-
Системы линейных уравнений. Правило Крамера.
det
1 det
A det
2 det
A
det
n det
A
х1=
; х2
= ; хn
= det
1 – определитель матрицы, полученной
из матрицы А с
заменой 1-го столбца столбцам свободных членов (b)
det 2—определитель матрицы, получ. из матрицы А с заменой
2-го столбца столбцом своб. членов и т. д.
-
Решение произвольных систем линейных уравнений.
1 2 4 х1
у1
3 4
-1 3 2 х2 у2 = 3 5 -- пример матричного уравнения—
2 5 6 х3 у3 4 6 А х=В
( А и В—матрицы, х—неизвестная (матрица))
х= А-1 В—решение
Теорема Кронекера- Капелли: чтобы система имела
решение, необходимо и достаточно, чтобы rA= rÃ
(×расширенная матрица (матрица А с последним
столбцом- столбцом свободных членов))
Алгоритм решения системы:
-
Находят rA и r. Если они не равны, то система не имеет
решения. Если равны, то…(п.2)
-
Находят в матрице А базисный минор. Все уравнения,
не входящие в базисный минор, отбрасыв. В
оставшихся уравн. все неизвестные, не входящие в
базисный минор, переносятся на право. Получ.
систему решают по правилу Крамера.
-
Линейные пространства.
Произвольн.
множество V
назыв. линейным векторным пространством,
если на V
определена операция сложения его
элементов (векторов): {u,
v}
u+v
и операция умножения вектора на число:
{α, u}
α u
При этом необходимо, чтобы выполнялись следующие 8 аксиом:
-
u+v=v+u – коммутативность сложения
-
(u+v)+w= u +(v+w) – ассоциативность сложения
-
0+u= u+0=u—существование 0
-
u+ (-u)= -u+u=0 – существование противоположного элемента
-
α (u+v)= α u+α v
-
(α β) u= α (β u)
-
(α+β) u= α u+ βu
-
1 u=u
-
Линейно-независимые векторы. Базис.
Система векторов u1…um линейного пространства V назыв. линейно-зависимой, если существуют такие числа α1, α2, …, αм не все равные 0, то выполн. равенство: α1 u1+ α2 u2+…+ αм um=0.
Если же это равенство выполняется только при нулевых значениях α, то векторы линейно-независимы.
Векторы v1, v2,…, vm назыв. базисом инейного пространства V, если:
-
они линейно-независимы
-
либой вектор u выражается через базис с какими-либо коэфициентами, при этом коэфициенты назыв. координатами вектора ( размерность базиса—количество векторов базиса)
1 2 -1 -2 -2 3 0 2 2
-
составляем матрицу из координатов векторов u: А=
-
находим ранг матрицы: rA=3
-
0
4
3
1
2
-1
-2
-2
3
0
2
2
векторы линейно-независимы. Любые три линейно-независим. вектора трехмерного пространства образуют базис.
-
находим b: b=x1 u1+ x2 u2 + x3 u3 : = x1 + x2 + x3
x1 - 2 x2=0
2 x1-2 x2+2 x3=4 4) решить систему
- x1+3 x2+2 x3=3
-
x1
x2
x3
0
0
0
Однородные
системы линейных уравнений.
А = -- все свободные члены =0
Множество всех решений образует линейное пространство. Сумма двух решений системы—тоже ее решение. Если любое решение умножить на любое число—тоже решение. Базис в пространстве решений однородн. сист. уравн. назыв. фундаментальной системой решений.
Пример:
x1+
x2+
x3+
x4+
x5=0
x1+ 3 x2+3 x3+3 x4+3 x5=0 Решить по методу Гаусса
x1 x2
x3 x4 x5
0 c1+2c2 -2c1-3c2 c1 c2
Ответ: = Чтобы получить базис, одну свободную неизвестную берут за 1, а все
остальные—0. И так по каждой неизвестной.
0 1 -2 1 0
0 2 -3 0 1
u1= ; u2= -- фундаментальная система решений (базис)