139) Определите взаимное расположение плоскостей:
Решение
По следствию 9.10 теоремы 9.19 эти плоскости не являются параллельными. Следовательно, они пересекаются не под прямым углом, поскольку также 1*1+2*0+3*3 отлично от нуля.
141) Покажите, что точки плоскости.
Решение
В соответствии с теоремой 9.14, а, точнее, пунктом 4 ее следствия, эти четыре точки в
пространстве |
принадлежат одной плоскости тогда и только тогда, когда |
1 2 |
2 1 |
1 2 |
2 2 |
3 1 |
0 2 0 . |
5 2 |
0 1 |
6 2 |
1 2 |
2 1 |
1 2 |
1 |
3 |
3 |
|
Действительно, 2 2 |
3 1 |
0 2 |
0 |
4 |
2 |
16 18 36 2 0 , то есть точки |
5 2 |
0 1 |
6 2 |
3 |
1 |
4 |
|
лежат на одной прямой.
142) Покажите, что векторы a i 3 j 2k , b 2i 3 j 4k компланарны, и разложите вектор с по векторам a и b.
Решение
Три вектора называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости. Или, в соответствии с пунктом 3 следствия 9.8 теоремы 9.14, если их смешанное произведение равняется нулю.
найдём |
смешанное |
произведение |
векторов: |
18 48 24 18 48 24 0 . |
Таким образом, векторы компланарны, то |
есть если расположить их таким образом, чтобы они выходили из одной точки, то эти векторы будут лежать в одной плоскости. Иными словами, векторы линейно зависимы, то есть один можно записать как линейную комбинацию двух других.
143) Вычислите площадь параллелограмма, стороны которого - векторы
b i j k .
Решение
По теореме 9.13 площадь параллелограмма может быть найдена, как длина векторного произведения (вектора). Запишем векторное произведение данных векторов:
i |
j |
k |
[a, b] 0 |
1 |
1 i j k i |
1 |
1 |
1 |
. Длина этого вектора равна
1 1 4
6
она же площадь параллелограмма со сторонами a и b.
