get_2 физика

ма количеств вещества отдельных ее составляющих, следовательно,

Пример 2. В запаянной с одного конца стеклянной трубке длиной 90 см находится столбик ртути высотой 30 см, который доходит до верхнего края. Трубку осторожно переворачивают открытым концом вниз, причем часть ртути выливается. Какова высота столбика ртути, который останется в трубке, если атмосферное давление 100 кПа?

Дано:

l = 90 см = 0,90 м, h = 30 см = 0,30 м,

p0 =100 кПа =1,0 ×105 Па.

Найти: x .

Решение. Когда трубка расположена открытым концом вверх (рис. 2.9), то объем части трубки, занимаемой воздухом V1 , и дав-

ление в трубке p1 будут равны:

121

где х – высота столбика ртути.

По закону Бойля-Мариотта [9.6]:

p1V1 = p2V2 ,

или

(l - h)S(p0 + rgh)= (l - x)S(p0 - rgx),

Решая квадратное уравнение относительно x , получим: x2 -1,64x + 0,4 = 0 ,

x1 =1,34 м, x2 = 0,30 м.

Отбрасывая не имеющий физического смысла корень x1 , при котором x > l , окончательно имеем x = 0,30 м.

Ответ: x = 0,30 м.

Пример 3. В теплоизолированном цилиндре под поршнем находится 20 г гелия. При медленном перемещении поршня газ пе-

122

реводится из состояния, которому отвечают объем, равный 32 л, и давление 400 кПа в состояние, при котором объем 9,0 л и давление 1,55 МПа. Какова будет наибольшая температура газа при этом процессе, если давление газа является линейной функцией объема?

Дано:

m = 20 г = 0,020 кг,

V1 = 32 л = 3,2 ×10−2 м3,

p1 = 400 кПа = 4,0 ×105 Па, V2 = 9,0 л = 9,0 ×10−3 м3,

p2 =1,55 МПа =1,55 ×106 Па.

Найти: Tmax .

Решение. В соответствии с условием задачи зависимость давления от объема представляет собой линейную зависимость:

где p0 – начальное давление, которое изображается отрезком на

оси давлений, отсекаемым продолжением I-II, и a – постоянная, имеющая размерность Н/м5. График зависимости представлен на рисунке 2.10.

Так как процесс расширения проходит медленно, то каждая точка прямой I-II соответствует определенному состоянию газа,

Отсюда получаем зависимость температуры газа от его объема:

T = mRM (p0V - aV 2 ).

Для нахождения объема газа при максимальном значении температуры приравняем к нулю производную dVdT :

dVdT = mRM (p0 - 2aV ) = 0 ,

отсюда Vmax = p0 2a .

Из соотношения (2) находим давление pmax при максимальной температуре:

pmax = p0 2 .

Максимальную температуру определяем, воспользовавшись уравнением состояния газа (2):

Tmax = mRM pmaxVmax .

Значение a найдем из графика:

a = p2 - p1 . V1 - V2

Для нахождения p0 воспользуемся зависимостью давления от объема, записав для двух состояний:

p1 = p0 - aV1 , p2 = p0 - aV2 .

Откуда находим:

Подставляя данные, приведенные в условии задачи, получаем:

a = 1,55 ×106 - 0,40 ×106 = 5,0 ×107 Н/м5; 32 ×10−3 - 9,0 ×10−3

124

Пример 4. Определить среднюю арифметическую скорость молекул идеального газа, плотность которого при давлении 35 кПа составляет 0,30 кг/м3.

Дано:

p= 35 кПа = 3,5 ×104 Па,

ρ= 0,30 кг/м3.

Найти: u .

Решение. Согласно основному уравнению молекулярнокинетической теории идеальных газов [10.1]:

Так как плотность газа определяется выражением: r = mV = Nm0 V = nm0 ,

125

Подставляя числовые значения величин, получим:

Ответ: u = 545 м/с.

Пример 5. Чему равны средние кинетические энергии поступательного и вращательного движений всех молекул, содержащихся в 2,0 кг водорода при температуре 400 К?

Дано:

m = 2,0 кг, T = 400 К,

M = 2,0 ×10−3 кг/моль.

Найти: Eпост , Eвр .

Решение. Считаем водород идеальным газом. Молекула водорода двухатомная, связь между атомами считаем жесткой, тогда число степеней свободы молекулы водорода равно 5. В среднем на

одну степень свободы приходится энергия ei = 12 kT , где k –

постоянная Больцмана; T – термодинамическая температура. Поступательному движению приписывается три (i = 3), а вращатель-

ному две (i = 2) степени свободы. Тогда энергия одной молекулы:

eпост = 32 kT , eвр = kT .

126

Число молекул, содержащихся в некоторой массе газа [9.1],

N = nN A = Mm N A , где ν – число молей; N A – постоянная Авогад-

ро. Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул водорода будет равна:

где R = kN A – универсальная газовая постоянная.

Средняя кинетическая энергия вращательного движения молекул водорода определяется аналогично:

Eвр = 2,0 ×8×,31−×3400 » 3,3 ×106 Дж = 3,3 МДж. 2 10

Ответ: Eпост = 5,0 МДж, Eвр = 3,3 МДж.

Пример 6. Какая часть молекул водорода, находящегося при температуре 481 К, обладает скоростями, отличающимися от наивероятнейшей скорости не более чем на 5,0 м/с?

Дано:

T= 481К,

υ= 5,0 м/с,

Поскольку интервал скоростей от uв - Du до uв + Du со-

ставляет 2 υ и достаточно мал по сравнению со значением найденной наивероятнейшей скорости, то распределение Максвелла по относительным скоростям [11.3] можно записать в конечных приращениях:

ривается относительно наивероятнейшей скорости, то в условиях данной задачи u = uв = 2000 м/с, следовательно, z = uuв =1 . При этом Dz = 2Duuв = 0,0050 .

Подставляя числовые значения величин в выражение (2), получим искомую часть молекул:

Ответ: η ≈ 0,46 %.

Пример 7. В высоком вертикальном сосуде находится газ, состоящий из двух сортов молекул с массами m1 и m2 ( m2 > m1 ).

Концентрации этих молекул у дна сосуда равны соответственно n1 и n2 ( n2 > n1 ). Учитывая, что сосуд находится в однородном поле тяжести ( g = const ) и по всей его высоте поддерживается постоян-

ная температура T , найти высоту, на которой концентрации обоих сортов молекул будут одинаковыми.

Дано: m1 , m2 , n1 , n2 ,

T , g .

Найти: h .

Решение. Согласно распределению Больцмана, концентрация молекул газа первого сорта в однородном поле тяжести при тем-

128

пературе T на некоторой высоте определяется выражением [11.4]:

уровня, где концентрация молекул составляет n1 .

Для молекул второго сорта распределение Больцмана будет иметь вид:

Так как на некоторой высоте концентрации молекул обоих сортов одинаковые ( n1′ = n2′ ), то, приравняв правые части выражений (1) и (2), получим:

После преобразования выражение (3) запишется в виде:

Пример 8. Определить среднюю длину свободного пробега молекул и число соударений за 1,0 секунду, происходящих между всеми молекулами кислорода, находящегося в сосуде емкостью 2,0 л при температуре 27 °С и давлении 100 кПа.

Дано:

V = 2,0 л = 2,0 ×10−3 м3,

M = 32 ×10−3 кг/моль,

T = 300 К,

129

p =100 кПа =1,0 ×105 Па, d = 2,9 ×10−10 м.

Найти: l , Z .

Решение. Средняя длина свободного пробега молекул кислорода вычисляется из соотношения [12.1]:

молекул в единице объема (концентрация), которое можно опре-

соударений одной молекулы за 1 с. Число всех молекул в сосуде равно:

Среднее число соударений молекулы за 1,0 с определяется как:

где u – средняя арифметическая скорость молекулы, определяемая из соотношения [10.5]: