Belyakova_Kratky_kurs

нием следа надписью 5h на продолжении горизонтальной проекции заданной прямой (рассуждения аналогичны).

Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости

Плоскости в пространстве могут быть параллельными или пересекаться.

Плоскости параллельные

Из геометрии известно: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости ПАРАЛЛЕЛЬНЫ. Следовательно, на чертеже у параллельных

Этот признак параллельных плоскостей используется для определения на чертеже параллельности двух заданных плоскостей и построения параллельных плоскостей.

На рис. 4.32 показано построение плоскости (3, проведенной через заданную точку А(А"'А'), параллельно заданной плоскости a(mlln).

Для решения задачи следует выполнить следующие графические действия:

1-е действие. В заданной плоскости а построить вспомогательную прямую, например, горизонталь h(h"h'), то есть создать в плоскости пересекающиеся прямые.

2-е действие. Через заданную точку А(А'"А') провести две пересекающиеся прямые Ь и d, параллельные двум пересекающимся прямым /77 и /? заданной плоскости а:

-прямую b(b",b') параллельно прямой т(т"т') (или n(n"nt);

-прямую d(d",d') параллельно вспомогательной прямой h(h"h'). Построенная плоскость (3(bnd) будет параллельна заданной плоскости

a(mlln), так как две пресекающиеся прямые т и h плоскости а соответственно параллельны двум пересекающимся прямым b и d построенной плоскости /3.

Параллельность прямой и плоскости

Из геометрии известно: прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, на чертеже (см. рис. 4.32) прямая, например, Ь, параллельна плоскости а(т//п), так как проекции прямой b проведены параллельно одноименным проекциям прямой т(т",т'), лежащей в этой плоскости.

Плоскости пересекающиеся

Общим элементом пересечения двух плоскостей является прямая линия, принадлежащая обеим плоскостям.

Плоскости, как известно, могут занимать частные и общее положения относительно плоскостей проекций, поэтому при пересечении двух плоскостей возможны три случая:

1-й случай - обе плоскости занимают частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае искомой линией пересечения является проецирующая прямая, проекция которой, вырожденная в точку, лежит на пересечении вырожденных в прямые проекциях плоскостей.

На рис. 4.33 изображены две пересекающиеся фронтально-проецирующие плоскости а и /3, элементом пересечения которых является фрон- тально-проецирующая прямая /77 (соответственно горизонтально-проецирующие плоскости пересекаются по горизонтально-проецирующей прямой). Фронтальная т(т") и вырожденная в точку проекция линии пересечения лежит на пересечении фронтальных, вырожденных в прямые, проекциях (следах) плоскостей, а горизонтальная т(т') проекция линии пересечения - прямая, перпендикулярная оси х.

3-й случай - пересечение двух плоскостей общего положения, проекции которых в пределах чертежа накладываются, рассмотрим ниже.

!!! Если пересекаются три плоскости, то общим элементом их пересечения является точка\

Пересечение прямой с плоскостью

Общим элементом пересечения прямой с плоскостью является точка, принадлежащая и прямой, и плоскости. Поскольку и прямая, и плоскость могут занимать различные положения относительно плоскостей проекций, то при их пересечении также возможны три случая:

1-й случай ~ и прямая и плоскость занимают частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае проекции искомой точки пересечения определяются на характерных (вырожденных) проекциях прямой и плоскости.

тей проекций. В этом случае одна из проекций точки пересечения совпадает с характерной (вырожденной) проекцией элемента частного положения, а другую проекцию точки пересечения требуется построить.

На рис. 4.35, б изображены пересекающиеся фронтально-проецирующая прямая k(k",k') и плоскость общего положения, заданная треугольником ABC. В этом случае фронтальная проекция точки пересечения 0(0") совпадает с вырожденной в точку проекцией прямой, а горизонтальная проекция О(О') точки пересечения построена по принадлежности точки О плоскости ABC с помощью вспомогательной прямой т.

3-й случай - оба пересекающихся элемента занимают общее положение относительно плоскостей проекций, то есть пересекается плоскость общего положения с прямой общего положения. В этом самом сложном для решения случае для построения точки пересечения элементов следует применить вспомогательные построения, чтобы привести условие задачи к более легкому для реше-

прямой к расположена ниже. Это значит, что на горизонтальной проекции прямая к(к') вниз от точки пересечения (О') «уходит» под плоскость CDE.

Рассмотрим наиболее часто встречающийся в различных задачах вариант б - проекции плоскостей накладываются. Построение проекций линии пересечения сводится здесь к построению точек пересечения двух любых прямых одной плоскости с другой плоскостью, то есть к выполнению дважды графического алгоритма построения точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения, изложенного выше (см. рис. 4.37).

На рис. 4.38 показан пример построения линии пересечения плоскостей общего положения - а(ABC) и /3(т//п), проекции которых на чертеже накладываются.

Линия пересечения построена по точкам Ки М пересечения прямых /77 и Я, которыми задана плоскость fi(m//n), с плоскостью а(АВС), то есть дважды вы-

проецирующую плоскость у и обозначить ее фронтальный след уу.

2-е действие. Построить проекции 1-2(1 "-2", 1'-2') вспомогательной линии пересечения плоскостей - заданной а(АВС) со вспомогательной у.

3-е действие. Определить проекции точки К(К".К') пересечения прямой /71 с плоскостью а.

II. Построить проекции точки М(М",М') пересечения прямой П с плоскостью О, повторив графические действия 1, 2 и 3, и соединить прямой построенные точки К и М.

4-е действие. Определить видимость плоскостей относительно построенной линии пересечения К-М, рассмотрев пары конкурирующих точек:

-точки 1 и 5 - для определения относительной видимости на фронтальной проекции;

-точки б и 7 - для определения относительной видимости на горизонтальной проекции.

АВС и параллелограмма DEFG, предварительно достроив проекции вершины G(G", G') параллелограмма.

Данные всех вариантов представлены координатами х, у, Z, точек А, В,С, D,E и F в табл. 4.2.

На образце дан пример решения задачи 2 по графическому условию вариантов 1-15.

Поскольку проекции заданных плоскостей общего положения АВС и DEF на чертеже накладываются, то для построения линии их пересечения используем графический алгоритм построения точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения, изложенный выше (см. описания к рис. 4.37 и 4.38). Графические действия алгоритма следует выполнить дважды, так как прямая пересечения плоскостей проходит через две общие точки.

План г р а ф и ч е с к и х д е й с т в и й д л я р е ш е н и я з а д а ч и 2: I. Построить точку К(К',К") пересечения прямой АВ с плоскостью DEF: 1-е действие. Заключить прямую АВ (сторону треугольника АВС) во вспо-

могательную фронтально-проецирующую плоскость а и обозначить ее фронтальный след Сту

2-е действие. Построить проекции линии пересечения 1-2(1'-2',1"-2") вспомогательной плоскости а с другим треугольником DEF.

3-е действие. Определить проекции точки пересечения К(К",К') стороны АВ с плоскостью DEF, продлив горизонтальную проекцию построенной вспомогательной линии 7-2' до пересечения с горизонтальной А'В' проекцией стороны АВ.

И. Повторить графические действия алгоритма и построить проекции второй точки N(N",N") пересечения прямой ВС с плоскостью DEF, заключив ее во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость (3, и обозначить ее горизонтальный след (Зн', соединить прямыми одноименные проекции построенных точек (в пределах треугольников можно рассматривать линию MN).

4-е действие. Определить относительную видимость плоскостей АВС и DEF, рассмотрев две пары конкурирующих точек: точки 7-5 для определения видимости на фронтальной проекции и точки 3-6 для определения видимости на горизонтальной проекции.

!!! Внимание! К листу 1 выполнить приложение, изложив на листах писчей бумаги планы решения задач 1 и 2.

4.2. Графическая работа № 2 (лист 2, задачи 3 и 4):

перпендикулярность прямой и плоскости

Для решения задач 3 и 4 следует усвоить материал начертательной геометрии по теме.

Тема 2:

Задача 3. Задача имеет два варианта г р а ф и ч е с к и х у с л о в и й .

Ва р и а н т ы 1-15: построить проекции прямой треугольной призмы высотой 65 мм с заданным основанием АВС.

Ва р и а н т ы 16-30: построить проекции шара радиусом 35 мм, касательного к заданной плоскости АВС в точке D; точка касания D задана одной своей проекцией (фронтальной или горизонтальной) и ее недостающую проекцию предварительно нужно достроить.

Данные для своего варианта взять из табл. 4.3. Условия всех вариантов представлены координатами X, у и Z точек А, В, С и D.

По заданным координатам точек построить графическое условие задачи:

-для вариантов 1-15: фронтальную и горизонтальную проекции треугольного основания призмы АВС;

-для вариантов 16-30: фронтальную и горизонтальную проекции треугольной плоскости АВС и заданную проекцию точки касания D (недостающую проекцию - достроить).

Задачи на тему перпендикулярности прямой и плоскости можно разделить

Эта задача относится к первой группе, поскольку для построения параллельной плоскости /3 нужно предварительно построить произвольную точку на расстоянии 15 мм от заданной плоскости а, то есть из произвольной точки плоскости провести перпендикуляр в пространство.

Для решения задачи требуется выполнить следующий г р а ф и ч е с к и й алгоритм :

1-е действие. Провести в заданной плоскости общего положения ABC проекции фронтали f(f",f) и горизонтали h(h',h'):

- f 'IIX, a f" - построить по вспомогательной точке 1; -/)"// х, a h'— построить по вспомогательной точке 2.

2-е действие. Провести от точки плоскости, например, от вершины А в пространство проекции перпендикуляра т(т",т'):

- фронтальную проекцию т" перпендикулярно f": т" _L f "; -горизонтальную проекцию т'перпендикулярно h': т' _L h '.