Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4604 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Институт экономики, управления и права
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Parysheva_Matematika_2_sem

.pdf
Скачиваний:
34
Добавлен:
01.06.2015
Размер:
490.77 Кб
Скачать
☆

Министерство образования и науки Российской Федерации Институт экономики, управления и права (г. Казань)

Е.А. Парышева

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по курсу «Математика»

(2 семестр)

для студентов заочного отделения экономического факультета

и факультета менеджмента и маркетинга

Казань - 2005 г.

УДК 311:33 075.8

ББК 65.051 я 73

Парышева Е.А.

Методические указания и контрольные задания по курсу «Математика» (2 семестр). – Казань: Издательство ИЭУП «Татглимат», 2005. – 32 с.

Обсуждена и одобрена на заседании кафедры высшей математики.

Печатается по решению секции естественно-математических дисциплин учебно-методического совета Института экономики, управления и права (г. Казань).

Учебная программа предназначена для студентов, аспирантов и преподавателей факультетов экономического профиля высших учебных заведений.

УДК 311:33 075.8

ББК 65.051 я 73

©Институт экономики, управления и права (г. Казань), 2005

©Парышева Е.А., 2005

В данной работе рассматриваются основные способы и методы решения задач, необходимые для выполнения контрольного задания. Приводится перечень теоретических вопросов, составленный на основе государственного стандарта по математике для специальностей, по которым производится обучение в ИЭУП.

Указания по выполнению контрольной работы

1.Номер варианта контрольной работы соответствует последней цифре номера студенческого билета.

2.В заголовке контрольной работы написать фамилию, имя, отчество, курс, группу, номер студенческого билета, вариант контрольной работы и дату сдачи ее в институт.

3.Решение задач располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя их номер.

4.Перед решением каждой задачи выписать полностью условие.

5.Решение каждой задачи сопровождать объяснениями и заканчивать ответом.

6.Оформление решений производить аккуратно, с минимальным количеством исправлений. Оставить поля для замечаний проверяющего.

Теоретические вопросы

1.Первообразная функции и неопределённый интеграл.

2.Свойства неопределенного интеграла.

3.Методы интегрирования неопределенного интеграла: разложения, замены переменной и интегрирования по частям.

4.Интегрирование отдельных классов функций.

5.Понятие определенного интеграла.

6.Формула Ньютона-Лейбница.

7.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

8.Геометрические приложения определённого интеграла: вычисление площадей плоских фигур и объёмов тел вращения.

9.Основные понятия о дифференциальных уравнениях.

10.Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка (ОДУ1) с разделяющимися переменными.

3

11.Однородные ОДУ1.

12.Линейные ОДУ1.

13.ОДУ2, допускающие понижение порядка.

14.Линейные ОДУ2 с постоянными коэффициентами.

15.Числовые ряды. Понятие сходимости ряда. Свойства сходящихся рядов.

16.Необходимый признак сходимости.

17.Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами: необходимый признак сходимости, признак сравнения, предельный признак сравнения, признак Даламбера, интегральный признак сходимости.

18.Знакопеременные, абсолютно и условно сходящиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакопеременных рядов.

19.Степенные ряды. Область сходимости степенных рядов.

20.Ряд Маклорена.

21.Функции нескольких переменных (ФНП).

22.Предел и непрерывность функции двух переменных.

23.Частные производные и дифференциал.

24.Экстремум ФНП.

25.Случайные события.

26.Комбинаторика: число перестановок, размещений, сочетаний.

27.Классическое определение вероятности.

28.Относительная частота.

29.Теоремы сложения и умножения вероятностей.

30.Независимость событий.

31.Формулы полной вероятности событий и Байеса.

32.Определение дискретной случайной величины.

33.Биномиальное распределение.

34.Математическое ожидание дискретной случайной величины.

35.Функция распределения случайной величины.

36.Непрерывная случайная величина.

37.Плотность вероятности. Кривая распределения.

4

Контрольные задания

1. Найти неопределенный интеграл:

1.1

1.

∫

x3 − 6x2

− 3x

dx

 

2.

∫cos2 xdx

 

3.

∫(1−

x )2dx

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

(1+ x2 )2 +1

 

 

 

 

 

 

5.

∫

 

x

2

 

dx

 

6.

∫

3x4

− x2 −3x

dx

 

1+ x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

7. ∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 2

 

8.

∫

 

 

x5 + 3 1 2

 

 

 

 

 

−x

 

 

4

 

 

2

−

1

 

dx

 

 

dx

9. ∫ex 5 − 3e2

dx

 

 

1

− x

 

 

 

 

+ x

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. ∫ cos

 

 

−sin

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x −1

 

 

 

1.

∫x sin x2dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

∫

 

 

x2

 

 

3 dx

 

3.

∫

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

∫xex2 dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

∫

cos

x

dx

 

6.

∫cos5 x sin xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

∫

tg2 x

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

∫x 3 1+ x2 dx

 

9.

∫sin x 1−cos xdx

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. ∫

sin(ln x)

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

∫x sin xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

∫xe2 xdx

 

 

3.

∫ln xdx

 

 

4.

∫x3ex2 dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

∫x sin x cos xdx

6.

∫x cos2 xdx

 

 

7.

∫x cos xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

∫x ln xdx

 

 

9.

∫x arctgxdx

 

 

10. ∫x cos2 xdx

5

2. Вычислить определенные интегралы в пределах:

2.1 Для задачи 1.1:

1.

[1, 2]

 

2.

[ 0, π2 ]

 

 

3.

[0, 1]

 

4.

[0, 1]

 

5.

[0, 1]

 

 

6.

[1, 2]

 

7.

[ 0,

 

1

]

8.

[0, 64]

 

 

9.

[1, 2]

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. [ 0,

π ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2 Для задачи 1.2:

2.

[-3, -1]

 

3.

[1, e]

 

1.

[ 0,

 

π ]

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

[0, 1]

 

 

 

π 2

π

2

6. [ 0,

π

]

 

 

 

 

 

5. [ ,

 

]

2

 

 

 

 

 

 

 

4

2

 

 

 

 

7.

[ 0,

 

π

]

8.

[0, 1]

 

 

9.

[ 0,

π

]

 

4

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. [1, e 2 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3 Для задачи 1.3:

2.

[0, 1]

 

 

3.

[1, 2]

 

1.

[ 0,

 

π

]

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

[0, 1]

 

5.

[0, π ]

 

 

6.

[0, π ]

7. [ 0,

π

]

8.

[1, 2]

 

 

9. [ 0,

π

]

 

2

 

 

 

 

 

4

10. [ 0, π2 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 Решить дифференциальные уравнения

 

 

 

3.1

 

 

 

2. (x +1)dy − ydx = 0

 

 

 

 

1.

(x −1)dx +( y −1)dy = 0

 

3.

1− x2 dy + ydx = 0

4.

sin xdx −cos ydy = 0

5.

1− y2 dx + 1− x2 dy = 0

 

6. 2x(1 + y2 )dx − y(1 − x2 )dy = 0

6

7.

xydy −ln xdx = 0

8.

xdx −e−x2 dy = 0

9.

xeydx − yexdy = 0

10. sin x cos ydx −cos x sin ydy = 0

 

 

 

3.2

 

 

 

 

1.

y′′−2 y′−8y = x +1,

2.

y′′+3y′+2 y = sin x ,

3.

y′′−2 y′−3y = cos2x ,

4.

y′′− y′−6y = x2 ,

5.

y′′−5y′+6y = x +sin x ,

6.

y′′−4 y′+3y = cos3x ,

7.

y′′+5y′+6y = 3sin 2x ,

8.

y′′+ y′−2 y = x −1,

9.

y′′+6y′+9 y = 2 sin x ,

10. y′′−2 y′+ y = cos2x +1,

4. Решить краевую задачу для дифференциального уравнения

2-го порядка.

1.

y′′−4 y′+3y = 0 ,

2.

y′′+ y′−2 y = 0 ,

y(0) = 0, y(1) =1,

y(0) = 0, y(1) = 2 ,

4.

y′′−2 y′+ y = 0 ,

5.

y′′+6y′+9 y = 0 ,

y(0) = 0, y(1) =1,

y(0) =1, y(1) = 0 ,

7.

y′′−2 y′−3y = 0 ,

8.

y′′+3y′+2 y = 0 ,

y(0) = 0, y(2) =1,

y(0) = 2, y(1) = 0 ,

10. y′′− y′−6y = 0 ,

 

 

y(0) = 0, y(1) = 2 .

 

 

5. Исследовать сходимость ряда:

 

∞

 

1

 

 

 

 

∞

(2k)!

 

 

 

1.

∑

 

,

 

2.

∑

,

 

 

k k

 

2

 

 

k =1

 

 

 

 

k =1

(k!)

 

 

 

 

 

∞

 

1

 

 

 

 

∞

 

5k −3 k

 

 

∑

 

 

 

 

 

 

4.

k

2

+

1

,

5.

∑k =1

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

k =1

 

 

 

 

3k +1

 

 

∞

2k −1

 

 

∞

 

k k

 

 

 

 

7.

∑

 

k!

 

 

,

8.

∑k =1

 

 

 

,

 

 

 

 

 

2k k!

 

 

 

k =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. ∑∞ 3k −2 , k =1 k !(k +1)

3. y′′+5y′+6y = 0 , y(0) = 0, y(2) =1, 6. y′′−5y′+6y = 0 , y(0) = 2, y(1) = 0 , 9. y′′−2 y′−8y = 0 ,

y(0) = 0, y(1) = 2 ,

 

∞

1

 

 

 

 

3.

∑

 

 

,

 

k ln k

 

 

k =1

 

 

 

∞

1

 

 

 

 

6.

∑k =1

,

 

2k k !

 

 

∞

2 +(−k

1)

k

9.

∑

,

 

k =1

4

 

 

 

 

7

6. Найти области сходимости рядов:

 

∞

k

 

 

 

 

 

∞

x

k

 

 

 

 

 

1.

∑

x

,

 

 

 

 

2.

∑

 

 

 

 

 

,

k

 

 

 

 

(2k)!

 

k =1 7

 

 

 

 

 

 

 

k =1

 

4.

∞

 

 

 

 

 

 

5.

∞

(2x)

k

,

∑(x −1)k ,

 

 

 

∑

 

 

 

 

k =1

 

 

 

 

 

 

 

k =1

k!

 

 

 

 

 

∞

 

 

k

k!

 

 

∞

x

k

 

 

 

 

 

7.

∑

(2x −1)

 

,

8.

∑

 

 

 

,

 

 

 

 

(k!)

2

 

k =1

(k +1)!

 

 

k =1

 

 

 

 

 

 

∞

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. ∑

(x2−1)k .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k =1

k 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

3.

∑k !(x −2)k

,

 

k =1

 

 

 

 

 

 

∞

 

k

 

6.

∑k =1

x

,

 

(2k −1)!

 

 

∞

 

x −2 k

 

9.

∑

 

 

 

,

 

 

 

 

 

k =1

 

2k +1

 

7. Разложить в ряд Маклорена функцию:

1.

1+ x ,

2.

1

 

,

3. e−2 x ,

 

 

 

x +

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

shx

1

,

5.

 

x3 sin x ,

6.

1

 

,

 

 

 

4x +

3

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

(x +1) ex ,

8.

sin2 x ,

9.

ln(1+4x) ,

10. 3 (1+2x)2 .

8. Вычислить приближенно с точностью ε :

1.

 

24 , ε = 0,001 ;

2.

sin10D , ε = 0,0001 ;

3.

3

7 , ε = 0,001 ;

4.

ln 2 , ε = 0,00001 ;

5.

cos50D , ε = 0,0001 ;

6.

4

17 ,

ε = 0,001 ;

 

1

 

 

1

 

 

 

 

7.

∫2 sin x dx , ε = 0,0001 ;

8.

∫cos x2dx , ε = 0,0001 ;

9.

 

82 ,

ε = 0,001 ;

 

0

x

 

0

 

 

 

 

10. cos50D , ε = 0,0001 .

8

9. Найти экстремум функции двух переменных:

1.z = (x −1)2 + 4 y2 ;

2.z = 3x2 +4 y2 +6x −8y +15 ;

3.z = x2 −4xy +6y2 −8x +16y +10 ;

4.z = x2 +5y2 +4xy +10x −5y +12 ;

5.z = 3x2 −4xy +4 y2 +10y − x ;

6.z = x4 +2 y4 −2x2 − y2 ;

7.z = 2x2 +2xy −10x +5y2 −8y +13 ;

8.z = (x −1)4 +( y +2)2 ;

9.z = 8x2 −4xy −32x +13y2 +18y +34 ;

10.z = 2x2 −16x +8y2 +8y +34 .

10. Найти эмпирическую формулу методом наименьших квадратов в случае линейной зависимости величин. Изобразить на графике исходные значения и прямую:

номер

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

вариан

 

 

 

 

 

 

 

 

та

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1.22

2.60

3.97

4.51

2.93

4.38

4.35

5.31

2

1.26

2.90

3.58

4.59

0.22

-1.77

-1.96

-3.57

3

1.88

2.73

3.30

4.90

2.87

3.69

3.72

5.55

4

1.90

2.16

3.91

4.94

-3.82

-3.88

-4.49

-5.77

5

1.31

2.40

3.69

4.59

-1.82

-3.19

-4.23

-5.53

6

1.61

2.60

3.49

4.72

4.08

6.89

8.53

9.82

7

1.22

2.84

3.62

4.74

1.67

5.50

6.65

9.16

8

1.44

2.91

3.58

4.70

-0.61

-0.92

-3.25

-4.03

9

1.46

2.13

3.44

4.50

0.83

-1.61

-2.32

-3.10

10

1.58

2.93

3.83

4.19

5.18

7.87

8.83

8.88

9

 

 

 

 

 

Решение типовых примеров

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Найти неопределенный интеграл:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) ∫

х3 −5х+3

100

 

 

х2

 

3 dx ; г) ∫(5х−2)е

3х

dx .

 

 

 

 

 

dx ; б)

∫(3х−1) dx ; в) ∫

 

1 −3х

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Справочный материал

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если (F(x))’=f(x).

 

 

Первообразная определена неоднозначно: если F(x) – первообразная для функции

f(x), то F(x)+C – также первообразная для данной функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Множество всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным

интегралом и обозначается

∫ f (x)dx = F(x) +C ,

где f(x)

–

подынтегральная функция,

f(x)dx – подынтегральное выражение, С –

произвольная постоянная (С = const), ∫

- знак

операции интегрирования, d – знак операции дифференцирования.

 

 

 

 

 

 

 

Свойства неопределенного интеграла:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. ∫с f (x)dx = с ∫ f (x)dx , где с = const.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. ∫( f (x) ± g(x))dx = ∫ f (x)dx ± ∫g(x)dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. ∫dF(x) =F (x) +C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 1 (неопределенных интегралов)

 

 

 

 

 

1.

∫0dx = С,

 

 

 

9. ∫cos xdx = sin x +C ;

 

 

 

 

2. ∫dx = х+C,

 

 

 

10. ∫

dx2

x

= tgx +C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn+1

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

∫хndx =

 

+C, n ≠ –1;

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. ∫ dx

n +1

 

 

11. ∫sin2 x

= −ctgx +C ;

 

 

 

 

= 2 x +C ;

 

12.

∫

 

dx

 

 

= arcsin

x

+C (|x|<a, a≠0);

 

x

 

 

 

 

 

a2 − x2

a

5. ∫dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ln x +C ;

 

13.

 

dx

 

 

=

1

arctg

x

+C (a≠0);

 

 

x

 

 

 

 

 

∫a2 + x2

a

a

 

 

 

 

ax

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. ∫axdx =

+C,(a > 0, a ≠1) ;

 

 

dx

 

 

 

1

x − a

 

 

 

 

 

ln a

 

 

 

14.

∫x2 − a2

=

2a ln

x + a +C (|x|≠a, a≠0);

7. ∫exdx = ex +C ;

 

15.

∫

 

2dx

 

 

= ln(x +

 

x2 ± a2 ) +C .

 

 

∫sin xdx = −cos x +C ;

 

 

 

2

 

 

8.

 

 

 

x

 

± a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности