Parysheva_Matematika_2_sem

∞

1)

геометрический ряд ∑aqn−1

–

сходится при |q| < 1 и

n=1

расходится при |q| ≥ 1;

∞

1

1

1

1

2)

гармонический ряд ∑

=1 +

+

+... +

+... – расходится;

п

2

3

п=1

п

∞

1

1

1

1

3)

обобщенный гармонический ряд ∑

=1 +

+

+... +

+...- сходится

α

α

α

α

п=1

п

2

3

п

при α>1 и расходится при α ≤ 1.

∞

∞

Предельный признак сравнения: Если ∑un

и ∑vn

– ряды с положительными

n=1

n=1

членами и существует конечный предел отношения их общих членов

lim

un

= k ≠ 0 , то

n→∞ v

n

∞

1

сходящимся обобщенным гармоническим рядом ∑

(т.к. при больших п

2

n=1

n

2n2 +1

≈

2n2

=

2

).

n4

n4

n2

un

2n

2

+1

1

2n

2

+1

= 2 ≠ 0 => по

предельному признаку

lim

= lim

:

= lim

n4

n2

n→∞ v

n→∞

n2

n→∞

n

п-ый член ряда

иn =

n + 2

, а (п+1)-ый

иn+1

=

n +3

.

2n

2n+1

Вычислим предел

u

n+1

n +3

n + 2

(n +3) 2n

1

n

+3

1

,

lim

= lim

:

= lim

=

lim

=

<1

un

2

+ 2

2

n→∞

n→∞ 2n+1

2n

n→∞ 2n+1 (n + 2)

n→∞ n

u

n+1

(n +1)!

n!

n!(n +1) 8n

1

lim(n +1) = ∞,

то

ряд

lim

= lim

:

= lim

=

un

8n+1

8n+1 n!

8

n→∞

n→∞

8n

n→∞

n→∞

∞

n

х

n

Решение. а) ∑

3

.

n=0

2n

Применим признак Даламбера. Данный ряд будет сходиться, если

un+1

< 1 и расходится, если если lim

un+1

> 1. Поэтому вычислим

lim

un

un

n→∞

n→∞

un+1

= lim 3n+1 xn+1

2n

=

3 x .

lim

un

n→∞

n→∞

2n+1 3n xn

2

3

x < 1, если |x|<

2

. Радиус сходимости ряда R =

2

. Следовательно,

2

3

3

ряд сходится при

−

2

< x <

2

2

;

2

или в интервале −

.

3

3

3

3

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости:

при х = –

2

ряд принимает вид

3

n

2

n

n

2

3 −

3

n

(−1)

n

∞

3

∞

∞

3n

∑

= ∑

= ∑(−1)n = 1 – 1 + 1 – 1 + …,

n=0

2n

n=0

2n

n=0

n

2

n

∞

3

∞

а при х =

2

3

– вид ∑

==

∑1n = 1 + 1 + 1 + ….

3

n=0

2n

n=0

Ответ: область сходимости ряда

−

2

;

2

.

3

3

∞

б) ∑(−2)n х2n .

n=0

un+1

(−2)n+1 x2(n+1)

= 2х2.

Вычислим lim

= lim

=

− 2x2

un

(−2)n x2n

n→∞

n→∞

1

1

2

< 1, если |x|<

1

−

;

2х

2

. Следовательно, интервал сходимости ряда

2

2

.

1

∞

n

1

2n

∞

n

n

1

∞

n

При х = –

: ∑(−2)

−

= ∑(−1)

2

= ∑(−1)

– ряд расходится.

2

2

2

n

n=0

n=0

n=0

При х =

1

:

∞

n

1

2n

∞

n

– также расходится.

∑(−2)

2

= ∑(−1)

2

n=0

n=0

Ответ: область сходимости ряда

−

2

;

2

.

3

3

∞

х

n

в) ∑

.

n =1

n

un+1

= lim

xn+1 n

=

n

=

x

.

lim

x

lim

(n +1) xn

n +

n→∞

un

n→∞

n→∞

1

|x|< 1 => интервал сходимости (– 1; 1).

∞

(−1)

n

1

1

(−1)

n

При х = – 1: ∑

= −1 +

−

+... +

+...

– это знакочередующийся

n

2

3

n

n=1

lim

1

= 0 .

n→∞ n

∞

1

1

1

1

При х = 1: ∑

=1 +

+

+... +

+... – расходящийся гармонический ряд.

n

2

3

n

n=1

′

′′

(0)

2

f

(n)

(0)

п

f

f (x) =

f (0) + f (0)х+

х

+... +

х

+...

. (7.1)

2!

n!

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций:

1) y = ex .

Т.к. : f(х) = f’(х) = f’’(х) = … = f(n)(х) = ex

и

f (0) = f’(0) = f’’(0) = … = f(n)(0) = 1

х

2

х

3

х

п

∞

п

=>

ех =1+ х+

+

+... +

+... = ∑

х

(7.2)

n!

2!

3!

n=0 n!

х

3

х

5

(−1)

n

х

2п+1

∞

n

х

2п+1

sin x = х−

+

−... +

+... = ∑

(−1)

(7.3)

5!

(2n +

1)!

1)!

3!

n=0

(2n +

Область сходимости ряда (-∞; +∞).

3) у = cos x

х

2

х

4

(−1)

n

х

2п

∞

(−1)

n

х

2п

cos x =1−

+

−

... +

+... = ∑

(7.4)

2!

4!

(2n)!

(2n)!

n=0

Область сходимости ряда (-∞; +∞).

4) у = (1+x)m, для любого действительного m.

(1+ х)m =1+mх+

m(m −1)

х2

+

m(m −1)(m −2)

х3

+

... +

m(m −1)(m −2) (m −n +1)

хп +...

2!

3!

n!

х

2

х

3

(−1)

n

х

п+1

∞

(−1)

n

х

п+1

ln(1+ x) = x −

+

−... +

+... = ∑

(7.6)

n +1

n +1

2 3

n=0

формуле (1).

Сначала найдем производные данной функции:

f’(х) = –2соsx·sinx = –sin2x;

f’’(х) = –2cos2x;

f’’’(х) = 22sin2x;

f(4)(х) = 23cos2x;

f(5)(х) = –24sin2x;

f(6)(х) = –25cos2x и т.д.

При х = 0 значения функции и ее производных будут равны:

f(0) = 1;

f’(0) = 0;

f’’(0) = –2;

f’’’(0) = 0;

f(4)(0) = 23;

f(5)(0) = 0;

f(6)(0) = –25 и т.д. (т.к. соs0 = 1, ·sin0 = 0).

Теперь по формуле (7.1) запишем ряд Маклорена для функции

cos2 x =1 +0 − 2

х2

+0 + 23

х4

+ 0 − 25

х6

+...

2!

4!

6!

Т.о. cos2 x =1 −

2 х2

+

23 х4

−

25 х6

+... +

(−1)n 22n−1 x2n

+...

4!

6!