4. Решение профессиональной задачи
Ведем экспериментальные данные
Начало
массива данных - считаем с нуля
Число
элементов в массиве
Экспериментальные
данные организованы в два вектора
Выполним интерполяцию встроенными функциями MathCad
Линейная интерполяция
Интерполяция кубическим спайном
Строим кубический сплайн по экспериментальным данным
Интерполяция В- сплайном
Задаем порядок интерполяции. В векторе u должно быть на (n-1) меньше элементов, чем в векторе x, причем первый элемент должен быть меньше или равен первому элементу x, а последний- больше или равен последнему элементу x.
Строим график всех функций аппроксимации на одной координатной плоскости.
Рис 3.1-график всех функций аппроксимации на одной координатной плоскости.
Заключение:
В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например, полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций, оказывается, эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональными функциями. Теория интерполирования используется при построении и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравнений. Основным недостатком полиномиальной интерполяции является то, что она неустойчива на одной из самых удобных и часто используемых сеток - сетке с равноудаленными узлами. Если позволяет задача, эту проблему можно решить за счет выбора сетки с Чебышевскими узлами. Если же мы не можем свободно выбирать узлы интерполяции или нам просто нужен алгоритм, не слишком требовательный к выбору узлов, то рациональная интерполяция может оказаться подходящей альтернативой полиномиальной интерполяции.
К достоинствам сплайн-интерполяции следует отнести высокую скорость обработки вычислительного алгоритма, поскольку сплайн - это кусочно-полиномиальная функция и при интерполяции одновременно обрабатываются данные по небольшому количеству точек измерений, принадлежащих к фрагменту, который рассматривается в данный момент. Интерполированная поверхность описывает пространственную изменчивость различного масштаба и в то же время является гладкой. Последнее обстоятельство делает возможным прямой анализ геометрии и топологии поверхности с использованием аналитических процедур.
Список используемой литературы:
Б.В.Соболь, Б.Ч.Месхи, И.М.Пешхоев. Практикум по вычислительной математике. - Ростов-на-Дону: Феникс, 2008;
Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. Численные методы. Изд-во "Лаборатория базовых знаний". 2003
Волков Е. А. Глава 1. Приближение функций многочленами. § 11. Сплайны // Численные методы. — Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., испр.. — М.: Наука, 1987. — С. 63-68. — 248 с.
http://econom.misis.ru/s/Hel/Matem/IntpL_Tab.htm