Теория вероятностей_методичка

ВВЕДЕНИЕ .......................................................................................................

4

ВОПРОСЫ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

СТАТИСТИКЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

.........................................

5

У

ЛИТЕРАТУРА...................................................................................................

7

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

..................Т

8

1. Элементы комбинаторики. Пространство элементарных

событий. Определения вероятности...........................................................

8

1.1. Элементы комбинаторики ................................................................

Н

8

2. Теоремы сложения и умножения вероятностей

10

2.1. Теорема сложения вероятностей ...................................................

Б

10

2.2. Теорема умножения вероятностей

11

3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса ................................

12

3.1. Формула полной вероятности........................................................

12

3.2. Формулы Байеса..............................................................................

13

4. Схема повторных независимых испытаний (схема ..........Бернулли)

14

4.1. Формула Бернулли ..........................................................................

14

4.2. Локальная и интегральная теоремы Муавра .................–Лапласа

14

4.3. Формула Пуассона ..........................................................................

й

16

5. Случайные величины.............................................................................

17

5.1. Понятие случайной величиныи........................................................

17

5.2. Функция распределения СВ и ее свойства....................................

17

свойства

5.3. Плотность распределенияверятностей СВ.................................

18

ерис

6. Числовые харак

ики СВ...............................................................

21

6.1. Математ ческое ожодание и его свойства ...................................

21

з

6.2. Дисперс я

ее .................................................................

21

7. Законы распределен я СВ.....................................................................

24

7.1.

распределения дискретных СВ.........................................

24

7.2. Зак ны распределения непрерывных СВ ......................................

25

п

8. Математическая статистика ..................................................................

29

8.1. Выб р чный метод. Статистическое распределение

е

выборкиЗаконы. Эмпирическая функция распределения ...............................

29

Р

8.2. Точечные оценки неизвестных параметров ........распределения

30

8.3. Интервальные оценки неизвестных параметров распределения

31

8.4. Статистическая проверка гипотезы о нормальном

распределении ........................................................................................

32

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ .........................................................................

39

ПРИЛОЖЕНИЯ...............................................................................................

62

приведенные решения типовых примеров, а затем выполнить кон-

трольные задания. Вариант задания совпадает с двумя последними

У

цифрами шифра зачетной книжки. Если номер шифра больше трид-

цати, следует от него отнимать тридцать до тех пор, пока не полу-

Т

чится число, меньшее или равное тридцати. Это и будет номер ва-

рианта. Например, шифр содержит две последние цифры 76, номер

Н

варианта будет 76 – 30 – 30 = 16. Шестнадцатый вариант задания

содержит задачи с номерами: 16, 46, 76, 106, 136, 166, 196. Если

Б

шифр варианта 00, то студент выполняет 30 вариант.

й

и

р

о

т

и

з

о

п

е

Р

ВОПРОСЫ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

1.

Пространство элементарных событий. Алгебра событий.

У

2.

Классическое, геометрическое и статистическое определения

вероятности.

Т

3.

Свойства вероятности.

4.

Теорема сложения вероятностей.

5.

Теорема умножения вероятностей.

6.

Формула полной вероятности.

7.

Формулы Байеса.

8.

Схема повторных независимых испытаний. Формула Бернулли.

9.

Локальная и интегральная теоремы Муавра–ЛапласаН.

10.

Формула Пуассона.

11.

Случайные величины (СВ). Закон распределенияБ

СВ. Непре-

рывные и дискретные СВ.

12.

Математическое ожидание егосвойства.

13.

Дисперсия и ее свойства.

о

14.

Функция распределения и ееисвойства.

15.

Плотность распределения ве оятностей и ее свойства.

16.

Биномиальный зак н распределенияр

. Математическое ожи-

и

дание и дисперсия СВ, распределенной по биномиальному закону.

17.

Распределен е Пуассона. Математическое ожидание и дис-

19.

П

казательный закон распределения. Математическое ожи-

персия.

т

18.

Равномерный

акон распределения. Математическое ожида-

ние и дисперсия.

п

дание и дис ерсия.

тервал

20.

Нормальныйо

закон распределения. Функция и плотность

рас р д ления. Математическое ожидание и дисперсия.

21.

В роятность попадания нормально распределенной СВ в ин-

. Вероятность отклонения СВ от математического ожидания

Рпо модулю. Правило трех сигм.

24.

Корреляционный момент и его свойства.

25.

Коэффициент корреляции и его свойства.

26.

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева.

27.

Теорема Чебышева.

28.

Теорема Бернулли.

У

29.

Центральная предельная теорема Ляпунова.

30. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд.

31.

Полигон и гистограмма.

Т

32.

Эмпирическая функция распределения и ее свойства.

33.

Понятия выборки и выборочной функции (статистики). Вы-

борочная средняя и выборочная дисперсия.

34.

Оценки параметров распределения. Точечные оценки и тре-

бования, предъявляемые к ним.

35.

Точечные оценки для математического ожиданияНи диспер-

сии генеральной совокупности.

й

36.

Интервальные оценки. Доверительный интервалБ.

37.

Построение доверительного

нтервала для математического

ожидания нормально распределенной СВ при известном среднем

квадратическом отклонении.

о

38.

Распределение Стьюдента. и

39.

Построение доверительн го интервала для математического

ожидания нормально распределеннойрСВ при неизвестном среднем

42.

П нятие

отклонениистатистических гипотезах и критериях согласия.

квадратическом

.

40.

Распределен П рсона.

з

41.

Построен

е доверттельного интервала для среднего квадра-

отклонен

тического

я нормально распределенной СВ.

п

(

2

43.

Критерий согласия Пирсона

) .

44.

Критерий согласия Колмогорова.

45.

Выборочный коэффициент корреляции и его свойства.

Р

46.

Уравнение регрессии. Линейная регрессия. Определение ко-

эффици нтов линейной регрессии методом наименьших квадратов.

е47. Нелинейная регрессия. Определение параметров нелинейной

ЛИТЕРАТУРА

1.

Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая стати-

стика / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 1997.

2.

Микулик, Н.А. Теория вероятностей и математическая стати-

стика / Н.А. Микулик, А.В. Метельский. – Минск: Пион, 2002.

У

3.

Фигурин, В.В. Теория вероятностей и математическая стати-

стика / В.В. Фигурин. – Минск: Новое знание, 2000.

Т

4.

Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории веро-

ятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман. –М.: Выс-

шая школа, 1997.

5.

Гусак, А.А. Теория вероятностей: справочное пособие к реше-

нию задач / А.А. Гусак. – Минск: ТетраСистемс, 1999.

6.

Микулик, Н.А. Решение задач с техническим содержаниемН

по

й

теории вероятностей, математической статистике и случайным про-

цессом: справочное пособие / Н.А. МикуликБ[и др.]. – Минск:

БНТУ, 1966.

р

7.

Гайшун, Л.Н. Теория вероятностей / Л.Н. Гайшун, Г.К. Иг-

натьева, О.А. Велько. – Минск: МПУ, 2002.

о

8.

Минюк, С.А. Математика дляиинженеров: учебник: в 2 т. /

С.А. Минюк [и др.]. – Минск: Элайда, 2006. – Т. 2.

т

и

з

о

п

е

Р

1.1. Элементы комбинаторики

У

Пусть дано множество, состоящее из n различных элементов

A 1, 2 , , n .

Перестановкой на множестве из n элементов

называется всякое упорядоченное множество, состоящее из этих n

Н

элементов. Число перестановок на множестве из n элементов Рn

определяется по формуле Pn n!.

Б

Т

Две различные перестановки состоят из одних и тех же элемен-

тов, но отличаются порядком следования элементов.

й

Пример 1.1. Имеется четыре вакантных должности и четыре пре-

тендента на эти должности. Сколькими способами можно заполнить

эти должности?

и

Решение. Р4 = 4! = 24.

р

Размещением на

множестве

з

n элементов по m элементов

называется любое упорядоченное подмножество, содержащее m

элементов. Два размещения считаются

азличными, если они состо-

т

ят из различных элемент в, или с стоят из одних и тех же элемен-

тов, но отличаются порядк м след вания элементов в наборе. Число

размещений на множес веоиз n элементов по m элементов определя-

из

n!

m

ется формулой An

.

о

(n m)!

Пример 1.2. Склькими способами можно рассадить по 3 студен-

та за ст л в группе

20 студентов?

Решение. A3

20!

20

19

18 6840.

20

(20 3)!

Сочптанием на множестве из n элементов по m элементов назы-

ва тся всякое неупорядоченное подмножество, содержащее m эле-

ментов. Два различных сочетания отличаются хотя бы одним эле-

ментом. Число сочетаний на множестве из п элементов по т эле-

Р

n!

ментов определяется формулой C m

.

n

m!(n m)!

Решение. C3

5!

4 5

10 .

5

3!2!

1 2

Классическое определение вероятности. Элементарным со-

бытием или исходом называется всякая возможная реализация экс-

перимента. Множество i всех элементарных событий назы-

вается пространством элементарных событий. Любое подмножество

У

пространства элементарных исходов называется случайным собы-

тием. Исход i благоприятствует событию А, если появление исхо-

Т

да i влечет появление события А. Вероятность события характери-

зует степень объективной возможности наступления этого события.

Вероятностью Р(А) события А называется отношениеНчисла исхо-

дов, благоприятствующих появлению события А, к общему числу

равновозможных исходов.

Б

P( A)

m

,

n

й

где п – общее число исходов;

т – число исходов, благ п иятствующихи

появлению события А.

Пример 1.4. В группе 8 юн шей и 5 девушек. Из группы случай-

р

ным образом отбирае ся 5 с удентов. Найти вероятность того, что

среди них окажется 4 девушки.

Решение. Пусть собы

о

е А состоит в том, что из 5 случайно ото-

бранных студентов окажутся 4 девушки. Общее число исходов бу-

дет равно количеству способов, сколькими из 13 студентов можно

отобрать

и

n C5 . Благоприятствовать событию А

5 студентов

з

13

C1 .

будут те исх ды, в которых будет 4 девушки и 1 юноша m C 4

о

5

8

4

1

Тогда P( A)

m

C5

C8

40

0,031.

по n

C135

1287

Геометрическое определение вероятности. Пусть указана область

е

Р

санный в этот квадрат.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что случайно постав-

ленная

точка

попадет

в круг, вписанный в

квадрат. Тогда

Sкруга

22

У

P(A)

42

0,785 .

Sквадрата

4

Статистическое определение вероятности.

Пусть некоторый

Т

эксперимент повторяют п раз, в результате этого событие А насту-

пило т раз. Относительной частотой ( A) события А называется

отношение количества испытаний, в которых наступилоНсобытие А,

к общему числу проведенных испытаний:

Б

( A)

m

.

n

й

Если число испытаний

ан ченно увеличивать, то относи-

и

тельная частота события «ст емится» к вероятности наступления

события А. Поэтому при статистическом определении вероятности

полагают P(A) (A) .

р

неог

2. Теоремы

умножения вероятностей

т

2.1.

сложения

вероятностей

Вер ятн сть суммы двух событий равна сумме вероятностей

з

этих с бытий без вероятности их совместного наступления:

Теорема P(A B) P(A) P(B) P(AB) .

Если события несовместные, то вероятность суммы событий

п

равна сумме вероятностей:

е

Р

P(A1 A2 A3 An ) P(A1) P(A2 ) P(A3 ) P(An ) .