Теория вероятностей_методичка

6.1. Математическое ожидание и его свойства

Т

x1, x2 , , xn

Дискретная СВ принимает значения

с вероятностя-

, , p

Н

ми

p , p

2

n

.

Математическим ожиданием

СВ называется

1

У

число М(Х), которое определяется соотношением

n

Б

M ( X ) xi pi .

i 1

й

Если непрерывная СВ задана плотностью распределения p(x) , то

и

математическое ожидание определяется

нтегралом M (X ) x p(x) dx .

р

Математическое ожидание ха акте

зует среднее значение СВ.

3)

M (X Y ) M (X ) гоM (Y ) ;

Свойства математическ

жидания:

1)

M( c ) c,

где c const ;

2)

M( kX ) kM( X ), где k const ;

4) M (X Y ) M (Xт) M (Y ) , если СВ X и Y независимы.

6.2. Дисперсияиее свойства

п

Начальнымзм ментом k-го порядка называется математическое

ожидание СВ Хk.

е

Для дискретныхо

случайных величин

Р

k M ( X

k

n

k

pi .

) xi

i 1

Для непрерывных случайных величин

k xk p(x) dx .

n

k M ((X M ( X ))k ) (xi

M ( X ))k pi .

У

i 1

Для непрерывных случайных величин:

k (x M ( X ))k p(x) dx .

Дисперсией называется центральный момент второго порядка:

n

2

Т

Н

D(X) 2 xi M ( X ) pi .

i 1

Дисперсия характеризует степень разброса значений СВ относи-

тельно математического ожидания. Дисперсия СВ равна разности

математического ожидания квадрата СВ

Б

квадрата математическо-

го ожидания.

D(X ) M X

й2

2

M (X ) .

и

Свойства дисперсии:

р

1)

D( X ) 0 ;

2)

D(k X ) k 2D( X ),

оãäå k const ;

3)

D(C) 0,

ãäå

C const ;

т

4)

D(X Y ) D(X ) D(Y ) , X, Y – независимые СВ.

и

Средним квадратическим отклонением СВ называется корень

квадратный дисперсии СВ:

из

о

( X )

D( X ) .

п

Прим р 6.1. Дискретная СВ задана законом распределения. Тре-

буетсянайти М(Х), D(X), (X).

Р

xi

0

1

2

3

pi

0,1

0,3

0,4

0,2

n

M ( X ) xi pi 0

0,1 1 0,3

2 0,4

3 0,2

1,7 ,

i 1

n

У

M ( X 2 ) xi2 pi 02 0,1 12 0,3 22 0,4 32 0,2 3,7 ,

i 1

Т

D(X ) M (X 2 ) (M (X ))2

3,7 (1,7)2

0,81,

( X )

D(X )

Б

0,81 0,9 .

Пример 6.2. Непрерывная СВ задана плотностью распределенияН

:

x

й

0,

0,

x

1,

p(x)

0 x 1.

3x2 ,

р

1

о

Требуется вычислить М(Х), D(Xи), (X).

Решение.

т

1

3x

4

3

M ( X ) xp(x) dx 3x3 dx

,

4

4

0

0

о

1

1

3x

5

3

и

M ( X 2 )

x2 p(x) dx

3x4 dx

,

п

з

5

5

0

0

е

D( X ) M ( X

2 ) (M ( X ))2

3

9

48 45

3

Р

,

5

16

80

80

( X )

D( X )

3

0,194.

80

7. Законы распределения СВ

7.1. Законы распределения дискретных СВ

СВ Х, которая принимает значения 0, 1, 2, , n с вероятностями

P(X k) C k pk qn k ,

У

называется распределенной по

биномиаль-

n

ному закону. Биномиальный закон распределения может быть пред-

ставлен в виде таблицы:

Т

xi

0

1

2

n

Н

pi

qn

1

n 1

2

2

q

n 2

pn

Cn p q

Cn p

Для биномиального закона M (X ) np;

D(X ) npq .

Дискретная СВ Х называется распределенной по закону Пуассона,

если она принимает целые неотрицательные значения 0, 1, 2, , n… с

вероятностями, которые определяются по формулеБПуассона:

и

P( X k)

k

e , йnp .

р

k!

из которых событие A

появляется

с вероятностью 0,4. СВ Х – число

Для закона Пуассона M (X ) D(X ) .

т

Пример 7.1. Произв ди ся 3 независимых испытания, в каждом

и

появлений событ я А.

Требуе ся составить закон распределения и

з

вычислить числовые характеристики.

о

Решение. СВ Х пр н мает значения 0, 1, 2, 3, 4 и распределена

по бин миальн му

акону. Определим вероятности:

п

P( X 0) q

4 0,64 0,1296,

е

P(X 1) C1 p q4

4 0,4 0,63

0,3456,

4

P( X 2) C2 p2 q2 6 0,16 0,36 0,3456,

Р

4

P(X 3) C43 p3 q 4 0,064 0,6 0,1536,

xi

0

1

2

3

4

pi

0,1296

0,3456

0,3456

0,1536

0,0256

M (X ) np 4 0,4 1,6 ,

У

D(X ) npq 4 0,4 0,6 0,96 ,

Т

( X ) D( X ) 0,96 0,98.

Пример 7.2. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов.

Вероятность того, что в течение часа абонент позвонитНна станцию,

й

равна 0,01 и постоянна для всех абонентов. На

ти вероятность того,

что на станцию в течение часа позвонят не болееБдвух абонентов.

Решение. По условию задачи п = 400, р = 0,01, т 2, = 4.

4

р

40

e 4

41

e 4

42

e 4

P (m 2) P

(0)

P

(1) P

(2)

400

400

о

400

400и

1!

2!

т

0!

13

13

e

(1 4 8)

0,238.

4

и

e

54,576

з

1

7.2. Законы распределения непрерывных СВ

о

СВ Х на ывается равномерно распределенной на отрезке [a; b],

если пл тн сть распределения СВ на этом отрезке постоянна и рав-

на

, а вне трезка – равна 0.

b a

е

Р

п

0,

x a;

x b

p(x) 1 (b a),

x a;b .

Для СВ, распределенной по равномерному закону, справедливы

следующие соотношения:

0,

x a,

x a

F (x)

,

a x b,

b a

x b

1,

M ( X )

a b

D( X )

(b a)2

У

,

.

Т

2

12

Непрерывная СВ Х, принимающая значения с плотностью рас-

пределения

Н

0,

x 0,

Б

p( X )

e x , x 0,

й

называется распределенной по показательному (экспоненциально-

му) закону с параметром 0 . Для СВ, распределенной по показа-

тельному закону, справедливы следующ е соотношения:

р

x 0,

0,

иx

о

F ( X )

0,

1

e

, x

т

и

1 ,

D( X )

1

,

M ( X )

з

2

о

P( x ) e e .

СВ Х называется распределенной по нормальному закону, если

ее

p(x)

2 e

, 0 ,

лотность распределения имеет вид

п

1

( x a)2

2 2

Ргде а и – параметры распределения

.

1

x a

2

F (x)

,

M ( X ) a,

D( X )

.

2

зок ; вычисляется по формуле:

У

a

a

P( X )

.

Н

Вероятность отклонения нормально распределенной СВ от ее

математического ожидания по абсолютной величине определяетсяТ

по формуле:

Б