Занятие 8
Прямая на плоскости
Аудиторная работа
8.1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку
A(−1; 2) , перпендикулярно вектору M1M2 , если M1(2; −7), M2 (3; 2) . 8.2. Написать каноническое и параметрические уравнения прямой,
проходящей через |
точку A(3;−2) параллельно: а) вектору |
S(1; 5) ; |
||
б) оси Oу . |
|
|
|
|
8.3. Написать |
уравнение прямой, проходящей |
через |
точку |
|
A(−1; 8) и образующей с осью абсцисс угол, равный |
3π |
. |
|
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
8.4. Даны вершины треугольника ABC : A(1; 2), B (2; − 2), C(6;1) . Найти:
1)уравнение стороны AB ;
2)уравнение высоты CH ;
3)уравнение медианы АМ;
4)уравнение прямой, проходящей через вершину C
параллельно стороне AB ;
5) расстояние от точки C до прямой AB .
8.5. Найти расстояние между прямыми 12x −5y −26 = 0 и 12x −5y +13 = 0 .
8.6. Найти проекцию точки A(2;6) на прямую 3x + 4y −5 = 0 .
Домашнее задание
8.7. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3x −2y −7 = 0 и x +3y −6 = 0 и отсекающей
на оси абсцисс отрезок, равный 3.
8.8. Найти точку O пересечения диагоналей четырехугольника
ABCD , если A(−1;−3), B(3; 5), C(5; 2), D(3; −5) .
26
8.9. Найти уравнения перпендикуляров к прямой 3x +5y −15 = 0 ,
проведенных через точки пересечения данной прямой с осями координат.
8.10.Записать уравнение прямой, проходящей через точку A(−2; 3) и составляющей с осью Ox угол: а) 45о; б) 90о; в) 0о.
8.11.Найти точку B , симметричную точке A(8;12) относительно прямой x −2y +6 = 0 .
8.12.Найти один из углов между прямыми:
а) 2x +3y −5 = 0 и x −3y −7 = 0 ;
x = 4 |
|
|
|
x = 3t −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) |
y = t + |
7 |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3t + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8.1. x +9y −17 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.2. а) |
|
x −3 |
= |
y + 2 |
, |
x = 3 + t |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
|
+ 5t |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = −2 |
|
|||||
б) |
x −3 |
= |
|
y + 2 |
, |
x = 3. |
|
|
8.3. x +9 −7 = 0. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8.4. 1) |
x −1 |
= |
|
y − 2 |
2) |
x − 6 |
= |
y −1 |
, 3) |
x −1 |
= |
y − 2 |
, |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
− 4 |
|
|
|
− 4 |
|
|
−1 |
1 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|||||||||||
4)4x + y − 25 = 0. |
5) |
19 |
|
. |
|
|
8.5. 3 . |
|
|
|
|
|
8.6. (−1, 2). |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8.7. x = 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.8. O(3;1/ 3) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
8.9. 5x −3y − 25 = 0, 5x −3y + 9 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
8.10. а) x − y + 5 = 0 ; |
б) x + 2 = 0 ; в) |
|
y −3 = 0 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
8.11. B(12; 4) . 8.12. а)arccos 
1307 ; б) π3 = 60 .
27
|
|
Занятие 9 |
|
|
|
|
Прямая и плоскость в пространстве |
|
|
||
|
Аудиторная работа |
|
|
||
9.1. Даны |
две точкиM1(3; −1; 2) и |
M1(4; − 2; −1) . Составить |
|||
уравнение |
плоскости, |
проходящей |
через |
точку |
M1 |
перпендикулярно вектору M1M2 .
9.2.Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки M1(1;3;4), M2 (3;0;2) и M3 (2;5;7) .
9.3.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
M (1; 0; − 2) перпендикулярно к плоскостям x −2y + z +5 = 0 и 2x − y +3z −1 = 0 .
9.4. Найти расстояние между плоскостями 2x −3y +6z −21 = 0 и
4x −6y +12z +35 = 0 . |
|
|
9.5. Составить уравнение |
прямой, проходящей через точку |
|
M (4; −3; 2) перпендикулярно к плоскости x −3y + 2z −5 = 0 . |
||
9.6. Найти угол между прямыми |
|
|
x + 2y + z −1 = 0, |
и |
x − y − z −1 = 0, |
|
|
|
x − 2y + z +1 = 0 |
|
x − y + 2z +1 = 0. |
9.7. Написать уравнение |
плоскости, проходящей через точку |
|||||||||||||||||||
M (2; 0; −3) параллельно прямым |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x −2 |
= |
y +1 |
= |
z |
|
и |
|
x |
= |
y |
= |
z |
. |
|
|
|
||
|
3 |
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
||||||
9.8. Найти |
проекцию |
|
точки |
A(3; −1; 4) |
на плоскость |
|||||||||||||||
2x + y − z +5 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9.9. Найти |
проекцию |
точки |
A(2; 3; 1) |
на |
прямую |
x + 7 |
= |
|||||||||||||
1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= y +2 2 = z +3 2 и расстояние от этой точки до данной прямой.
28
Домашнее задание
9.10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
M (−1; 2; 3) , параллельно плоскости, |
проходящей |
через |
|
точки |
|||||||||||||
M1(1; 0; − 2), M 2 (3; 4; 5), M3 (−1; 2; 0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9.11. Найти |
расстояние |
от |
точки |
M (2;1;1) |
до |
плоскости |
|||||||||||
x + y − z +1 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α плоскость |
||||||
9.12. Определить, при каком значении параметра |
|||||||||||||||||
αx +(2α −1)y + z −5 = 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) параллельна плоскости 2x +3y + z −4 = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) перпендикулярна плоскости 3x + y − z = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9.13. Найти |
координаты |
точки |
|
Q , |
|
симметричной |
|
точке |
|||||||||
P(−3;1; −9) относительно плоскости 4x −3y − z −7 = 0 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
9.14. Вычислить угол |
между |
прямой |
x −2y +3 |
= 0 |
и |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
плоскостью 2x +3y − z +1 = 0 . |
|
|
|
|
|
3y + z −1 = 0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9.15. Пересекаются ли прямые |
x +2 |
= |
y −3 |
= |
z −4 |
и |
x |
|
= |
|
y +4 |
|
= |
z −3 |
? |
||
9.16. Найти |
|
|
−1 |
|
2 |
3 |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
5 |
|
||
координаты |
точки |
|
Q , |
|
симметричной |
|
точке |
||||||||||
P(2; −5;7) относительно прямой, проходящей через точки M1(5; 4;6)
иM 2 (−2; −17; −8) .
9.17.Составить параметрические уравнения медианы
треугольника |
с |
вершинами |
A(3; 6; −7), B(−5;1; − 4),C(0; 2; 3) , |
||||
проведенной из вершины C . |
|
||||||
Ответы |
|
|
|
|
|
||
9.1. x − y −3z + 2 = 0. |
9.2. 5x +8y −7z −1 = 0. |
||||||
9.3. 5x + y −3z −11 = 0. |
9.4. 5,5. |
||||||
9.5. |
x −4 |
= |
y +3 |
= |
z −2 |
. |
9.6. π. |
1 |
|
−3 |
2 |
|
3 |
||
9.7. x + 2y −5z −17 = 0. |
9.8. (1; −2; 5). |
||||||
29