Теория вероятностей_методичка

P(AB) P(A) P(B A) P(B) P(A B) .

У

Если события A1, A2 , A3 , , An

Т

являются независимыми, то ве-

роятность произведения событий равна произведению вероятностей

этих событий:

Н

Б

P(A1 A2 A3 An ) P(A1) P(A2 ) P(A3) P(An ) .

Пример 2.1. Найти вероятность того, что случайно взятое дву-

значное число будет кратным 2 или 5.

и

Решение. Пусть событие А – случа но взятое число кратно 2

или 5; В – число кратно только двум; С – число кратно 5. Тогда

р

A B C , где В и С – совместные событйя. Найдем вероятности

этих событий.

о

т

45

1

m

P(B)

n

90

2 0,5

,

и

з

P(C)

18

0,2 ,

о

90

п

9

е

P(BC)

90 0,1 ,

P( A) P(B C) P(B)

P(C) P(BC)

Р

P( A) 0,5 0,2

0,1 0,6.

A B C , события В и С зависимые: P(BC) P(B)P(C / B) . Найдем

вероятности

P(B)

è

P(C / B) ,

используя классическое определе-

ние вероятности.

У

P(B)

40

0,8;

Т

50

P(C / B)

39

0,796 P( A) P(BC) 0,8 0,796 0,637.

49

Байеса

3. Формула полной вероятности. Формулы

Н

3.1. Формула полной вероятности

События H1, H2 , H3 , , Hn образуют полную группу событий,

2) P(Hi ) 1 .

их

если они попарно несовместны и

сумма равна достоверному со-

бытию:

р

й

1) Hi H j , åñëè

i j ;

n

образующих

i 1

жет

Пусть событие А м

наступить совместно с одним из собы-

и

тий

H1, H2 , H3 , , Hn ,

полную группу, тогда вероят-

з

ность события А определяе ся по формуле:

формула

n

п

P( A) P(Hi )P( A / Hi ) .

i 1

ветственно

Эта

называется формулой полной вероятности, а собы-

тия

H1, H2 , , Hn – гипотезами.

Р

P( A) P(H1)P( A / H1) P(H2 )P( A / H2 ),

P(H1) 0,4

P( A / H1)

5

,

6

P(H2 ) 0,6

P( A / H2 )

1

,

У

5

Т

P( A) 0,4

5

0,6

1

0,333 0,120 0,453.

6

5

Н

3.2. Формулы Байеса

Пусть событие А может наступить при условии появления одно-

Б

го из событий H1, H2 , H3 , , Hn , которые образуют полную группу

событий. Если событие А произошло, то вероятности гипотез опре-

деляются по формулам Байеса

й

и

P(H

/ A)

P(H j )P( A / H j )

, j

1, 2, 3, , n .

j

P( A)

р

Пример 3.2. Соотношение г узовых автомобилей, проезжающих по

авно

шоссе, на котором стоит бенз к л нка, к числу легковых машин, про-

т

езжающих по тому же ш ссе,

2 : 3. Вероятность того, что будет

заправляться грузовая ав

машина равна 0,1; для легковой машины эта

и

вероятность равна 0,3. К бензоколонке подъехала для заправки авто-

машина. Найти вероя нос ь

ого, что это грузовая автомашина.

з

Решение. Пусть событ е А – к бензоколонке подъехала для за-

автомаш

P(H1)P( A / H1) P(H2 )P( A / H2 )

правки

на;

Н1

–

подъехала грузовая автомашина; Н2 –

подъехала легк вая автомашина. Тогда

п

P(H1)P( A / H1)

е

P(H1

/ A)

,

5

5

Р

P(H1 )

2

P( A / H1 ) 0,1

P(H2 )

3

P( A / H2 ) 0,3 ,

2

0,1

0,04

0,04

P(H1 / A)

5

0,182 .

2

3

0,22

0,1

0,3

0,04 0,18

5

5

4.1. Формула Бернулли

Если производится n независимых испытаний, в результате ко-

У

торых могут быть только два исхода А или A с неизменными веро-

ятностями P(A) p,

P(

A

) q , то такая схема испытаний называ-

ления события А постоянна (равна р) и отлична от 0 и 1, то вероят-

ность того, что в n испытаниях событие А произойдет ровноТm раз,

Б

определяется по формуле Бернулли

Н

P (m) Cm pmqn m ,

q 1 p .

n

n

и

Пример 4.1. Прибор состоит из четырех узлов. Вероятность без-

отказной работы в течение смены для каждого узла равна 0,8. Узлы

друг

выходят из строя независимо

от другай. Найти вероятность то-

го, что в течение смены откажут

овно два узла.

о

4,

m 2,

p 0,2, q 0,8 . Ис-

Решение. Из условия задачи

n

т

пользуя формулу Бернулли, п лучим

и

4

3

2

2

q

2

0,2

2

0,8

2

0,154.

P4 (2) C4 p

з

1 2

4.2.

Локальная

интегральная теоремы Муавра–Лапласа

Локальная те рема Муавра–Лапласа. Если вероятность появ-

п

ления с бытия А в каждом из независимых испытаний постоянна

(равна р) и тлична от 0 и 1, а число испытаний п достаточно вели-

е

ко, то в роятность того, что в п независимых испытаниях событие

наступит ровно т раз приближенно определяется по формуле:

Р

x2

Pn (m)

(x)

,

npq

где (x)

1

e

,

x

m np

,

q 1 p.

2

2

npq

Функция (x) является

четной функцией:

( x) (x) .

Для

функции (x)

построены таблицы значений, с помощью которых

находятся (x)

по вычисленным значениям х.

Пример 4.2. Вероятность того, что автомат выпускает стандарт-

ную деталь равна 0,9. Какова вероятность того, что из 400 выпу-

щенных автоматом деталей 356 окажутся стандартными.

Т

Решение. Из условия задачи р = 0,9; п = 400; т = 356; q = 1– p =

= 0,1. Так как п велико и прq = 400 0,9 0,1 = 36, то можно приме-

нить локальную теорему Муавра–Лапласа:

Н

У

356 400 0,9

Б

x

0,67 ,

400 0,9 0,1

( 0,67) (0,67) 0,3188,

1

и

P

(356)

0,3188

0,053.

400

6

й

того, что в п незав с мыхчислоиспытаниях событие А появится от т1 до

Интегральная теорема Муав а–Лапласа. Если вероятность р

наступления события А в каждрм из независимых испытаний посто-

янна и отлична от 0

1, а

испытаний велико, то вероятность

з

т2 раз определяется потформуле

о

(x ) (x ),

иP (m , m )

n

1

2

2

1

где

1

x

e t 2 2dt

(x)

– функция Лапласа,

2

0

Р

пm np

x1

1

,

npq

x2

m2 np

,

npq

(x 5) 1 2.

У

Значения функции Лапласа берут из таблицы по найденным зна-

чениям х.

Н

Пример 4.3. Вероятность реализации одной акции некоторой

компании равна 0,8. Брокерская фирма предлагает 100 акций этой

компании. Какова вероятность того, что будет продано неТменее 70

и не более 85 акций.

Решение. По условию задачи п = 100,

т1 = 70, т2 = 85, р = 0,8.

m1 np

70 80

й

85

80

Находим x1

2,5 ,

x2

1,25.

npq

100 0,8 0,2

Б100 0,8 0,2

и

Поэтому P (70; 85) (1,25) ( 2,5) 0,3944 0,4938 0,8882.

100

р

4.3. Формула Пуассона

го

Если в схеме Бернулли п велико, а вероятность появления собы-

тия р мала, то вероятность

, что в п испытаниях событие насту-

пит ровно т раз определяе ся по ф рмуле

и

з

т me

Pn (m)

,

np .

п

m!

Формулу Пуассона обычно применяют, если р < 0,01; п >100 и

пр 10.

е

Примеро4.4. При массовом производстве шестерен вероятность

брака равна 0,002. Найти вероятность того, что из 500 выпущенных

Р

ш ст р н будет ровно 2 бракованных.

ешение. По условию задачи п =500 и т = 2, р = 0,002, = пр =

= 500 0,002 = 1 < 10. Для нахождения вероятности воспользуемся

формулой Пуассона:

P (2)

12 e 1

1

0,184 .

500

2!

2e

зультате опыта может принять то или иное значение, причем неиз-

вестно заранее, какое именно. Различают два вида СВ: дискретные

У

и непрерывные. Дискретная СВ – это величина, которая принимает

счетное или конечное число значений. Непрерывной СВ наТинтерва-

ле (a; b) называют СВ, которая может принять любое значение из

(a; b). Чтобы задать СВ нужно задать закон распределения. Закон

Н

распределения дискретной СВ – это соответствие между возмож-

ными

значениями СВ и вероятностями

их

появления.

Закон

Б

распределения дискретной СВ записывается в виде таблицы:

й

xi

х1

х2

хп

pi

p1

p2

и

pп

n

рp 1.

i

i 1

о

5.2. Функц я распределения СВ и ее свойства

т

Функцией распределен я СВ (интегральной функцией распреде-

ления)

называетсяифункция F(x), x R , равная вероятности того,

что СВ Х принимает значение меньшее х, т. е. F(x) P(X x) .

з

Св йства функции распределения:

1) 0 оF(x) 1;

2) F (x) – неубывающая функция, т. е. x x

F(x ) F(x ) ;

п

1

2

1

2

3)

lim F(x) 0,

lim F(x) 1 ;

Реx

x

7) если СВ Х является непрерывной, то F(X x) 0 .

5.3. Плотность распределения вероятностей СВ

Плотностью распределения СВ (дифференциальной

функцией

x

распределения) называется такая функция р(х), что F (x) p(x) dx .

У

Свойства плотности распределения:

1)

p(x) 0 ;

Т

2)

F (x) p(x) ;

b

Н

3) p(x) dx 1;

Б

й

4) P(a b) p(x) dx .

изделий

a

Чтобы задать закон распределен я непрерывной СВ необходимо

задать или плотность распределен я,

функцию распределения.

Пример 5.1.

Партия изделий соде ж т

10 % нестандартных.

о

Пусть СВ Х – число стандартных

в партии из пяти изделий.

Требуется составить зак н

асп еделения СВ и записать функцию

распределения.

р

Решение. СВ Х может принимать значения хk = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Ве-

и

роятность

P( X

xk )

найдем по

формуле

Бернулли:

з

т

k

k

q

n k

5;

p 0,9;

q 0,1.

Pn (k) Cn p

. По условию задачи n

о

P(X

0) C0 p0q5

0,00001,

p

0

5

p P(X

1) C1 p q4 0,00045,