Домашнее задание

а)

y = sin x,

y

= cos x,

y

π

= 0, x 0,

2

.

б) y = (x2 + 2x)e−x , y = 0 .

в) x = 3t2 , y = 3t −t3 .

г) x = t2 −1;

y = t3 −t .

д)

r = a cos5ϕ.

е)

r = asin 2ϕ.

Найти длину дуги кривой:

ж)

y = ln(1− x2 ), 0 ≤ x ≤1/ 2 .

з)

x = R(cost +t sin t),

y = R(sin t −t cost),

0 ≤ t ≤ π.

и) ρ =1/ ϕ; 3/ 4 ≤ ϕ≤ 4 / 3.

Найти объем тела вращения:

к)

x2 − y2 = a2;

x = a + h

(h > 0),

Ox .

л)

y = arcsin x,

0 ≤ x ≤1,

Ox .

м)

x = a cost,

y = asin 2t,

Ox .

Ответы

72

.

7.4. а) 2 −

.

б) 4.

в)

3

г) 8/15.

2

5

д)

πa2

.

е)

πa2

ж)

ln3

−

1

.

з)

π2R

.

4

4

.

2

2

3

5

π

2

π2

8

и) ln

+

.

к)

h

(3a + h) .

л)

π(

−2) .

м)

πa3 .

2

12

3

4

15

а)

+∞

x dx

.

б)

+∞ arctg x

dx .

∫

∫

x2

+1

1+ x2

1

1

+∞

dx

2

x dx

в)

x

dx.

г)

.

∫

∫

(1

+ x)2

x −1

1

1

д)

1

е)

2

dx

∫x ln x dx .

∫

.

2 − 4x + 3

0

1/ x

0 x

ж)

0

∫

e

.

−1

x2

Ответы

1 .

8.1. а) 0.

б) Расходится.

в)

π

2

г)

. д) Расходится.

е) Расходится.

2

ж) Расходится.

з)

π.

и) Расходится.

2

16 .

к)

2

л) Расходится.

м)

ln 2.

3

8.2. а) Сходится.

б) Расходится.

в) Расходится.

г) Сходится.

д) Расходится.

е) Сходится.

8.3. а) Расходится.

б)

3π2

.

в)

1

+

π

.

32

2

4

г)

8 .

д) −

1 . е) Расходится. ж) −

1 .

3

4

e

а)

z = arctg

x2

б)

.

z =

x / y + 2xy + x .

x + y

в)

z = (x −1)

cos y

.

г)

z = (x + 2y)cos

2

x

.

y2

u = xy ln(x2

xy2

д)

+ y2 + z2 ) .

е)

u = (x − 2y + 3z)2 e z 2 .

z

9.2. Найти полный дифференциал:

а)

z =

x + y

.

б)

z = arcsin(x2 y) .

x − y

в)

z =

y − x2

.

г) z = xy2 .

x − y2

x + y

u = (xy)z .

д)

u = ln

+1 .

е)

z

9.3. Найти частные производные второго порядка:

а)

z = ln(x2 + y

2 ) .

б)

z =

1

.

xy

в) z = exy .

г)

z =

1

.

x2 + y2

д)

z =

cos xy

.

е)

z =

1

.

2x −3y

y