4.8. Логические отношения между высказываниями (логический квадрат)

Между высказываниями, имеющими сходный смысл, устанавливаются

связи.

Рассмотрим

отношения

между

простыми

и

сложными

высказываниями.

У

В логике всю совокупность высказываний разделяют на сравнимые и

Т

несравнимые. Несравнимыми среди простых высказываний являются

высказывания,

имеющие

различные

Н

субъекты или предикаты. Например: «Все

студенты –

учащиеся» и

«Некоторые

Б

студенты – отличники».

Сравнимыми

являются

высказывания с одинаковыми субъектами

й

и предикатами и различающиеся связкой

и квантором.

Например: «Все граждане

и

Республики Беларусь имеют право на

отдых»

и

«Ни

один

граждан

н

Республики Беларусь не имеет п аво на

отдых».

Отношения

между

с авнимыми

несовместимые.

называют

высказываниями выражаю ся с п м щью

Рис. 20

модели, которую

л гический квадрат (рис. 20).

одновременно

истинными:

различают

совместимые

и

Среди

сравн мыховысказываний

з

Отношен

е совместимости означает, что высказывания могут быть

1. Эквивалентность (полная совместимость) – высказывания, которые

п

логические характеристики:

одинаковые

субъекты

и

имеют

динак вые

редикаты, однотипную утвердительную или отрицательную связку, одну и

ту же логическую характеристику. Эквивалентные высказывания

Р

различаются словесным выражением одной и той же мысли. С помощью

логич ского квадрата

отношения

между

данными высказываниями

не

еиллюстрируются.

2. Частичная совместимость (подпротивность, субконтрарность). В

этом отношении находятся частноутвердительное

и частноотрицательное

высказывания (I и О). Это означает, что два таких высказывания могут быть

одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными. Если

одно из них ложно, то второе обязательно истинно. Если же одно из них

истинно, то второе неопределенно.

Из истинности общего высказывания всегда следует истинность

частного. В то время как истинность частного высказывания свидетельствует

о неопределенности общего высказывания.

У

Из ложности частного высказывания всегда следует ложность общего

высказывания, но не наоборот.

Т

Отношение

несовместимости.

Н

являются

Несовместимыми

высказывания, которые не могут быть одновременно истинными:

Б

1. Противоположность (противность, контрарность) – в этом

отношении находятся общеутвердительное и общеотрицательное

2. Противоречие (контрад кторность)

– в нем находятся обще-

й

утвердительное и частноот ицательное высказывания (A и О), а также

общеотрицательное

и частноутве дительное

высказывания (Е и I). Два

противоречащих высказывания не м гут быть ни одновременно ложными, ни

одновременно истинными. Одно

бязательно истинно, а другое ложно.

Сравнимыми

р

сл жных высказываний являются высказывания,

имеющие хотя бы однуодинаковую

составляющую.

В противном случае

сложные

я несравнимы.

т

Сравнимые сложные высказывания могут быть совместимыми или

несовместимыми.

среди

высказыван

Отн шение совместимости означает, что высказывания могут быть

одновременно истинными:

о

п

1. Эквивалентность:

p

q

p→q

┐q→┐p

высказывания принимают одни и те

И

И

И

И

жезначения, т. е. являются либо

И

Л

Л

Л

одновременно

ложными,

либо

Л

И

И

И

Родновременно истинными (рис. 21).

Л

Л

И

И

Отношение

эквивалентности

Рис. 21

позволяет выражать

одни сложные

2. Частичная совместимость

p

q

p→q

q→p

означает, что высказывания могут

И

И

И

И

быть одновременно истинными, но не

И

Л

Л

И

могут быть одновременно ложными

Л

И

И

Л

(рис. 22).

Л

Л

И

И

Рис. 22

У

3. Отношение

следования

p

q

r

p↔r

(подчинения)

означает,

что

из

Н

истинности

одного

высказывания

(p→q)רТ(q→r)

следует истинность

другого, но

не

наоборот (рис. 23).

Б

И

И

И

И

И

И

И

Л

Л

Л

й

И

Л

И

И

Л

Л

И

И

И

И

р

И

Л

Л

Л

Л

Л

И

Л

Л

И

ьложность(

Л

Л

И

И

И

означает, что

)

И

И

И

И

И

иЛ Л

Л

И

т

Рис. 23

4.

Отношение

сцепления

p

q

p→q

┐p→q

истиннос

Л

Л

И

Л

одного высказыван я

не исключает

И

Л

Л

И

з

ложности

(

ст нности)

другого

Л

И

И

И

не могут

Отношение несовместимости

означает,

что

высказывания

(рис. 24).

п

Рис. 24

е

быть одновременно истинными:

1.

Противоположность

–

p

q

pרq

pר┐q

отношение

между

высказываниями,

которые не могут быть одновременно

Ристинными, но могут быть

одновременно ложными (рис. 25).

И

И

И

Л

И

Л

Л

И

Л

И

Л

Л