18. Нормальное уравнение плоскости. Уравнение прямой по двум точкам.

x cos α+ y cos β+ z cos γ- p=0

A B C D

x + y+ z+ =0

± A²+B²+C² ± A²+B²+C² ± A²+B²+C² ± A²+B²+C²

-- нормальное уравнение плоскости

p—расстояние от нач. координат до плоскости; Знак перед корнем противоположен знаку числа D

d= a cos α+ b cos β + c cos γ –p – расстояние от М₀ (а, b,c) до плоскости.

A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂

A₁²+B₁²+C₁² A₂²+B₂²+C₂²

Если d <0, то М₀ и О(0, 0, 0) лежат по одну сторону от плоскости

cos α= α—угол между плоскостями

19. Каноническое уравнение прямой линии в пространстве. Уравнение прямой по двум точкам.

x-x₀ y-y₀ z-z₀

= =

u₁ u₂ u₃

-- каноническое уравнение прямой

М₀ (x₀, y₀, z₀)—точка; (u₁,u₂,u₃) – направляющий вектор

Если М₁ (x₁, y₁, z₁)—еще одна точка на прямой, то вектор М₀ М₁—направляющий вектор прямой.

x-x₀ y-y₀ z-z₀

= =

x₁-x₀ y₁-y₀ z₁-z₀

-- уравнение прямой по двум точкам

x= x₀ +tu₁

y= y₀ +tu₂ -- параметрическое уравнение прямой

z= z₀ +tu₃

20. Взаимное расположение 2-ух прямых в пространстве.

r=r₀+tu и r= r₁+ tv—две прямые

Если (r₁-r₀, u,v) =0, то прямые пересекаются, либо параллельные

(r₁-r₀, u,v)

[u,v]

Если (r₁-r₀, u,v) ≠0—прямые скрещиваются, при этом расстояние между скрещивающимися прямыми

d=

[M₀M₁, u]

u

=d [M₁,L] : M₀—точка на прямой, L—прямая, u—направляющий вектор прямой, М₁—точка

в пространстве

21. Каноническое уравнение прямой линии на плоскости. Уравнение прямой по двум точкам.

x= x₀ +tu₁

y= y₀ +tu₂ -- параметрическое уравнение прямой

x-x₀ y-y₀

= -- каноническое уравнение прямой

u₁ u₂

Если М₁ (x₁, y₁, z₁)—еще одна точка на прямой, то вектор М₀ М₁—направляющий вектор прямой.

x-x₀ y-y₀

= -- уравнение прямой по двум точкам

x₁-x₀ y₁-y₀

A(x-x₀) +B(y-y₀)=0 – уравнение прямой по точке и вектору нормали

Ax+By+ C=0—общее уравнение прямой

22. Нормальное уравнение прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой.

x cos α+ y cos β-p=0

A B C -- нормальное уравнение прямой

x + y+ =0

± A²+B²+C² ± A²+B²+C² ± A²+B²+C²

p—расстояние от нач. координат до прямой; Знак перед корнем противоположен знаку числа D

d (M,L)= a cos α+ b cos β-p : М (а, b)—точка

Если d <0, то М и О(0, 0, 0) лежат по одну сторону от прямой