15

1. Матрицы. Операции над матрицами.

Матрицы размерности (mn)—прямоуг. табл. Из mn чисел, запис. В виде A= (m- число строк, n- число столбцов)

Операции над матрицами:

1 0 0

0 1 0

0 0 1

А+В=В+А; (А+В)+С=А+(В+С); А+0=0+А=А; для любой А существует –А; α(А+В)= α A+ α B;

(α β) А= α (β А); (α+β) А= α А+ β А; 1 А=А.

АВВА; (АВ)С=А(ВС); АЕ=ЕА=А(для квадратных матриц , Е= )

Умножение матриц (если число строк одной матрицы = чисту столбцов другой):

2. Определители 2, 3-го порядков. Свойства определителей.

det A= = а₁₁ а₂₂ – а₁₂ а₂₁

det A=

Свойства определителей:

1. Менять местами строки (столбцы)—меняется знак определителя

2. Если к любой строке( столбцу) матрицы прибавить другую строку (столбец), умноженную на любое число, определитель не изменится

3. Если любую строку (столбец) матрицы умнож. на любое число, то определитель тоже умножится на это число.

4. det E= 1

5. det(АВ)= det А det B (для квадратных матриц)

3. Определители n- го порядка.

1. Разложение по элементам строки или столбца:

* *

* *

(A_ij—алгебр. дополнение: (-1)^i+j det

(вычерк. строке и столбец, определитель того,

что осталось))

4 7 9

0 5 4

2. 0 0 3

   Приведение к треугольному виду: (ниже диагонали—0)

4. Обратная матрица.

Чтобы обратная матрица существовала, надо, чтобы det0

А^-1 А= А А^-1=Е

1

А11 А21 … Аn1

A12 A22 … An2

An1 An2 … Ann

* *

* *

det A

А^-1 = (A_ij—алгебр. дополнение: (-1)^i+j det

(вычерк. строке и столбец, определитель того, что осталось))

5. Элементарные преобразования матриц.

1. перестановка местами строк (столбцов)

2. умнож. всех элементов строк (столбцов) на число (кроме 0)

3. к любой строке( столбцу) матрицы прибавить другую строку (столбец), умноженную на любое число

6. Ранг матрицы.

Ранг матрицы— наибольший порядок минора, отлич. от 0. Минор (М^J_i) —det матрицы, составленной из элементов, стоящих на пересечении строк и столбцов этой матрицы. (j—столбцы, i—строки).

2 1 5

-1 2 0

-4 5 -3

2 1 3

-1 2 1

-4 5 2

Базисный минор—минор, порядок которого равен рангу матрицы.

2 1 5 3

-1 2 0 1

-4 5 -3 2

Пример:

А= М¹₁=2 ; М¹₁²₂=5; М¹₁²₂³₃= =0; М¹₁²₂⁴₃= = 5 rA= 3

Свойства ранга матриц:

1. притранспонировании (замена строк на столбцы) ранг не меняется

2. перестановка строк (столбцов) местами

3. К любой строке( столбцу) матрицы прибавить другую строку (столбец), умноженную на любое число

4. Умнож. Всех элементов строк (столбцов) на число (кроме 0)

5. вычеркивание нулевого ряда

Если привести матрицу к трапециевидному виду, то ее ранг будет равен числу ненулевых строк.

7. Системы линейных уравнений. Матричный метод.

а₁₁ х₁ +а₁₂ х₂+… +а_1n х_n = b₁

a₂₁ x₁ +a₂₂ x₂ +…+a_2n x_n = b₂ (из коэфициентов перед х составляем матрицу)

a_m1 x₁ +a_m2 x₂ +… +a_mn x_n =b_m

а₁₁ а₁₂ а_1n х₁ b₁ х₁ b₁

a₂₁ a₂₂ a_2n х₂ = b₂ : х₂ = А^-1 b₂ -- матричный метод

a_m1 a_m2 a_mn х_n b_m х_n b_m