193. Перечислите общие способы обнаружения и уменьшения систематических погрешностей.

Для устранения систематических погрешностей в процессе уже начатого измерения применяются различные способы

Способ введения поправок базируется на знании систематической погрешности и действующих закономерностей ее изменения. При использовании данного способа в результат измерения, полученный с систематическими погрешностями, вносят поправки, по величине равные этим погрешностям, но обратные по знаку.

Способ замещения состоит в том, что измеряемая величина заменяется мерой, помещенной в те же самые условия, в которых находился объект измерения. Способ замещения применяется при измерении следующих электрических параметров: сопротивления, емкости и индуктивности.

Способ компенсации погрешности по знаку состоит в том, что измерения выполняются два раза таким образом, чтобы погрешность, неизвестная по величине, включалась в результаты измерений с противоположным знаком.

Способ противопоставления похож на способ компенсации по знаку. Данный способ состоит в том, что измерения выполняют два раза таким образом, чтобы источник погрешности при первом измерении противоположным образом действовал на результат второго измерения.

194. Перечислите специальные способы обнаружения и уменьшения систематических погрешностей.

195. Приведите пример компенсации систематической погрешности по знаку.

Метод компенсации погрешности по знаку используют для устранения постоянной систематической погрешности, у которой в зависимости от условий измерения изменяется только знак. При этом методе выполняют два измерения, результаты которых соответственно есть х1 = хu + Δс и х2 = хи - Δс, где хu— измеряемая величина Среднее значение из полученных результатов

(х1 + х2)/2 = хu представляет собой окончательный результат измерения, не содержащий погрешности ± Δс. Данный метод наиболее часто применяют при измерении экстремальных значений (максимума и нуля) неизвестной физической величины.

Пример. Показания вольтметра подвержены влиянию магнитного поля Земли. В результате возникает погрешность измерения ΔU.

Решение. Произведя два измерения напряжения при противоположной ориентации прибора относительно меридиана, получим U1 = Ux + ΔU и U2 = UX- ΔU.Отсюда напряжение Ux= (U1 + U2)/2.

196. Что означает запись p(A)=P?

197. Что такое интервальный систематический ряд?

198. Что такое гистограмма?

Гистограмма – ступенчатая диаграмма, показывающая как часто при измерениях появляются результаты, попадающие в тот или иной интервал Dx между наименьшим x_min и наибольшим x_max из измеренных значений величины x. Гистограмму строят в следующих координатах: по оси абсцисс откладывают измеряемую величину x, по оси ординат – Dn/nDx (рис.3.1). Здесь n – полное количество проведенных измерений, Dn – количество результатов, попавших в интервал [x, x+Dx] .

Рис.3.1. Гистограмма.

199. Что такое кривая распределения плотности вероятностей случайной величины?

200. Что собой представляют ординаты кривой распределения случайной величины?

201. Какие стандартные законы распределения случайных величин Вы знаете?

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ (РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГАУССА)

Наибольшее распространение получил нормальный закон распределения, называемый часто распределением Гаусса:

(6.6)

где σ — параметр рассеивания распределения, равный СКО; Хц — центр распределения, равный МО.

Рис. 6.6. Экспоненциальные распределения

Широкое использование нормального распределения на практике объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей, утверждающей, что распределение случайных погрешностей будет близко к нормальному всякий раз, когда результаты наблюдений формируются под действием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.

Вид экспоненциальных распределений при различных значениях показателя а приведен на рис. 6.6.

При введении новой переменной t = (х-Хц)/σ из (6.6) получается нормированное нормальное распределение, интегральная и дифференциальная функции которого соответственно равны:

Нормирование приводит к переносу начала координат в центр распределения и выражению абсциссы в долях СКО. Значения интегральной и дифференциальной функций нормированного нормального распределения сведены в таблицы, которые можно найти в литературе по теории вероятностей.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом

называют функцией Лапласа.

Равномерное распределение. Непрерывная случайная величина Х называется равномерно распределенной на отрезке (a<b), если ее функция плотности распределения (рис. 1.6, а) имеет вид :

Соответственно функция распределения на отрезке (рис. 1.6, б):

Рис. 1.6. Функции случайной величины, распределенной равномерно на [a,b]: а – плотности вероятностей f(x); б – распределения F(x)

Математическое ожидание и дисперсия данной СВ определяются выражениями:

, в силу симметрии функции плотности, совпадает с медианой. Моды равномерное распределение не имеет.

Показательное распределение. Распределение непрерывной случайной величины Х называется показательным (экспоненциальным), если плотность вероятности этой величины описывается функцией (рис. 1.7, а):

где λ – положительное число.

Соответственно функция распределения вероятностей имеет вид (рис. 1.7, б):

Рис. 1.7. Функции случайной величины, распределенной по показательному закону: а – плотности вероятностей f(x); б – распределения F(x)

Математическое ожидание и дисперсия равны соответственно

Распределение х² . Сумма квадратов стандартных нормальных случайных величин имеет распределение, которое называется х² -распределением с числом степеней свободы ν, равным числу независимых слагаемых в этой сумме [3]. Строгое определение требует указания плотности вероятности,

если

где – число степеней свободы (число независимых слагаемых в используемой в знаменателе суммы квадратов);– гамма-функция, то случайная величина (рис. 1.9). Однако эта формула не столь наглядна, как формулы для равномерного и нормального распределений. Важно знать информацию, указанную в начале этого пункта, а также следующее: максимум плотности вероятности при достигается при .

Рис. 1.9. Функции плотности вероятностей c2-распределения с числом степеней свободы: а – ν = 1; б – ν = 3; в – ν = 10

Математическое ожидание и дисперсия равны соответственно:

Распределение Стьюдента (t-распределение). Случайная величина в виде отношения двух независимых случайных величини , , где , а , имеет распределение Стьюдента

(t-распределение) с числом степеней свободы . Функция плотности распределения имеет вид:

Математическое ожидание и дисперсия

Распределение Фишера (Фишера-Снедекора, распределение дисперсионного отношения, F-распределение). Случайная величина в виде отношения двух независимых случайных величин, распределенных как(числитель) и(знаменатель), имеет F-распределение с числами степеней свободыи:

Иначе, случайная величина называется распределенной по F-распределению с параметрами и , если она имеет функцию плотности распределения

Математическое ожидание и дисперсия