМ ЭТОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА. ...................................................................................................... |
|
|
|
|
|
157 |
|||
145) |
НАРИСУЙТЕ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД И УКАЖИТЕ ТЕ ЕГО ДИАГОНАЛИ, КОТОРЫЕ |
|
|||||||
СООТВЕТСТВУЮТ ВЕКТОРАМ A+B-C И A-B+C, ЕСЛИ ВЕКТОРЫ A, B, C СООТВЕТСТВУЮТ |
|||||||||
РЕБРАМ ЭТОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА. ...................................................................................................... |
|
|
|
|
|
158 |
|||
146) |
ПРОВЕРЬТЕ СПРАВЕДЛИВОСТЬ СВОЙСТВА a, b a И a, b b ДЛЯ ВЕКТОРОВ |
||||||||
a (1, 2, 3) И b (4, 5, 6) . .............................................................................................................................. |
|
|
|
|
|
159 |
|||
147) |
НАЙДИТЕ СКАЛЯРНОЕ И ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ a (1, 2, 3) |
И |
|||||||
b (4, 5, 6) . .......................................................................................................................................................... |
|
|
|
|
|
160 |
|||
148) |
КОМПЛАНАРНЫ ЛИ ВЕКТОРЫ a (3, 2, 1) , b (2, 3, 4) , |
c (3, 1, 1) ?.............................. |
161 |
||||||
149) |
НАЙДИТЕ КАНОНИЧЕСКОЕ ИЛИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ |
|
|||||||
2x y z 2 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
. .......................................................................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
162 |
2x y 3z 6 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
150) |
НАЙДИТЕ ТОЧКУ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ |
x 2 |
|
y 3 |
|
z 1 |
И ПЛОСКОСТИ |
||
|
1 |
|
|
||||||
|
|
1 |
4 |
|
|
||||
x 2 y 3z 14 0 ............................................................................................................................................ |
|
|
|
|
|
163 |
|||
151) |
НАЧАЛО КООРДИНАТ ПЕРЕНЕСЕНО В ТОЧКУ (1, 2), А ОСИ КООРДИНАТ ПОВЕРНУТЫ |
||||||||
НА УГОЛ 90 ГРАДУСОВ. КАК В ТАКОЙ СИСТЕМЕ БУДЕТ ЗАПИСЫВАТЬСЯ УРАВНЕНИЕ |
|||||||||
ПРЯМОЙ, ПРЕЖНЕЕ УРАВНЕНИЕ КОТОРОЙ 2x y 4 0 ?............................................................ |
|
|
|
164 |
|||||
152) |
НАЧАЛО КООРДИНАТ ПЕРЕНЕСЕНО В ТОЧКУ (2, 1), А ОСИ КООРДИНАТ ПОВЕРНУТЫ |
||||||||
НА УГОЛ 60 ГРАДУСОВ. КАК В ТАКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ БУДУТ ЗАПИСЫВАТЬСЯ |
|||||||||
КООРДИНАТЫ ПРЕЖНЕГО НАЧАЛА КООРДИНАТ? ............................................................................. |
|
|
|
|
|
165 |
|||
153) |
ЗАПИШИТЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ А(−3, 1) И В(1, 2), В |
||||||||
ВИДЕ Ax By C 0 ....................................................................................................................................... |
|
|
|
|
|
166 |
|||
154) |
НАЙДИТЕ КВАДРАТИЧНУЮ ФУНКЦИЮ, ГРАФИК КОТОРОЙ ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ |
||||||||
A1 ( 2, 12) , A2 (0, 2) , A3 (1, 0) ......................................................................................................................... |
|
|
|
|
|
167 |
11
155) ЗАПИШИТЕ В ВИДЕ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ A1 (2, 1, 3)
Ax By
, A2 ( 1,
Cz
2, 5)
,
D A3
(3,
0 УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ |
|
0, 1) . ................................................................................ |
168 |
156) ЗАПИШИТЕ УРАВНЕНИЕ И НАЙДИТЕ ЦЕНТР ОКРУЖНОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ |
|
ТОЧКИ A(1, 2) , B(2, 1) , C(0, 1) . ................................................................................................................... |
169 |
157) НАПИШИТЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ А |
|
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО ВЕКТОРУ BC , ГДЕ A(1, 2) , B(1, 2) , C( 1, 1) . .............................................. |
170 |
158) НАЙДИТЕ КАКИЕ-НИБУДЬ ДВА НЕНУЛЕВЫХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ МЕЖДУ ВЕКТОРА СРЕДИ ВСЕХ ВЕКТОРОВ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТИ 2x 2 y z 3
СОБОЙ |
|
0 . ...... |
171 |
159) |
НАЙДИТЕ УРАВНЕНИЕ КАКОЙ-НИБУДЬ ПРЯМОЙ, СОДЕРЖАЩЕЙСЯ В ПЛОСКОСТИ С |
|||
УРАВНЕНИЕМ x y 2z 6 0 . ................................................................................................................. |
|
|
172 |
|
160) |
НАЙДИТЕ УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРОМ a (1, 2, 3) |
И ВЕКТОРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ |
||
[a,b] , ГДЕ b (4, 5 6) ....................................................................................................................................... |
|
|
173 |
|
161) |
ПРОВЕРЬТЕ СВОЙСТВО СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ (a,b,c) |
[a,b],с |
ДЛЯ |
|
ВЕКТОРОВ a (1, 2, 3) b (3, 1, 2) c (2, 3, 1) . ...................................................................................... |
|
|
174 |
162) ВЫЧИСЛИТЕ
[a,b],b
ДЛЯ ВЕКТОРОВ
a (1, 2, 3) ,
b
(3, 1,
2)
. ...........................................175
163) СИММЕТРИЧНЫ ЛИ ТОЧКИ
A(1, 2, 1)
И
B(5,
4, 1)
ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЯМОЙ
x 1 |
|
y 2 |
|
z 1 |
? |
176 |
||
2 |
1 |
1 |
||||||
|
|
|
|
|||||
164) |
УКАЖИТЕ КАКОЙ-НИБУДЬ ВЕКТОР, ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЛОСКОСТИ x 2 y 3z 4 0 . |
|||||||
................................................................................................................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
177 |
|
165) |
НАЙДИТЕ КАКОЙ-НИБУДЬ БАЗИС В ПРОСТРАНСТВЕ ВСЕХ ВЕКТОРОВ ИХ R3, |
|
||||||
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ВЕКТОРУ {1,2,3}.................................................................................................... |
178 |
|||||||
166) |
ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ТОЧКА А(1, 2, 3) ПЕРЕХОДИТ В ТОЧКУ А’(3,1,2). В |
|||||||
КАКУЮ ТОЧКУ ПЕРЕХОДИТ ТОЧКА В(2, 3, 1)?........................................................................................ |
179 |
|||||||
167) |
НАПИШИТЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ОТНОСИТЕЛЬНО КОТОРОЙ СИММЕТРИЧНЫ |
|||||||
ТОЧКИ (1, 2, 3) И (3, 2, 1). .................................................................................................................................... |
180 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
x 2 y 3z 4 0 |
||
168) |
УКАЖИТЕ КАКОЙ-НИБУДЬ ВЕКТОР, ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПРЯМОЙ |
. 181 |
||||||
|
|
|
|
|
|
x y z 1 |
0 |
|
169) |
НАЙДИТЕ УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ a (2, 0, 1, 0, 2) И |
|
||||||
b (1, 3, 1, 3, 4) (КООРДИНАТЫ ЗАДАНЫ В ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ)..................... |
182 |
170) НАЙДИТЕ ТОЧКУ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ
x1
1
y 5 |
|
z 1 |
|
4 |
2 |
||
|
И ПЛОСКОСТИ
x 3y 7z 24 0 . .......................................................................................................................................... |
183 |
171) СОСТАВЬТЕ УРАВНЕНИЕ ВЫСОТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ABC, ПРОВЕДЕННОЙ ИЗ |
|
ВЕРШИНЫ С, ГДЕ
A( 4, 1) ,
B(2,
5)
,
C(8, 1)
.............................................................................................184
189) УКАЖИТЕ КАКОЙ-НИБУДЬ БАЗИС В ПРОСТРАНСТВА ВСЕХ КВАДРАТИЧНЫХ МАТРИЦ
НА R2 (С ОБЫЧНЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ). ...................................................................................................... |
187 |
|
2 |
0 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
190) НАЙДИТЕ A-1 |
ДЛЯ A |
1 |
2 |
1 ................................................................................................ |
188 |
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
12
191) В НЕКОТОРОМ БАЗИСЕ Е1, Е2 МАТРИЦА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ИМЕЕТ ВИД |
|
||||
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
. НАЙДИТЕ УГОЛ (В ГРАДУСАХ) МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ БАЗИСА................................ |
189 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
0 |
|
|
192) НАЙДИТЕ РАЗМЕРНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА ВСЕХ МАТРИЦ ВИДА |
|
|
, ГДЕ |
|
c |
|
|
b |
|
|
a b c 0 .......................................................................................................................................................... |
|
|
|
|
190 |
|
193) |
НАЙДИТЕ СИСТЕМУ УРАВНЕНИЙ, МНОЖЕСТВО РЕШЕНИЙ КОТОРОЙ СОВПАДАЕТ С |
|||||
ЛИНЕЙНОЙ ОБОЛОЧКОЙ ВЕКТОРОВ a(1, 2, 3) И b(4, 5, 6) . ............................................................. |
|
|
|
|
191 |
|
194) |
ОБРАЗУЕТ ЛИ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО МНОЖЕСТВО ВСЕХ СТУПЕНЧАТЫХ |
|||||
МАТРИЦ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ОБЫЧНЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ?...................................................... |
|
|
|
|
192 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
195) |
НАЙДИТЕ ВСЕ ВЕКТОРЫ, КОТОРЫЕ ОПЕРАТОР С МАТРИЦЕЙ |
|
|
|
ПЕРЕВОДЯТ В |
|
|
|
|
4 |
5 |
|
|
ВЕКТОР С КООРДИНАТАМИ 4, 8 |
|
6 |
|
|||
|
|
|
|
193 |
196) СРЕДИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
x |
|
2x |
2 |
2x |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2x |
|
2x |
|
x |
|||
|
|
2 |
|||||
|
1 |
|
|
|
3 3
1
1
НАЙДИТЕ
ТЕ, КОТОРЫЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ ВЕКТОРУ (1, 2, 3) ОТНОСИТЕЛЬНО ОБЫЧНОГО |
|
СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ.................................................................................................................... |
194 |
197) НАЙДИТЕ БАЗИС, В КОТОРОМ ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР С МАТРИЦЕЙ
|
1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
БУДЕТ
ИМЕТЬ ДИАГОНАЛЬНУЮ ФОРМУ. ............................................................................................................. |
195 |
198) ВЫЧИСЛИТЕ ОБРАТНУЮ МАТРИЦУ ДЛЯ МАТРИЦЫ
3 |
|
A |
|
|
5 |
|
4 |
|
|
|
6 |
|
|
. СДЕЛАЙТЕ
ПРОВЕРКУ, ОСНОВАННУЮ НА ОПРЕДЕЛЕНИИ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ. .................................... |
196 |
||
199) |
ПРИ КАКИХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРА |
ВЕКТОР a(5, 3, ) ПРИНАДЛЕЖИТ |
|
ЛИНЕЙНОЙ ОБОЛОЧКЕ ВЕКТОРОВ b(2, 3, 1) |
И c(3, 4, 2) ? ................................................................ |
197 |
|
200) |
НАЙДИТЕ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ОПЕРАТОРА, |
|
ЗАДАННОГО МАТРИЦЕЙ
1 |
1 |
||
|
|
|
|
A |
0 |
2 |
|
|
0 |
1 |
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
. ...........................................................................................198
Номера теорем в решебнике приведены в соответствие с нумерацией, принятой во втором издании учебника 2007 года.
13
1) Проверьте справедливость равенства det(AB)=det(A)·det(B) для |
1 |
2 |
5 |
|||||||||||||
A |
|
|
|
B |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
1 4 2 3 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
det(A) det |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
6 |
|
5 8 6 7 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
det(B) det |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det(A) det(B) 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
2 5 |
6 |
|
1 5 2 7 |
1 6 2 8 |
19 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|||
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 5 4 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 7 |
8 |
|
3 6 4 8 |
43 50 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
19 |
|
22 |
19 50 22 43 950 |
946 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
det(AB) det |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
8 |
|
|
.
14
2) Какие неизвестные следующей системы уравнений можно объявить главными:
x |
3x |
2 |
3x |
3 |
x |
4 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
3x |
|
3x |
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Приведем матрицу к ступенчатому виду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
3 |
|
3 |
|
1 |
|
|
8 |
|
|
1 |
3 |
|
3 |
|
1 |
|
8 |
|
|
|
1 |
3 |
3 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
3 |
|
1 |
|
2 |
|
|
0 |
|
6 |
6 |
|
2 |
6 |
|
|
|
0 |
3 |
3 |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
5 |
|
|
x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, то |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
3 |
|
|
3 |
1 |
|
2 |
|
|
x4 |
3 x2 |
x3 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь главными переменными являются x1, x4, а свободными x2, x3. (В соответствии с определением главных и свободных переменных1)
3
.
1 Страница 19.
15
3) Найдите общее решение и одно частное решение системы линейных уравнений
5x |
3x |
2 |
5x |
3 |
12x |
4 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2x1 |
2x2 |
3x3 |
5x4 |
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
7x |
|
9x |
|
4x |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Проведем преобразования Гаусса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5 |
3 |
5 12 |
8 |
|
|
|
|
|
0 |
32 40 |
8 |
32 |
|
|
0 4 5 1 4 |
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|||||||||||
|
2 |
2 |
3 |
5 |
4 |
|
~ |
|
|
|
0 |
12 15 |
3 |
12 |
|
~ |
|
0 4 5 1 4 |
|
~ |
|
0 |
|
4 |
5 |
1 |
4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 |
7 |
9 |
4 |
8 |
|
|
|
1 |
7 |
9 |
4 |
8 |
|
1 7 9 4 8 |
|
|
1 |
9 |
11 |
0 |
8 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда общее решение может быть записано как: |
x |
|
8 11x |
|
9x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
4 4x |
2 |
5x |
3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частное решение (например): (-8; 0; 0; 4).
.
16
2 |
14 x1 x2 |
2 |
4) Квадратичная форма Q( X ) 25 x1 |
2x2 |
квадратичную форму в базисе e1’=e1+e2, e2’=e1−e2.
Решение
Согласно следствию 7.2 теоремы 7.4 запишем:
задана в базисе e1, e2. Запишите эту
A T |
1 |
A T |
|
||
Обозначим: C AT |
||
Тогда : TA C |
, где А − матрица квадратичной формы в базисе e1, e2
25 |
7 1 |
1 |
18 |
32 |
||||
Рассчитаем промежуточную матрицу C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
2 |
|
|
|
5 |
9 |
|
|
1 |
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Проведем элементарные преобразования:
|
1 |
1 |
18 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
5 |
|
9
~
1 |
1 |
18 |
0 |
2 |
23 |
3231
1
0
0 |
18 23/ 2 |
32 31/ 2 |
|
|
|
|
|
1 |
23/ 2 |
31/ 2 |
|
|
Следовательно, матрица квадратичной формы в новом базисе выглядит следующим
образом:
A |
1 |
13 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
23 |
|
|
33 31
.
17
5) Проверьте тождество (AB)*=B*A* для |
A 4 |
5 |
|
Решение |
6
и
1 |
|
|
|
B |
1 |
|
2 |
|
.
По свойствам произведения матриц:
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
||
AB 4 |
|
|
1 |
|
|
|
(4 1 5 ( 1) 6 2 |
4 2 5 3 6 1) 11 |
29 |
|
5 |
6 |
|
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
B * A* |
|
|
|
|
5 |
|
. |
|
|
|
|
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18
6) Найдите все векторы, переходящие в вектор 1, |
0, |
|||||
1 |
5 |
4 |
3 |
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
1 |
|
|
заданного матрицей |
. |
|
||||
|
5 |
3 |
8 |
1 |
|
|
|
|
|
Решение
1
под действием оператора,
По теореме 7.1:
1 |
5 |
4 |
3 |
|
1 |
14 |
4 |
20 |
0 |
2 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
||||
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
1 |
2 |
1 |
|
0 |
|
|
7 |
2 |
10 |
0 |
1 |
|
|
21 |
6 |
30 |
0 |
|
|
|
~ |
|
~ |
||||||||||||||
|
5 |
3 |
8 |
1 |
|
1 |
|
|
5 |
3 |
8 |
1 |
1 |
|
|
10 |
6 |
16 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
7 |
2 |
10 |
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
11 |
0 |
14 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общее решение выглядит следующим образом:
|
x |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
x2 |
|
|
1 |
C1 |
|
7 |
C2 |
|
10 |
, C1 |
, C2 |
|
||||||
|
x |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
11 |
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
1 10x |
3 |
7x |
||
|
|
|
1 |
||||
2x |
|
2 14x |
|
11x |
|||
|
4 |
3 |
|||||
|
|
|
1 |
||||
R . |
|
|
|
|
|
0 32
~
19
7) Вычислите ранг матрицы AB, если
A
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
B 4 |
|
|
2 |
|
, |
5 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
6
.
Вычислим произведение матриц:
4 |
5 |
6 |
||
|
|
|
|
|
AB |
8 |
10 |
12 |
|
|
|
15 |
18 |
|
12 |
|
Заметим, что вторая и третья строка матрицы кратны первой, то есть могут быть получены из нее с помощью преобразований Гаусса. Иными словами, путём
элементарных преобразований, приходим к матрице
определению ранга матрицы.
4 |
5 |
|
|
0 |
0 |
|
||
|
0 |
0 |
|
6 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
, ранг которой равен 1 по
20
8) Найдите собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного
4 |
0 |
|
|
матрицей |
|
|
. |
|
1 |
4 |
|
|
|
Решение
По теореме 7.7 и определению характеристического многочлена2:
4 |
0 |
|
0 |
|
|
4 |
||
det |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
Таким образом, имеем два собственных значения и соответствующих им собственных вектора:
|
4 |
1 |
|
|
4 |
1 |
|
8 |
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
0 0
0 8
0 |
|
~ |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
x1
x |
|
0 |
1 |
|
|
8x |
2 |
|
|
|
Собственный вектор:
Собственный вектор:
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 Страница 85
21
9)Вычислите
3 |
3 |
4 |
||
|
0 |
6 |
1 |
|
|
||||
det |
|
|
|
|
|
5 |
4 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
||
|
2 |
3 |
3 |
|
|
3 |
|
||
1 |
|
|
|
|
. |
||
1 |
|
||
|
|||
|
|
||
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
Решение
3 |
3 |
4 |
3 |
|
||
|
0 |
6 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 (по теореме 2.4) |
||||
det |
5 |
4 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
2 |
3 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
22
10) Найдите размерность и какой-нибудь базис пространства решений уравнения
|
1 |
3 x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 x2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
0 |
1 |
3 |
0 |
получаем общее |
|
После элементарных преобразований |
|
|
|
~ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
||||
решение однородной системы линейных уравнений: x1 |
3x2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Базис: С |
(по определению базиса и замечанию 3.3) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что |
1 |
3 |
1 |
по определению ранга3. Тогда размерность пространства |
|
rang |
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
решений уравнения: |
|
|
|
|
|
dim n rang 2 1 1 |
(по теореме 6.2) |
3 Страница 61
23
11) Найдите ортонормированный базис, в котором квадратичная форма
Q( X ) 4x1 |
2 |
10 x1 x2 |
4x2 |
2 |
имеет канонический вид. |
|
|
Решение
По теореме 7.7 и определению характеристического многочлена:
4 |
5 |
|
0 |
|
|
1 |
||
det |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
5 |
4 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
Иначе говоря, матрица квадратичной формы имеет два собственных значения и соответствующих собственных вектора:
1 |
|
|
5 |
5 |
|
|
1 |
1 |
x1 x2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
Y1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
5 |
5 |
|
1 |
|
1 |
x1 |
x2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
Y2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Заметим, что векторы Y1 |
и Y2 ортогональны: |
Y1 |
Y2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
Тогда ортонормированный базис: P1 |
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(По определению ортонормированного базиса4)
1 1 1 1 0 Y |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
P |
Y |
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
|
||
2 |
Y |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
Y2 .
4 Страница 142
24
12) Определите ранг матрицы
1 |
2 |
3 |
||
|
|
|
|
|
A |
4 |
5 |
6 |
|
|
7 |
8 |
9 |
|
|
|
Решение
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Минор третьего порядка: det(A) det |
4 |
5 |
6 |
|
det |
4 |
5 |
|
7 |
8 |
9 |
|
|
8 |
10 |
|
|
|
1 |
2 |
|
5 8 3 |
|
Минор второго порядка: det |
|
|
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
Таким образом, rang(A)=2. (по определению ранга матрицы)
3 |
|
|
6 |
|
0 |
|
||
12 |
|
|
|
|
25