5.4.а) x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 .

5.4.б) {(0,2c1 + c2 , c1, c2 ) | c1, c2 R}.

Занятие 6

Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов

Аудиторная работа

6.1. Определить, для каких векторов a и b выполняются следующие условия:

1)| a +b |=| a | +| b | ,

2)| a + b |=| a | − | b | ,

3)| a +b |=| a −b | ,

4)| a +b |= 0 ,

проекции на координатные оси следующих векторов:

6.3. Проверить коллинеарность векторов a(2; −1;3) и b(−6;3; −9) .

Установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну или в противоположные стороны.

22

6.4.Найти направляющие косинусы вектора a(6;− 2;−3) .

6.5.Определить модули суммы и разности векторов a = 3i −5 j +8k

иb = −i + j −4k .

6.6.Даны точки A(−1; 2;1), B(2;1; −3),C(3;0;5) . Подобрать точку D так, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом.

(a , ^ b) = π3 .

6.8. Даны вершины четырехугольника A(1; − 2; 2), B(1; 4;0),C(−4;1;1)

иD(−5; −5; 3) . Доказать, что его диагонали AC и BD взаимно

6.10. Вычислить проекцию вектора a = 5i + 2 j −5k на ось вектора b = 2i − j + 2k .

Домашнее задание

6.11. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного

b= i + 2 j −αk взаимно перпендикулярны?

6.14.Векторы a и b образуют угол ϕ= π6 . Зная, что | a | = 3 , | b | = 1,

вычислить угол α между векторами p = a +b и q = a −b .

6.15. Найти координаты вектора b , коллинеарного вектору a = (2;1; −1) , при условии что (a , b) = 3 .

23

Ответы

6.2.1) 1; − 1 ; 0 . 2) (6; − 4; 12). 3) (0; −1; 12).

2

6.3.Векторы противоположно направленные, вектор b длиннее вектора a в 3 раза.

7.2. Даны векторы a = (3; −1; −2),b = (1; 2; −1) . Найти координаты

векторных произведений: 1) [a , b]; 2) [2a +b , b]; 3) [2a −b , 2a +b] . 7.3. Даны вершины треугольника A(1; −1; 2), B(5; −6; 2), C(1; 3; −1) .

Вычислить площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC .

24

7.4. Найти вектор c , ортогональный векторам a = (2;−3;1) и

b= (1;−2;3) и удовлетворяющий условию (c,i + 2 j −7k ) =10 .

7.5.Установить, компланарны ли векторы a, b, c , если a = (2;3;−1),

b= (1; −1;3),c = (1;9; −11) .

7.6.Доказать, что четыре точки A(1; 2; −1), B(0; 1; 5), C(−1; 2; 1),

D(2;1;3) лежат в одной плоскости.

одной плоскости?

7.10. Выяснить, правой или левой будет тройка векторовa = (3;4;0),

b= (0;−4;1), c(0;2;5) .

7.11.Найти длину высоты параллелепипеда, построенного на

векторах a = i −5 j + k , b = 4i + 2k , c = i − j −k , если за основание взят параллелограмм, построенный на векторах a и b .

7.12.Вычислить синус угла, образованного векторами a =(2; −2;1)

иb = (2; 3; 6) .

25