2. Перечисление известных методов интерполяции с указанием их достоинств и недостатков.

Интерполяция методом ближайшего соседа-метод интерполяции, при котором в качестве промежуточного значения выбирается ближайшее известное значение функции. Интерполяция методом ближайшего соседа является самым простым методом интерполяции.

Интерполяция многочленами-на практике чаще всего применяют интерполяцию многочленами. Это связано, прежде всего, с тем, что многочлены легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций (теорема Вейерштрасса).

Преимущества:

Для заданного набора точек и сетки параметра кривая строится однозначно.

Кривая является интерполяционной, то есть проходит через все заданные точки. Кривая имеет непрерывные производные любого порядка.

Недостатки:

С ростом числа точек порядок многочлена возрастает, а вместе с ним возрастает число операций, которое нужно выполнить для вычисления точки на кривой. С ростом числа точек у интерполяционной кривой могут возникнуть осцилляции

Линейная интерполяция- интерполяция алгебраическим двучленом P1(x) = ax + b функции f, заданной в двух точках x0 и x1 отрезка [a, b]. В случае, если заданы значения в нескольких точках, функция заменяется кусочно-линейной функцией.

Интерполяционная формула Ньютона- формулы вычислительной математики, применяющиеся для полиномиального интерполирования.

Если узлы интерполяции равноотстоящие и упорядочены по величине, так что , то есть , то интерполяционный многочлен можно записать в форме Ньютона.

Интерполяционные полиномы в форме Ньютона удобно использовать, если точка интерполирования находится вблизи начала (прямая формула Ньютона) или конца таблицы (обратная формула Ньютона).

Метод конечных разностей

Сплайн-функция- функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых сплайн совпадает с некоторым алгебраическим полиномом. Максимальная степень из использованных полиномов называется степенью сплайна. Разность между степенью сплайна и получившейся гладкостью называется дефектом сплайна. Например, непрерывная ломаная есть сплайн степени 1 и дефекта 1.

Сплайны имеют многочисленные применения, как в математической теории, так и в разнообразных вычислительных приложениях. В частности, сплайны двух переменных интенсивно используются для задания поверхностей в различных системах компьютерного моделирования.

Кубический сплайн- Некоторая функция f(x) задана на отрезке , разбитом на части . Кубическим сплайном дефекта 1 называется функция , которая:

• на каждом отрезке является многочленом степени не выше третьей;

• имеет непрерывные первую и вторую производные на всём отрезке ;

• в точках выполняется равенство , т. е. сплайн интерполирует функцию f в точках .

Для однозначного задания сплайна перечисленных условий недостаточно, для построения сплайна необходимо наложить какие-то дополнительные требования. Естественным кубическим сплайном называется кубический сплайн, удовлетворяющий также граничным условиям вида.

Обратное интерполирование (вычисление x при заданной y)

Полином Лагранжа-многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для пар чисел, где все различны, существует единственный многочлен степени не более, для которого. В простейшем случае () — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.

Обратное интерполирование по формуле Гаусса— формула, использующая в качестве узлов интерполяции ближайшие к точке интерполирования x узлы. Если, то формула, написанная по узлам, называется формулой Гаусса для интерполирования вперед, а формула, написанная по узлам, называется формулой Гаусса для интерполирования назад.

Преимущество интерполяционной формулы Гаусса состоит в том, что указанный выбор узлов интерполяции обеспечивает наилучшую оценку остаточного члена по сравнению с любым другим выбором, а упорядоченность узлов по мере их близости к точке интерполяции уменьшает вычислительную погрешность интерполирования.

Билинейная интерполяция — в вычислительной математике расширение линейной интерполяции для функций двух переменных. Ключевая идея заключается в том, чтобы провести обычную линейную интерполяцию сначала в одном направлении, затем в другом.

Недостаток метода:

Главным минусом билинейной интерполяции при масштабировании изображений является тот факт, что при увеличении в раз изображения размером на пикселей в результате будет получено изображение размером не на пикселей, а на пикселей.

Связано это с тем, что в исходном изображении, например, по горизонтали имеется точек, то есть смежных пар. При увеличении изображения в раз между каждой парой основных точек вставляется по дополнительных точек (то есть при увеличении вдвое между основными точками вставляется еще по одной, при увеличении втрое — по две и т. д.). Итого в результате ширина результирующего изображения будет равна сумме количества основных и дополнительных точек:проще говоря, для последнего пикселя (в каждой строке и столбце) исходного изображения не находится пары, с которой можно было бы провести интерполирование.

Бикубическая интерполяция -в вычислительной математике расширение кубической интерполяции на случай функции двух переменных, значения которой заданы на двумерной регулярной сетке. Поверхность, полученная в результате бикубической интерполяции является гладкой функцией, в отличие от поверхностей, полученных в результате билинейной интерполяции или интерполяции методом ближайшего соседа. Так же бикубическая интерполяция часто используется в обработке изображений, давая более качественное изображение по сравнению с билинейной интерполяцией.

Другие способы интерполяции

Рациональная интерполяция - представление интерполируемой функции (точнее говоря, ряда табличных значений) в виде отношения двух полиномов. Ряд функций, плохо интерполируемых полиномиальными методами, удаётся хорошо приблизить рациональной функцией с полиномом в числителе и знаменателе. Особенно это касается функций с нерегулярным характером поведения (в частности, рациональная интерполяция хорошо подходит для функций с особыми точками резкими изменениями).

По известным точкам , … , приближение к ищется в виде, и .

Коэффициенты и вычисляются из набора соотношений , где , которые можно записать в виде, где .

Эти уравнения образуют систему линейных алгебраических уравнений из уравнений относительно неизвестных. Классическая задача интерполяции сводится к решению этой системы, однако качественное и численное исследование такой системы затруднительно. К тому же при большом количестве точек вычислить коэффициенты с большой точностью сложно — небольшой погрешности достаточно для того, чтобы полученный рациональный интерпеллянт не проходил через заданные точки.